《2021-2021版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1抛物线及其标准方程学案北师大版选修1-1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1抛物线及其标准方程学案北师大版选修1-1.docx（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.1抛物线及其标准方程【学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中 p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题.问题导学知识点一抛物线的定义思考1如图，在黑板上画一条直线 EF,然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C点，将三角板的另一条直角边贴在直线 EF上，在拉链 D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线这是一条什么 曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？思考2 抛物线的定义中，I能经过点F吗？为什么?梳理1定义：平面内与一个定点 F和一条定直线I
2、I不过F的距离的点的集合叫作抛物线.焦点：.准线：.知识点二抛物线的标准方程思考1抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考2抛物线标准方程的特点?思考3抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向?A.圆C.线段方程x+ 3 2 +类型一抛物线定义的解读| x y + 3|J一表示的曲线是.2B.椭圆D.抛物线反思与感悟 根据式子的几何意义，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中点F不在直线l上这个条件.跟踪训练1假设动圆与圆(x 2)2+ y2= 1相外切，又与直线 x+ 1 = 0相切，那么动圆圆心的轨 迹是.类型二抛物线的标准方程及求解命题角度1抛物线的焦点
3、坐标或准线方程的求解例2抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.2 2(1) y = 6x； (2)3 x + 5y= 0;2 2(3) y = 4x ; (4) y = ax (a* 0).引申探究1 将例2(4)的方程改为y2= ax( a* 0)结果如何？2将例2(4)的方程改为x2= ay(a* 0)，结果如何?反思与感悟如果抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物 线的对称轴和开口方向一次项的变量假设为x(或y)，那么x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.跟踪训练2抛物线y2= 2px(p0)的准线与曲线x2 + y2 6x 7 = 0相
4、切，那么p为()A. 2B. 111命题角度2求抛物线的标准方程例3求满足以下条件的抛物线的标准方程.(1) 过点(一3,2);(2) 焦点在直线x 2y 4= 0上；抛物线的焦点F在x轴上，直线y = 3与抛物线相交于点 A, | AF = 5.反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1) 定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行 化简，根据定义求出 p,最后写出标准方程.(2) 待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用条件确定p的值.跟踪训练 3 根据以下条件,求抛物线的标准方程(1) 焦点
5、为 (2,0) ；(2) 焦点到准线的距离是 4；(3) 过点 (1,2) 类型三抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m 一小船宽4 m高2m载货后船露出水面上的局部高0.75 m问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练4 某抛物线形拱桥跨度是 20米，拱桥高度是 4米，在建桥时，每 4米需用一根 支柱支撑，求其中最长支柱的长.EI当堂训练21抛物线y + x= 0的开口()A.向上B.向下C.向左D.向右2.抛物线y2
6、 = 8x的焦点坐标和准线方程分别为()A.(1,0), x =- 1B.(2,0) ,x=- 2C.(3,0), x =- 3D.(4,0) ,x= 43抛物线的焦点到准线的距离为3，那么抛物线方程可以为()22A. y = xB. y = 2x22C. x =- 3yD. x = - 6y4.抛物线x2= 8y上的点M到x轴的距离为6,那么点M与抛物线的焦点间的距离为 5 分别求满足以下条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为y = 3；2 2 抛物线与椭圆= 1的一个焦点相同.0)，准线方程为x= ?焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为2x = my m 0),4 + m3 + m
7、 .焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2= mXm0)，此时焦点坐标为 R?此时焦点为F(0 , m，准线方程为y= f2.设M是抛物线上一点，焦点为F,那么线段MF叫作抛物线的焦半径.假设 Mx。，yo)在抛物线y2 = 2px(p0)上，那么根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径IMF = xo+ 2.合案精析问题导学知识点一思考1平面内与一个定点 F和一条定直线1定点不在定直线上距离相等的点的轨迹叫作 抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线 l叫作抛物线的准线.思考2不能，假设I经过点F,满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于
