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1、初中数学初三上册圆周角定理及其运,24.1.4 圆周角,初中数学初三上册圆周角定理及其运,复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？,顶点在圆心的角叫圆心角。,能仿照圆心角的定义， 给下图中象ACB 这样的角下个定义吗？,顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角,初中数学初三上册圆周角定理及其运,问题探讨：,判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理由。,P,P,P,P,不是,是,不是,不是,顶点不在圆上。,顶点在圆上，两边和圆相交。,两边不和圆相交。,有一边和圆不相交。,初中数学初三上册圆周角定理及其运,有没有圆周角？,有没有圆心角？,它们有什么共同的特点？,它们都对着同一
2、条弧,初中数学初三上册圆周角定理及其运,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角ABC, ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?.,你能发现什么规律？,实践活动,初中数学初三上册圆周角定理及其运,画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置?,圆心在一边上,圆心在角内,圆心在角外,初中数学初三上册圆周角定理及其运,如图,观察圆周角ABC与圆心角AOC,它们的大小有什么关系?,初中数学初三上册圆周角定理及其运,圆周角和圆心角的关系,1.首先考虑第一种情况： 当圆心O在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系.,AOC是ABO的外
3、角，,AOC=B+A.,OA=OB，,A=B.,AOC=2B.,即 ABC = AOC.,你能写出这个命题吗?,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,期望:你可要理解并掌握这个模型.,初中数学初三上册圆周角定理及其运,第二种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心O在圆周角(ABC)的内部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,能写出这个命题吗?,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,ABD = AOD, CBD = COD,初中数学初三上册圆周角定理及其运,第三种情况：如
4、果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心O在圆周角(ABC)的外部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,提示:能否也转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,你能写出这个命题吗?,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,ABD = AOD,CBD = COD,初中数学初三上册圆周角定理及其运,巩固练习：,如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？,初中数学初三上册圆周角定理及其运,圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系,我们把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是
5、1的角。,在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把每一份这样的弧叫做1的弧。,在同圆或等圆中，,D,初中数学初三上册圆周角定理及其运,A,B,C1,O,C2,C3,归纳：,初中数学初三上册圆周角定理及其运,练习：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,1.求圆中角X的度数,C,C,D,B,初中数学初三上册圆周角定理及其运,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？,在同圆或等圆中，如果两个 圆周角相等，它们所对的弧 一定相等,初中数学初三上册圆周角定理及其运,当球员在B,D,
6、E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角ABC, ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?.,规律：都相等，都等于圆心角AOC的一半,结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。,初中数学初三上册圆周角定理及其运,A,B,C,D,在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.,则 D=A,ABCD,初中数学初三上册圆周角定理及其运,问题1：如图，AB是O的直径，请问： C1、C2、C3的度数是 。,推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。,问题2： 若C1、C2、C3是直角，那么AOB是 。,90,180,探究与思考：,初中数学初三上册圆周角定理及其运,练一练,1、如
7、图，在O中，ABC=50， 则AOC等于（ ） A、50； B、80； C、90； D、100,D,2、如图，ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则BPC等于（ ） A、30； B、60； C、90； D、45,B,初中数学初三上册圆周角定理及其运,练一练,3、如图，A=50， AOC=60 BD是O的直径，则AEB等于（ ） A、70； B、110； C、90； D、120,B,4、如图，ABC的顶点A、B、C 都在O上，C30 ，AB2， 则O的半径是 。,解：连接OA、OB,C=30 ，AOB=60 ,又OA=OB ，AOB是等边三角形,OA=OB=AB=
8、2，即半径为2。,2,初中数学初三上册圆周角定理及其运,3：已知O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。,圆心角为60度,圆周角为 30 度,或 150 度。,初中数学初三上册圆周角定理及其运,在O中，CBD=30 ,BDC=20,求A,初中数学初三上册圆周角定理及其运,在O中，CBD=30 ,BDC=20,求A,初中数学初三上册圆周角定理及其运,2、如图，在O中，AB为直径，CB = CF, 弦CGAB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC,初中数学初三上册圆周角定理及其运,例: 如图，AB是O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm,ACB的平分线交O于点D . 求
9、BC, AD ,BD 的长.,10,6,初中数学初三上册圆周角定理及其运,练习:如图 AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,初中数学初三上册圆周角定理及其运,5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下,D,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,练 习,初中数学初三上册圆周角定理及其运,例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？,分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点
10、的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？,解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出BMN，显然，A点在BMN外，设MA交圆于C，则 MANMCN，而MCN=MBN， 所以MANMBN 因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.,初中数学初三上册圆周角定理及其运,如图所示，已知ABC的三个顶点都在O上，AD是ABC的高，AE是O的直径. 求证：BAECAD,初中数学初三上册圆周角定理及其运,第二课时应用,回顾：圆周角定理及推论？ 思考：判
11、断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（） 2.相等的圆周角所对的弧相等（） 3.90角所对的弦是直径（） 4.直径所对的角等于90（ ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30（ ）,初中数学初三上册圆周角定理及其运,例 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD、BD的长,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直径，, ACB= ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,例题,初中数学初三上册圆周角定理及其运,3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆
12、.）,A,B,C,O,求证： ABC 为直角三角形.,证明：,CO= AB,以AB为直径作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,点C在O上.,又AB为直径,ACB= 180= 90., ABC 为直角三角形.,课本练 习,初中数学初三上册圆周角定理及其运,课堂练习,1.如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC，ACB与BAC的大小有什么关系？为什么？,2.如图，A、B、C、D是O上的四个点，且 BCD=100，求BOD（ 所对的圆心角） 和BAD的大小。,初中数学初三上册圆周角定理及其运,探究,3、如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交O于点
13、F，点F不与点A重合。 （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断ABC属于哪一类三角形，并说明理由。,ABC是锐角三角形,解：（1）AB=AC。,证明：连接AD,又DC=BD，AB=AC。,（2）ABC是锐角三角形。,由（1）知，B=C90 ,连接BF，则AFB=90 ，A90 ,AB是直径，ADB=90，,初中数学初三上册圆周角定理及其运,1.AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果ADB=35 ， 求BOC的度数。,BOC =140,A=21,初中数学初三上册圆周角定理及其运,4、在O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)和(5x-30)，则x=_ _；,3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，COD=50，则 CAD=_；,20,50,初中数学初三上册圆周角定理及其运,拓展练习,如图,点P是O外一点,点A、B、Q是O上的点。（1）求证P AQB （2）如果点P在O内， P与AQB有怎样的关系？为什么？,