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1、量纲分析模型,一、单位与量纲,1、单位,数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有 相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。 如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关 注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问 题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量 的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度 是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。,如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确定。,2.10 量纲分析与无量纲化,定义：一组物理量，若彼此相互独立，且其它物理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合，则称这些物理量为基本
2、物理量。,2、基本物理量,导出量：由基本量通过自然规律导出的量。例如： 速度、加速度、力、,类似于向量空间中的基的概念，一方面基中的向量线性无关（独立）；一方面向量空间中的任何向量均可由其线性表示（导出量）。,定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称为该量的量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示，因此也称为量纲积。即任一物理量Q的量纲皆可表示成,Q=LM TIJN,其中，L，M，T，I，J，N是基本物理量的量纲；,称量纲指数均为0的物理量为无量纲量。,基本物理量 名称 量纲 单位 符号 长度 L 米 m 质量 M 千克 kg 时间 T 秒 s 电流强度 I 安培 A 温度 开尔
3、文 K 光强 J 坎德拉 cd 物质的量 N 摩尔 mol, , , , , , 称为量纲指数。,物理量的量纲,长度 l 的量纲记 L=l,质量 m的量纲记 M=m,时间 t 的量纲记 T=t,动力学中基本量纲 L, M, T,速度 v 的量纲 v=LT-1,导出量纲,加速度 a 的量纲 a=LT-2,力 f 的量纲 f=LMT-2,引力常数 k 的量纲 k,对无量纲量，=1(=L0M0T0),=fl2m-2=L3M-1T-2,4、量纲与单位的关系,1）、量纲和单位都在反映物理量的特征，反映该物理量与基本物理量间的关系。,2）、任何物理量的量纲是唯一的，但单位可以有多个。,3）、有的量可以没有
4、量纲，但它可能有单位。如角度,4）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。,量纲齐次法则 用数学表达式表示一个物理定律时，等式两边的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。,例如, 牛顿第二定律 F=ma, F=MLT-2, ma=MLT-2,2.10.1 量纲分析建模和Pi定理,量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确定物理量之间的关系。,问题的解是依据适当的物理基本量的量纲齐次方程给出的。,首先找出所有与问题的解（因变物理量）有关的物理量和基本量； 其次寻求一个适当的无量纲齐次方程来确定待定
5、方程的形式（即变量是独立的无量纲积的方程）； 最后把因变物理量解出来。,量纲分析在实际问题中的应用,假设,任务,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,例：单摆运动,求摆动周期 t 的表达式,设物理量 t, m, l, g 之间有关系式,1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量,(1)的量纲表达式,对比,公式中的系数是无量纲的，实际上是与摆角有关的，当摆角不大于15度时，近似等于2派。,对 x,y,z的两组量测值x1,y1,z1 和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ),为什么假设这种形式?,设p= f(x,y,z),x,y,z的量纲单位缩小a
6、,b,c倍,量纲齐次原则,单摆运动,单摆运动规律和物理量 t, m, l, g 有关，这个规律可以表示为左边的一般表达式：,齐次线性方程组的基础解系只含一个向量，说明以t，m，l，g构成的完备无量纲幂积组只有一个无量纲幂积。,设 f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-r,F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定.,Pi定理 (Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, qm 是与寻求问题有关的物理量。
7、,量纲矩阵记作,线性齐次方程组,有 m-r 个基本解，记作,构成一个完备无量纲组。,由单摆运动求周期的方法我们知道方程f(q1, q2, , qm) = 0与一个无量纲方程等价，并且此方程的变量是所有由q1, q2, , qm构成的独立的无量纲积（称为完备无量纲组）。,q1, q2, qm量纲可表示为,由q1, q2, , qm构成的无量纲积与此线性齐次方程组的解之间存在一一对应关系，所以求适当的一个完备无量纲积组的问题转化为求线性方程组的一个适当的基础解系。,思考：Pi定理的实际意义是什么？,方程变量的个数 由m个减少到了 mr个。,g = LT-2, l = L, = L-3M, v =
