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1、工程数学作业（第二次）（满分100分）A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，秩（A）秩（A）B.秩（A）秩（A）秩（A）秩（A）D.秩（A）秩（A）6若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A.可能无解 B.有唯一解 C.有无穷多解 D. 无解5.A.C.D.若这个方程组无解，则（D）.A )第3章线性生方程组（一）单项选择题（每小题2分，共16分)X12x24X31X11用消兀法得X2X30的解X2为（C).X32X3A. 1,0,2B.7,2,2C. 11,2,2D.11,2, 2X12x23X322.线性方程组X1X36(B).A.有无穷多解3x23X3
2、4无解B.有唯一解C.D.只有零解100133.向量组0 ,1 ,0 ,2 , 0的秩为(A).00114A. 3B. 2C. 4D.5101110014设向量组为123,4，则（0，1 110101A.1 ,2 B1 ,2 ,3C.1 , :2 ,41D.1B ）是极大无关组.7.以下结论正确的是（D ）.A.方程个数小于未知量个数的线性方程组定有解B.方程个数等于未知量个数的线性方程组定有唯一解C.方程个数大于未知量个数的线性方程组定有无穷多解D.齐次线性方程组一定有解8.若向量组11 2，s线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出.A. 至少有一个向量C. 至多有一个向
3、量9.设A, E为n阶矩阵, 则结论（）成立.B.没有一个向量任何一个向量既是A又是E的特征值， X既是A又是E的属于的特征向量,D.10 .设A,B,P为 n阶矩阵，若等式（C）成立，则称A和B相似.A. ABBAB.(AB) ABC. PAP 1BD. PAP B（二）填空题（每小题2 分&,共16分）1当1时,齐次线性方程组X1x20有非零解.X1x202.向量组1 0,0,0,2 1,1, 1线性相关3.向量组1,2,3 , 1,2,0 , 1,0,0 ,0,0,0的秩是34设齐次线性方程组1X12X23X30的系数行列式1230,程组有无穷多解，且系数列向量1 ,2 ,3是线性相关的
4、.5.向量组1 1,0 ,20,1 ,30,0的极大线性无关组是1,2 .A. 是AB的特征值C.是A B的特征值B.是A+B的特征值D. x是A+B的属于 的特征向量6.向量组的秩相同s3，则其基础解系中线性无关的解则这个方1 ， 2 1 , 2 ,7设线性方程组 AXS的秩与矩阵0中有5个未知量，且秩（A）向量有 2 个.8设线性方程组 AX则AX b的通解为X 0b有解，X0是它的一个特解，且kX k2 X 2 .AX0的基础解系为XX2 ,9 .若是A的特征值，则是方程的根.10 .若矩阵A满足 A 1 A ，则称A为正交矩阵.11分)（三）解答题（第1小题9分，其余每小题1.用消元法
5、解线性方程组X13x22x3X463x18x2X35x402x1X24X3X412X14x2X33x421321638150 21214112141323r4 b1 01923481240 178180 033120 056131 004212411740 1015460 01140 0013解:A13r342心15r44巾3r1 r21 b r4192363r2 r110192348185r2 rar1 r40178180002739908001012264819g r.10042124187325340101546400114130001133X12方程组解为X21X31X4312112
6、设有线性方程组2为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解？1 111 121 1 21 SA 11r31 11 30 1 1 21121 110 1 1 2 1 3解：1 12r2r3011(1 )0 0(2)(1)(1)(1)2当1且2时,R(A)R(A)3，方程组有唯一解当1时，R(A)R(A)1，方程组有无穷多解3 .判断向量能否由向量组 1 ,2 ,3线性表出，若能，写出一种表出方式其中82353756, , 2亠 ,337 ，1010321解：向量能否由向量组1 , 2,3线性表出，当且仅当方程组1X12X23X3有解23581037这里A1,2,3，75630134110370010
7、11732110000571R(A)R(A)方程组无解不能由向量 1,2, 3线性表出4计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关1311173912, 28 ,30 ,46393341336131 11311173 90112解：1, 2, 3 , 4280 600018393 300004133 60000该向量组线性相关5 求齐次线性方程组5x1X22x33x40X111x22x35x403x15x24x40Xi 3x2X3 2x4 0的一个基础解系.解:131512A111235051 01 21414 23340 10 000 002 5133 r401450144 01
8、4110211012300000123r2 r1143723r2 r437310 丄11422；3317jr3r2142010010511420143700000003510140301140000100005X1X314方程组的一般解为X23X314 3令X31，得基础解系X40514314016 求下列线性方程组的全部解.415x22x33x4113x1X24x32x45X19x24x4175x13x26x3X41152311a13r1 $52311A31425r1 r30514014272819041701427285361102841456解:r25 -0009-72 o o40100
9、1001 一 27 o o109111272X11114012方程组一般解为7200000X200000令X3k1 ,X4k2，这里ki, k2为任意常数，得方程组通解线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式.100010证明：12132001000任一4维向量可唯表示为a11000a20100a1a2a3a4a1 1a30010a40001佝a2 ） 1（a2a3）2（a3 a4 ）3a48.试证：线性方程组有解时,4301a2（21）a3（32） a4（43）它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只7 ,1, 71X1k1k2 119292X211112k?2k1k2X3727
10、20k1100X4k2017.试证:任一4维向量a1, a2, a3, a4都可由向量组1111011110, 20， 314 10001有零解.证明：设AX B为含n个未知量的线性方程组该方程组有解，即 R(A) R(A) n从而AX B有唯一解当且仅当 R(A) n而相应齐次线性方程组 AX 0只有零解的充分必要条件是 R(A) nAX B有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX 0只有零解9设 是可逆矩阵A的特征值，且0 ,试证：-是矩阵A 1的特征值.证明：是可逆矩阵A的特征值存在向量，使A(A -A) A -(A ) A -( ) A 111即一是矩阵A 1的特征值 f (x1 x2 )2 x32 x42 2x2x4 2x2x3 2x3x4 (x1 x2)2 x32 2x3( x2 x4) x42 2x2x4 (x1 x2 )2 (x3 x2 x4)2 x22型.10.用配方法将二次型 f X： x；2x1 x2 2x2 x42x2X3 2x3X4化为标准解:令 y1 x1 x2 ， y 2 x3 x2 x4 ， y3 x2 ， x4 y4x1 y1 y3即 x2 y3x3 y2 y3 y4222y1 y2 y3x4 y 4 则将二次型化为标准型