8、I的一条直线.梳理 相等 2点F 3直线I知识点二思考1 p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向.思考2 1原点在抛物线上；2对称轴为坐标轴；3 p为大于0的常数，其几何意义表示 焦点到准线的距离；4准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；5焦点、准线到原点的距离都等于p.思考3 一次项变量为x或y，那么焦点在x轴或y轴上；假设系数为正，那么焦点在正半轴 上；系数为负，那么焦点在负半轴上.焦点确定，开口方向也随之确定.题型探究例 1 D : x+ 3 2 + y 12丨 x y+ 3|_=，它表示点Mx, y与点F 3,1的距离等于点 M到直线x y+ 3 = 0的距
9、离，且点F 3,1 不在直线上.根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线.跟踪训练1抛物线解析由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x + 1 = 0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以2,0为焦点，x = 2为准线的抛物线，其方程为y2= 8x.2例2解1由方程y= 6x，知抛物线开口向左，p 32p= 6, p= 3, 2= 2，3所以焦点坐标为一3，0, 准线方程为x=|.225(2)将 3x + 5y= 0 化为 x =- 3y,知抛物线开口向下，2p=5,5 p512,所以焦点坐标为(0 ,准线方程为y =.122 2 1(3) 将 y = 4x 化为 x = y,知抛物线开口向
10、上，11 p 12p= 4, p=8, 2=屁，一 1所以焦点坐标为(0 , 16),1准线方程为 y = 16.(4)抛物线方程y = ax2可化为x2=1ay，1 1当 ao 时，2p= a，p=a，、一 1故焦点坐标是(o, 4a),1 准线方程是y =.4at丄11当 a0,因此有2 + 3= 4,解得p= 2,应选A.例3解(1)当抛物线的焦点在 x轴上且过点(一3,2)时，可设抛物线方程为y2 = 2px(p0),2把(3,2)代入得 2 = 2px ( 3),24所求抛物线方程为y2= x.当抛物线的焦点在y轴上且过点(一3,2)时，可设抛物线方程为x2 = 2py( p0),2
11、把(3,2)代入得(3) = 2px 2,9 p= 4，29所求抛物线方程为x2= |y.2429综上，所求抛物线方程为y= 或x = qy.直线x 2y 4= 0与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0， 2), 故抛物线的焦点为(4,0)或(0， 2),当抛物线的焦点为(4,0)时，设抛物线方程为 y2 = 2px( p0),p-2=4，p=8，抛物线方程为y2 = 16x.当抛物线的焦点为(0， 2)时，设抛物线方程为x2 = 2py( p0),p2=- 2,二 p= 4,抛物线方程为x 1 抛物线方程为X2 = 2y.方法二设所求抛物线的标准方程为 y2= mx或 x2= ny,1
12、将点(1,2)代入，得m= 4, n= , =- 8y. 综上，所求抛物线方程为y2= 16x或X2=- 8y. 设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为2 y = 2px(p0), A(m 3).那么由抛物线的定义得| AF = m+ p = 5,点A在抛物线上，( 3)2 = 2pm从而可得p=l或p= 9.所求抛物线的标准方程为y2=2x或y2= 18x.跟踪训练3解(1)焦点在x轴的负半轴上， p= 2，即 p= 4.所以抛物线的方程是 y2= 8x. (2) p= 4,抛物线的方程有四种形式：2 2 2 2y = 8x, y = 8x , x = 8y, x = 8y. 方法一 点(
13、1,2)在第一象限，要分两种情形讨论： 当抛物线的焦点在 x轴上时，设抛物线的方程为 y2=2px ( p0), 那么 22 = 2p 1,解得 p= 2,抛物线方程为y2 = 4x； 当抛物线的焦点在 y轴上时，2设抛物线的方程为 x = 2py(p0),2 1那么 12 = 2p 2,解得 p = 4,1故所求的方程为y2 = 4x或x2=尹例4 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为2x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x =- 2py(p0).由题意可8 2 16 P= 5，得 x =- yy.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航,知，点B(4 , - 5)在抛
14、物线上，故设此时船面宽为AA，那么 A2 , yA),16,216 口5由2 =亏丫人，得yA=- 4.又知船面露出水面上的局部高为0.75 m ,所以 h= |yA| + 0.75 = 2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航.2跟踪训练4解 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x =- 2py( p0).依题意知，点P(10，- 4)在抛物线上，所以 100 = -2pX ( 4) , 2p= 25.即抛物线方程为 x2 =-25y. 因为每4米需用一根支柱支撑， 所以支柱横坐标分别为6, 2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一. 设点B的坐标为(2 , yB),24代入x =- 25y，得yB=基.254所以 |AB = 4 = 3.84 ,25即最长支柱的长为 3.84米.当堂训练1. C 2.B3.D4.85.解准线方程为y =- 3,那么2= 3, p= 6,所以抛物线的标准方程为x2= 12y.2 2x y椭圆 += 1的焦点坐标为F1(1,0),4 + m 3+ mF2( 1,0),所以抛物线的标准方程为y2=4 x.