8、LT-1, s = L2, f = LMT-2,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g .,m=6, n=3,Ay=0 有m-r=3个基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r个基本解,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-r,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,v,s,f) = 0 等价,为得到阻力 f 的显式表达式,F=0, 未定,F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价,
9、量纲分析示例： 波浪对航船的阻力,此适当指的是：要保证所求的物理量f只出现在一个无量纲积中，只有这样我们才能得到f的显示表达式，即求出f。,适当的基础解系对应着适当的一组完备无量纲积组。此适当指的是什么？,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性, () = 0中包括哪些物理量是至关重要的.,基本量纲个数n; 选哪些基本量纲.,有目的地构造 Ay=0 的基本解.,方法的普适性,函数F和无量纲量未定.,不需要特定的专业知识.,2.10.2 量纲分析在物理模拟中的应用,例: 航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数(均已知可控的),可得原型
10、船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数 (f1未知，其它已知),注意：二者的相同,假如我们诸如海浪拍打巨轮的效应，以及潜艇 的热损耗和在水下环境中受到的阻力，或作用 在飞机机翼上的风力绕有兴趣。通常，在实验 室里重复实际的现象是不可能的。我们需要在 模拟的环境中研究经过缩减的模型来精确预测 物理系统的性能。 问题是我们怎样在实验室中调节实验比例，从 而确保对模型观测到的效应与实际的效应相互 一致。,只要按一定尺寸比例造模型船，控制速度v，使用同一种流体。这样就可通过量测 f，知道 f1的大小 物理模拟,如果,2.10.2 量纲分析在物理模拟中的应用,例: 航船阻力的物理模拟,通过航船模型
11、确定原型船所受阻力,模型船的参数(均已知),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数 (f1未知，其他已知),注意：二者的相同,按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 物理模拟,2.10.3 无量纲化,例：火箭发射,星球表面竖直发射火箭。初速v, 星球半径r, 星球表面重力加速度g.,研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律.,t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2,牛顿第二定律，万有引力定律,3个独立参数,用无量纲化方法减少独立参数个数,用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc, tc （特征尺度）,无量纲变量,如,令,xc, tc的不同构造
12、,1）令,为无量纲量,用无量纲化方法减少独立参数个数,3）令,2）令,用无量纲化方法减少独立参数个数,1) 2) 3) 的共同点,1) 2) 3) 的重要差别,考察无量纲量,在1) 2) 3) 中能否忽略以为因子的项？,1),无解,无量纲化方法,2),3),1) 2) 3) 的重要差别,无量纲化方法,原问题,是原问题的近似解,1) 2) 3) 的重要差别,无量纲化方法,为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1) 2)不能?,3）令,火箭到达最高点时间为v/g, 高度为v2/2g,大体上具有单位尺度,无量纲化方法,选择特征尺度的一般讨论见：林家翘著自然科学中确定性问题的应用数学,无 量 纲 化
13、,无量纲化是研究物理问题常用的数学方法.,选择特征尺度主要依赖于物理知识和经验.,恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素.,思考题：第57页第15、16、18。,保持量纲协调,例1：描述单摆运动的周期 问题：质量为m的小球系在长度 为 l的线的一端, 铅垂悬挂。小 球稍稍偏离平衡位置后将在重 力的作用下做往复的周期运动。 分析小球摆动周期的规律。,假设： 1. 忽略空气阻力； 2. 忽略可能的磨擦力； 3. 平面运动，忽略地球自转； 4. 忽略摆线的质量和变形。,一：量纲分析法实例,分析建模 10. 列出有关的物理量 运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力
14、加速度 g，振幅 . 20. 写出量纲 t=T，l=L，m=M，g=LT-2，=1. 30. 写出规律 F(t, l, m, g, )= 0. 40. 写出规律中加项 的形式 =t 1 l 2 m 3 g 4 5,50. 计算 的量纲 = T1L2M3( LT-2)4 = T1-24L2 + 4M 3 60. 应用量纲齐次原理 由 = 1, 可得关于i (i 1, , 5)的方程组 1 - 24 = 0 2 + 4 = 0 3 = 0 5 任意,70. 解方程组 解空间的维数是二维。 对自由变量(4， 5)选取基底(1, 0)和(0, 1)。 关于 1, 2, 3 求解方程组可得基础解系,80
15、. 求 将方程的解代入加项 的表达式，可得 1 = t2 l-1 g = t2 g / l ， 2 = . 90. 建模 单摆运动的规律应为 f (1, 2) = 0， 解出 1 可得 1 = k1(2) ，即 t2 g / l = k1() ，,100. 检验 周期与 质量 m m=390g m=237g l = 276cm 3.327s 3.350s l = 226cm 3.058s 3.044s 周期与振幅 (l=276cm, m=390g) (0) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62 k() 6.35 6.35 6.354 6.
