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1、2. 1.2 演绎推理【明目标、知重点1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的根本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3. 了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.填要点记疑点1演绎推理由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规那么得到正确结论的过程,通常叫做演绎推理.2演绎推理的特征当前提为真时，结论必然为真.3.三段论推理，三段论的一般表示M是P, S是M所以，S是P.探要点究所然情境导学小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中.由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人 抢取钱财.但小明却说我是未成年人而且就抢
2、了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？探究点一演绎推理与三段论思考1分析下面几个推理，找出它们的共同点.(1) 所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；一切奇数都不能被2整除，(2 1+ 1)是奇数，所以(2 100 + 1)不能被2整除； 三角函数都是周期函数，tan a是三角函数，因此tan a是周期函数； 两条直线平行，同旁内角互补.如果/A与/ B是两条平行直线的同旁内角，那么/A+/ B= 180.答 思考1中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.思考2 演绎推理有什么特点？演绎推理的结论一定正确吗？答演绎推理是从一
3、般到特殊的推理.演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实.在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的， 结论必定是正确的.思考 3 演绎推理一般是怎样的模式？答 “三段论是演绎推理的一般模式，它包括：(1) 大前提的一般原理； (2) 小前提所研究的特殊情况； (3) 结论根据一般 原理，对特殊情况做出的判断例 1 将以下演绎推理写成三段论的形式(1) 平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2) 等腰三角形的两底角相等，/A, / B是等腰三角形的底角，那么/A=Z B; 通项公式为an= 2n +
4、 3的数列an为等差数列.解 (1) 平行四边形的对角线互相平分,大前提菱形是平行四边形,小前提 菱形的对角线互相平分结论(2) 等腰三角形的两底角相等,大前提/ A, / B是等腰三角形的底角，小前提/ A=/ B.结论 数列an中，如果当n?2时，an an1为常数，那么an为等差数列，大前提通项公式为an= 2n+ 3时，假设n?2,那么 an an1= 2n+ 3 2( n 1) + 3 = 2(常数)，小前提通项公式为an= 2n+ 3的数列a.为等差数列结论反思与感悟 用三段论写推理过程时, 关键是明确大、 小前提, 三段论中的大前提提供了一 个一般性的原理, 小前提指出了一种特殊
5、情况, 两个命题结合起来, 揭示了一般原理与特殊 情况的内在联系.有时可省略小前提， 有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪训练 1 把以下推断写成三段论的形式：(1) 因为 ABC三边的长依次为 3,4,5，所以 ABC是直角三角形；(2) 函数 y= 2x 5 的图象是一条直线;y = sin x(x R)是周期函数.解 (1) 一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,大前提 ABC三边的长依次为 3,4,5，而32+ 42= 52,小前提 ABC是直角三角形.结论(2) 一次函数y= kx+ b(k丰0)的图象是一条
6、直线，大前提函数 y= 2x5 是一次函数,小前提函数 y= 2x5 的图象是一条直线.结论(3) 三角函数是周期函数,大前提y= sin x(x R) 是三角函数,小前提y= sin x(x R)是周期函数.结论探究点二三段论推理中的易错点例2指出以下推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1) 整数是自然数，大前提3是整数，小前提3是自然数.结论常数函数的导函数为 0,大前提函数f(x)的导函数为0，小前提f(x)为常数函数.结论(3) 无限不循环小数是无理数，大前提1(0.333 33)是无限不循环小数，小前提3是无理数.结论解(1)结论是错误的，原因是大前提错误.自然数是非负整数.(2)
7、 结论是错误的，原因是推理形式错误.大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0.1(3) 结论是错误的，原因是小前提错误.孑0.333 33)是循环小数而不是无限不循环小数.反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全 部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.跟踪训练2指出以下推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1) 因为中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在中国各地.结论(2) 因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提而菱形是所有边长都
8、相等的凸多边形，小前提所以菱形是正多边形.结论解(1)推理形式错误.大前提中的M是“中国的大学，它表示中国的各所大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误.(2)结论是错误的，原因是大前提错误.因为所有边长都相等，内角也都相等 的凸多边形才是正多边形.探究点三三段论的应用例3 如图，在锐角三角形 ABC中, ADL BC, BEL AC, D, E是垂足，求证：AB的中点M到 点D, E的距离相等.证明1因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在厶 ABD中, ADL BC 即/ ADB= 90，小前提所以 ABD是直角三角形结
9、论同理， AEB也是直角三角形.2因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提因为DM是直角三角形 ABD斜边上的中线，小前提所以DM= jAB结论1同理EM= jAB所以DM= EM反思与感悟 应用三段论证明问题时， 要充分挖掘题目外在和内在条件 小前提，根据需要 引入相关的适用的定理和性质 大前提，并保证每一步的推理都是正确的， 严密的，才能得 出正确的结论如果大前提是显然的，那么可以省略.跟踪训练3：在空间四边形 ABCD，点E, F分别是AB, AD的中点，如下图，求 证：EF/平面BCD证明三角形的中位线平行于底边，大前提点E、F分别是AB AD的中点，小前提所以EF/ BD结论
10、假设平面外一条直线平行于平面内一条直线那么直线与此平面平行，大前提EF?平面BCD BD?平面BCD EF/ BD小前提EF/平面BCD结论当堂测育疑缺1 下面几种推理过程是演绎推理的是A. 两条直线平行，同旁内角互补，如果/A与/ B是两条平行直线的同旁内角，那么/ A+Z B=180B. 某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C. 由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质, 1 1D. 在数列an中ai= 1, an = an1+n?2，由此归纳出an的通项公式2an1答案 A解析 A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理.2. 正方形的对角线
11、相等；矩形的对角线相等；正方形是矩形.根据“三段论推理出一个结论.那么这个结论是 .答案正方形的对角线相等解析根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等.3. 把“函数y= x2+ x+ 1的图象是一条抛物线恢复成三段论，那么大前提： ;小前提：；结论：.答案 二次函数的图象是一条抛物线函数y = x2+x + 1是二次函数 函数y = x2+ x+ 1的图象是一条抛物线4. 如图，在 ABC中, AOBC CD是 AB边上的高，求证：/ ACD/ BCD证明：在厶ABC中,因为 CDL AB ACBC 所以ADBD,于是/ ACD/ BCD那么在上面证明的过程中错误的选项是 .只填序号答案解析 由AOBD得到/ ACD/ BCD勺推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角，小前提是“ ADBD，而AD与 BD不在同一三角形中，故错误.呈重点、现规律1. 演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正 确，通过演绎推理得到的结论一定正确.2. 在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程 中常省略三段论的大前提.