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1、极坐标系下二重积分的计算-、极坐标与直角坐标系的关系二、二重积分的极坐标转化及计算什么是极坐标?在平面内取一个定点0,叫做极点。引一条射线ox, 叫做极轴，这样就建立了一个极坐标系。对于平面内任一点记 |OM|= r , ZXOM= 0 ,(r 0,02-)(r, 0)就叫做点M的极坐标。如:(巧)一一对应平面上任一点G，0)、极坐标与直角坐标系的关系两坐标系中变量间关系:xxx = rcos0y =厂 sin&x2 + y2 = r2tan 0 =x二、二重积分的极坐标转化及计算1、二重积分的极坐标转化二重积分中被积函数/(x,y)= /(rcos求极坐标下的积分元素do的表示方法。设积分区
2、域D为平面有界区域，并且从原点发出的 射线与D的边界线交点不多于两个,则区域D被分割情形 见下图.图中分割的其中一小块的面积为Act = (r + Ar)2A0-r2A0 2 2 =rArA0 + (Ar)2A0.略去高阶无穷小-(Ar)2A0,则有 2Ac rArAda = rdrdfi于是，二重积分y)dxdy = jj f(r cos 0,r sin O)rdrd 0.DDA牛c=-、极坐标系下:重积分化为累次积分的 的三种情形1、区域特征如图r =(p2(0)Dzr =(Pi(Oaaep,亦0)02(&)/ = (&)y = 0(0Df(x,y)dxdyD=Jj/(rcos, rsin
3、0)rdrd0 yD(T=Id&：；Wcos0, rsin0)rdr.2、区域特征如图D：a3p,0r 0(&)f(x,y)dxdyD= JJ/(rcos0, rsin0)rdrdOD0 deJ a(&)0/(r cos0 rsinO) r dr.=Jj f(rcosG rsinO)rdrd0D=)/(/cos0, rsinO)rdr.极坐标系下区域的面积a = rdrdO.D将化为在极坐标系下的二次积分。Do 22 A:1)在极坐标系中，闭区域D可表示为0y,0r2 D=jj/(r cos, r sin 0)rdrdOD=dOf (r cos, r sin 0)r dr.2) 在极坐标系中，
4、闭区域 D可表示为0r2.jjf(x,y)daD= JJ/(rcos0, rsinO)rdrd0D=rsin0)rdr.3）在极坐标系中，闭区域 D可表示为0&2兀，0r 2.（兀）bD=jj f(r cos, rsin0)rdrdOD=dOfir cos, r sin 0)r dr.4）在极坐标系中，闭区域D可表示为-0 y, 0r 4cos.=J“(/cos0，rsinO)r drd3D= E：2呦驚分rsin利用极坐标计算二重积分例2 求口(*+尸)嘶，D： x2+y20)D解 在极坐标下D： 0rR, Q02n.jj(x2+j2)drrfy dOr2 rdrD= -R2例3求+ ydxdy,Dt x2 + j2 0).D解 积分区域D如图，在极坐标下!: 0 K2acos0，冗 c 冗e0)./ 2asin0原式二上朋Jo4r cos 0rdr解 积分区域D见图，采用极坐标计算,竺QJ-a3 sin3 OcosOdO4 3n-a3 - sin4 0344-a32例5求e x dx的值.J 0解 考虑区域D： 0 x +oo, 0 j +oo,记小结掌握极坐标系下二重积分的计算方法,化二重 积分为极坐标下的二次积分，并注意运算技巧.