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1、矩阵的特征值及特征向量,一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法,1,教学运用,说明,一、特征值与特征向量的概念,2,教学运用,3,教学运用,4,教学运用,解,例1,5,教学运用,6,教学运用,例,解,7,教学运用,8,教学运用,9,教学运用,解,10,教学运用,11,教学运用,得基础解系为：,12,教学运用,例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 的特征向量，则,证明,13,教学运用,14,教学运用,证明,则,即,类推之，有,二、特征值和特征向量的性质,15,教学运用,把上列各式合写成矩阵形式，得,16,教学运用,注意,.属于不同特征值的特征向
2、量是线性无关 的,.属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量,.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值,17,教学运用,18,教学运用,例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为,解,三、特征值与特征向量的求法,19,教学运用,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,四、小结,20,教学运用,思考题,21,教学运用,思考题解答,22,教学运用,5、3 相似矩阵,一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化,23,教学运用,一、相似矩阵与相似变换的概念,24,教学运
3、用,1. 等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,25,教学运用,证明,26,教学运用,推论 若 阶方阵A与对角阵,27,教学运用,利用对角矩阵计算矩阵多项式,28,教学运用,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,29,教学运用,定理,证明,30,教学运用,证明,三、利用相似变换将方阵对角化,31,教学运用,32,教学运用,命题得证.,33,教学运用,说明,如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化,34,教学运用,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,35,教学运用,解之得
4、基础解系,36,教学运用,求得基础解系,37,教学运用,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,38,教学运用,解,39,教学运用,解之得基础解系,40,教学运用,所以 可对角化.,41,教学运用,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,42,教学运用,四、小结,相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：,43,教学运用,相似变换与相似变换矩阵,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算,相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的 相似变换矩阵,44,教学运用,思考题,45,教学运用,思考题解答,46,教学运用,47,教学运用,