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1、,习题课,第十部分 曲线、曲面积分,1,教学运用,（按积分区域分类）,定积分,二重积分,三重积分,D,曲线积分,曲面积分,一型：对弧长,二型：对坐标,一型：对面积,二型：对坐标,Stokes 公式,高斯公式,格林公式,一.多元函数积分学概况,推 广,推 广,推 广,推 广,2,教学运用,第一型 (对弧长),第二型 (对坐标),两型之间 的关系,标准形式,物理意义,计算方法,相似处,不同处,曲线积分,1.都是化曲线积分为 定积分计算。 2.都要把曲线表示式 代入被积函数。,积分下限 上限,L方向：从AB,积分下限为起点A的 t 值,上限为终点 B的 t 值,此处下限是 , 上限是.,.,1. 第
2、型、第型曲线积分的比较,.,3,教学运用,第一型 (对面积),第二型 (对坐标),两型之间 的关系,标准形式,物理意义,计算方法,曲面积分, 指空间曲面,为有向曲面,.,.,.,2. 第型、第型曲面积分的比较,4,教学运用,解决,平面的曲线积分与二重积分的联系,3. 格林公式,L,D,D,L,l,(逆),(顺),则有,其中 L 是 D 的整个正向边界曲线.,若：,特殊情况(D是复连通的)下，格林公式成为：,注：,(逆),(逆),问题。,5,教学运用,4. 平面曲线积分的四个等价命题,.,若其中一个成立，另外三个也成立。,等价的意义是：,6,教学运用,5. 高斯公式,曲面积分与三重积分的联系,则
3、有,其中 是 的整个边界曲面的外侧.,若：,.,.,.,解决,问题.,7,教学运用,6.曲面积分与曲面无关的条件.,.,8,教学运用,7. Stokes 公式,曲线积分与曲面积分的联系,若：,解决,问题,9,教学运用,7. Stokes 公式,曲线积分与曲面积分的联系,则有,若：,解决,问题.,.,.,10,教学运用,*8 空间曲线积分的四个等价命题.,.,11,教学运用,9. 散度,.,.,例：,解：,.,12,教学运用,10. 旋度,.,.,例：,解：,由轮序对称性，,13,教学运用,11.曲线积分和曲面积分的应用: 填空.,.,.,.,.,14,教学运用,二 下列计算对吗？,解：,a,D
4、,L,.,.,以上解法对吗？,.,15,教学运用,二2,解：,a,.,.,以上解法对吗？,Dxy,1,2,.,.,16,教学运用,二3,解：,a,.,以上解法对吗？,Dxy,1,2,.,.,17,教学运用,二4,解：,a,.,以上解法对吗？,Dxy,1,2,.,.,取上侧；,取下侧.,18,教学运用,二5,解：,a,.,以上解法对吗？,.,.,19,教学运用,三 判别积分的类型并计算（4个）,20,教学运用,四 课堂练习. 1. 单项选择题,B,C,B,21,教学运用,2. 计算题,22,教学运用,谢 谢 使 用,返回首页,习题课,.,23,教学运用,A(1,0),B(0,1),C(1,2),
5、解,类型：,I 型曲线积分,三1.,其中，,.,.,.,24,教学运用,1,4,A(1,1),B(2,4),C (1,4),解,类型：,II 型曲线积分,三2.,方法 I：,直接计算.,1,.,.,也可以用下面的方法：,25,教学运用,1,4,A(1,1),B(2,4),C(1,4),D,解,类型：,II 型曲线积分,贴补，用格林公式.,1,.,先 x,.,.,三2.,方法 II：,26,教学运用,4,解,类型：,I 型曲面积分,三3.,Dxy,用平面极坐标,.,.,.,27,教学运用,解,类型：,II 型曲面积分,三4.,S由第一卦限和第二卦限中的锥面S1和S2构成.,其上侧在yOz平面的投影为负；,其上侧在yOz平面的投影为正.,h,h,z = y,Dyz,Dyz 图形？,.,S1,S2,.,.,.,也可以用下面的方法：,28,教学运用,o,x,y,z,解,类型：,II 型曲面积分,需贴补侧面S（右侧）和半圆顶面S半圆（下侧）.,h,h,Dxy 图形？,.,三4.,方法 II:,贴补，用高斯公式.,S,S半圆,.,29,教学运用,2. (1),解,方法：,2,1,L,用格林公式,.,.,0 t 2,C,.,.,30,教学运用,2. (2),解,方法：,贴补，用高斯公式.,R,S,V,.,.,Dxy,31,教学运用,解,.,.,.,.,.,.,32,教学运用,