《2021-2021版高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.2共面向量定理学案苏教版选修2-1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021版高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.2共面向量定理学案苏教版选修2-1.docx（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3. 1.2 共面向量定理学习目标1. 了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件.厂知识梳理自主学习知识点一共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.知识点二共面向量定理如果两个向量a, b不共线，那么向量 p与向量a, b共面的充要条件是存在有序实数组x,y，使得p = xa+ yb,即向量p可以由两个不共线的向量 a, b线性表示.知识点三空间四点共面的条件假设空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点Q存在实数x、y、z使得OA匕xOS yOOzOD 且 x、y、z 满足 x + y + z = 1,贝U A、B C、D共面.思考1. 空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗
2、？答案 一定共面，反之不成立.2. 空间共面向量定理与平面向量根本定理有何关系？答案 空间共面向量定理中，当向量 a, b是平面向量时，即为平面向量根本定理.题型探究重点突破题型一 应用共面向量定理证明点共面例1A、B C三点不共线，平面 ABC外的一点M满足5m= 3QAf 3qb gSc1判断KMa Mb MCe个向量是否共面；判断点M是否在平面ABC内.解 Q&V屜Sc= 3前 OA- Sm= 5m- Sb + Om- Sc . MA= MhCM=- mb-mc又MBf 5不共线.向量 MA MB 加共面./向量MA MB 共面且具有公共起点 M M A B C共面.即点 M在平面ABC
3、内.反思与感悟 利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面.跟踪训练1 两个非零向量 ei、e2不共线，如果AB= ei+ e2, AG= 2ei+ 8e2, AD= 3ei 3e2,求证：A B C D共面.证明 心Ao= 5ei+ 5e2 = 5AB /. Ab= aD+ AC) = ；AD+ ；AC 又ADAb不共线.555 AB AD AC共面，又它们有一个公共起点A A、B、C D四点共面.题型二 应用共面向量定理证明线面平行ABCAC中，D为AC的中例2如图，在底面为正三角形的斜棱柱 占八、：求证：AB
4、/平面CiBD证明 记RB= a, XC= b, AA= c,贝UAB = a+ c, Eb= AB- ADi=a- gb,_歩 _歩 _歩iDC= DC+ CG= b+ c,所以 DB DC= a+ c = AB,又 dBiBC不共线,所以AB, SB DC共面.又由于 AB不在平面 CBD内，所以 AB/平面 CBD要熟悉其证明反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化.过程和证明步骤.跟踪训练2如下图，斜三棱柱 ABCAiC,设AB= a, AC= b, AA= c,在面对角线 AC上和棱BC上分别取点 M N,使AM= kAC, BN= kBC (0 k i).
5、求证：MN/平面ABBA.证明 AM= k AC= k(AA+ AC = kb+ kc,又AN= AB+ BN= a+ kBC= a+ k( b- a) = (i k) a+ kb, SN= AN AM= (i k)a+ kb kb kc=(i k) a kc.又a与c不共线. MN与向量a, c是共面向量.又MN不在平面 ABEAi内, MIN/平面 ABBA.题型三向量共线、共面的综合应用 例3如下图，四边形 ABCD是平行四边形，点 P是ABCD所在平 面外的一点，连结PA PB PC PD设点E, F, G, H分别为 PAB PBC PCD PDA勺重心试用向量方法证明E, F, G
6、, H四点共面.解 分别连结PE PF, PG PH并延长，交对边于点 M N, Q R连结MN NQ QR RM E, F , G H分别是所在三角形的重心， M N, Q R 是所在边的中点，且 PE= 2pM ?F= |pN| PG= |pQ PH=2 t |PR由题意知四边形 MNQ是平行四边形,=(PN- PM + (PR- PM| t t | t t | t t=|( PF- PE +1( PH- PE = |( EF+ EH 又 MQ= PQ- Pl= |pG- |走=|EG EG= EF+ EH,由共面向量定理知，E, F , G H四点共面.反思与感悟 利用向量法证明四点共面
7、，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的 AC/ eq tG= kOC证明 1由AC= 丽 miAp EG= EH+ mil知A B C D四点共面，E、F、G H四点共面./ EG= EH mEF=OH- oe m of- oe=k( OD- OA + km( OB- OA=kAD+ kmAB AC/ EG 由 知 Oi= EG- Eb= kAC- kXO= kAC- AO = k3C A= kScR当堂检测自查自纠1设a, b是两个不共线的向量，入，口 R,假设入a+ 口 b = 0，贝U入=答案 00解
8、析/ a, b是两个不共线的向量，0,0,二入=口 = 0.2.给出以下几个命题： 向量a, b, c共面，那么它们所在的直线共面; 零向量的方向是任意的； 假设a/b,那么存在惟一的实数 入，使a =入b.其中真命题的个数为 答案 1解析 假命题.三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命P JV c题这是关于零向量的方向的规定；假命题当b= 0时，那么有无数多个 入使之成立.3.如图，在空间四边形 OAB中, OA= a, OB= b, OC= c,点M在OA上,且OM= 2MA N为BC中点，贝U MN=.用a、b、c表示 2 1 1答案3a + 2b+ 2c解析 M
9、N= MA+ AB+ BN1 1=3a + (b-a) + 2( c- b)2 1 1 =-3a + 2b + 2c.4. 以下命题中，正确命题的个数为 _假设a / b,那么a与b方向相同或相反; 假设XB= Cd,贝y a b, c, d四点共线； 假设a, b不共线，那么空间任一向量 p=入a+ 口 b(入，口 R).答案 0解析 当a, b中有零向量时，不正确；XB= &时，A B, C, D四点共面不一定共线，故不正确；由p, a,b共面的充要条件知，当p, a,b共面时才满足p=Xa+口b(入，口 R),故不正确.5. 空间的任意三个向量 a, b, 3a 2b,它们一定是 .答案
10、共面向量解析 如果a, b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a, b, 3a 2b共面；假设a, b共线，贝U a, b, 3a 2b共线，当然也共面._课堂结1共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量 a, b总是共面向量，空间中三个向量a, b, c那么不一定共面.空间中四点共面的条件空间点P位于平面MAB,那么存在有序实数对 x、y使得&P= x&A- y&B此为空间共面向量定理， 其实质就是平面向量根本定理，&A &哄质就是面 MAM平面向量的一组基底.另外有&p=X&- y&B或Op= xCMF yOAb z&B( x + y + z= 1)，、均可作为证明四点共面的条件，但是更为常用.