16、354 6.388 6.388 6.471 6.524 150 时, k( ) 2 。 k() 与 有关。,1. 模型与量纲 模型描述的是实际问题的内蕴的特征。 量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。 模型所描述的规律应该独立于量纲的影响 机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响 因此机理模型需要无量纲化。使用无量纲量来描述客观规律。,二. 模型的无量纲化,2. 模型无量纲化举例 例1. 单摆的运动：建模描述单摆运动的规律 假设：同前。 变量、参量：同前。 坐标系: (x，y)，(r, ) 平衡关系： 受力物体运动的加速度与其质量的乘积等于它所受的外力。 外力：重力 mg，张力 T。,
17、模型 注意到摆球的坐标的表达式，则有 第一个方程描述了摆球沿摆弧的切线方向运动的情况，是量纲齐次的。 对它进行无量纲化。,变量的无量纲化 令 称之为无量纲时间 代入模型可得 选择变换因子为 则有,无量纲模型的分析 1. 换算因子 w0:令T0为单摆的周期，则 w0 为角频率 以2为时间单位时摆动的频率数。 2. 特征时间 tc, 称tc=1/w0=T0/2 为特征时间。 以2为时间单位时，摆动一次所需的时间 3.无量纲时间 = t/tc。是以特征时间为单位的时间计量。,例2. 抛射问题：从地球表面以速度 v 竖直向上发射火箭。讨论火箭发射的高度随时间变化的规律。 假设： 1. 地球是球体。 2
18、. 火箭升空只需克服地球的引力。 3. 火箭在地球的表面附近在引力作用下将具有自由下落的加速度 g。 平衡关系：牛顿定律，万有引力定律 火箭升空后由于地球吸引力的作而减速运动用。,变量、参量 时间：t，火箭的高度：y(t), 地球半径：r, 初速度：v，重力加速度：g， 火箭质量：m1,地球质量：m2. 模型 m1y= - k m1m2/(y+r)2。 由假设3, y = 0 时, y= - g。故有 g = k m2/r2. y= - r2 g / (y+r)2, y(0) = 0, y(0) = v.,模型的无量纲化 将模型中的变量变换为无量纲变量 令 tc，yc 分别为具有时间量纲和长度
19、量纲的量。 则 t*= t / tc，y*= y / yc 就成为无量纲的时间和长度。注意到 模型就可以化为,令 tc2g / yc = 1, vtc/ yc = 1, 则有 tc = v / g, yc=v2/g 分别称 tc和 yc为特征时间和特征尺度 模型可以化简为 y*=-(Ay*+1)-2, y*(0)=0, y*(0)=1, 其中 A=v2/rg 这时模型是简单的，而且其中所有的量都是无量纲的。,无量纲化模型的分析 1. 模型的化简 地球的半径 r = 6370千米， r g = 62426000米2/秒2 火箭的速度 故，近似地有 A = 0，从而有 y*= - 1，y*(0)=0，y*(0)=1。 有解 y* = - t2* / 2 + t*，y(t) = - g t2 / 2 + v t 还原到原模型为 y=-g，y(0)=0, y(0)=v。 刚好是由于高度 ，近似取 y=0 得到的。,2. 特征时间和特征距离 不难看出，t c= v / g 给出了对于 较小的 v，火箭在定常的引力作用下达到最高点的时间 yc / 2 = v2 / 2g 是火箭所能达到的最高距离 常数 tc，yc是抛射问题的两个内在的特征指标。称之为特征时间和特征距离。 当以特征时间和特征距离为单位来度量变量时 抛射体的运动规律是最简单的而且是最本质的， 并且是与物理量的量纲无关。,