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1、圆锥曲线齐次式与点乘双根法圆锥曲线齐次式与点乘双根法 一，一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值 例 1： 12 ,Q Q为椭圆 22 22 1 2 xy bb 上两个动点，且 12 OQOQ，过原点O作直线 12 QQ的垂 线OD，求D的轨迹方程. 解法一（常规方法） ：设 111222 ( ,),(,)Q x yQ xy， 00 (,)D xy,设直线 12 QQ方程为ykxm， 联立 22 22 1 2 ykxm xy bb 化简可得: 22222222 (2)42()0b kbxkmb xb mb，所以 2222222 1212 222222 2(
2、)(2) , 22 b mbb mb k x xy y b kbb kb 因为 12 OQOQ所以 222222222222 1212 22222222 2()(2)2()2 =0 222121 b mbb mb kmbmb k x xy y b kbb kbkk 222 32(1)mbk 又因为直线 12 QQ方程等价于为 0 00 0 () x yyxx y ，即 2 00 0 00 xx yxy yy 对比于 ykxm，则 0 0 2 0 0 0 x k y x ym y 代入中，化简可得： 222 00 2 3 xyb. 解法二（齐次式） ： 设直线 12 QQ方程为1mxny，联立
3、2222 2222 11 110 22 mxnymxny xyxy bbbb 22 2 22 ()0 2 xy mxny bb 化简可得: 22 2222 22 20 2 xy m xn ymnxy bb 整理成关于, x y, x y的齐次式： 2222222 (22)(1 2)40b nym bxmnb xy，进而两边 同时除以 2 x，则 22 222222 12 22 1 2 (22)41 20 22 m b b n kmnb km bk k b n 因为 12 OQOQ 12 OQOQ所以 12 1k k ， 22 22 1 2 1 22 m b b n 222 32()b mn 又
4、因为直线 12 QQ方程等价于为 0 00 0 () x yyxx y ，即 2 00 0 00 xx yxy yy 对比于 1mxny，则 0 22 00 0 22 00 x m xy y n xy 代入中，化简可得： 222 00 2 3 xyb. 例 2： 已知椭圆 2 2 1 4 x y， 设直线l不经过点(0,1)P的直线交于,A B两点， 若直线,PA PB 的斜率之和为1，证明：直线l恒过定点. 解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x py，如图所示： 旧坐标新坐标 ( , )( ,)x yx y 即(0,1)(0,0) 所以 1 xxAA yyBB 原来 12 12 11
5、11 PAPB yy kk xx 则转换到新坐标就成为： 12 12 1 yy xx 12 1kk 即 设直线l方程为：1mxny 原方程： 22 44xy则转换到新坐标就成为： 22 4( 1)4xy 展开得： 22 4 8 0 xyy 构造齐次式： 22 4 8 ()0 xyy mxny 整理为： 22 (48 ) 8 0n ymx yx 两边同时除以 2 x，则 2 (48 ) 8 10n kmk 所以 12 8 1 48 m kk n 所以 1 221 2 mnmn 而1mxny 1 () 1( )10 22 x nxnyn xy 对于任意n都成立. 则： 0 2 210 2 xy x
6、 x y ，故对应原坐标为 2 1 x y 所以恒过定点(2, 1). 例 3：已知椭圆 22 1 82 xy ，过其上一定点(2,1)P作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭 圆于,A B两点，证明：直线AB斜率为定值. 解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x py，如图所示： 旧坐标新坐标 ( , )( ,)x yx y 即(2,1)(0,0) 所以 2 1 xxAA yyBB 原来 12 12 11 00 21 PAPB yy kk xx 则转换到新坐标就成为： 12 12 0 yy xx 12 0kk即 设直线AB方程为：1mxny 原方程： 22 48xy则转换到新坐标就成为： 22
7、 ( 2)4( 1)8xy 展开得： 22 4 4 8 0 xyxy 构造齐次式： 22 4 4 ()8 ()0 xyx mxnyy mxny 整理为： 22 (48 ) (48 )(14 ) 0ynx ynmm x 两边同时除以 2 x，则 2 (48 ) (48 ) 140n knm km 所以 12 48 0 48 nm kk n 所以2nm 而1mxny ( 2 ) 1210mxm ymxmy .所以 1 = 2 k 平移变换，斜率不变，所以直线AB斜率为定值 1 2 . 二，二，点乘双根法点乘双根法 例 4：设椭圆中心在原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右顶点分别为 12 ,F F
8、，线段 12 ,OF OF中点分别为 12 ,B B，且 12 AB B是面积为4的直角三角形. （1）求其椭圆的方程 （2）过 1 B作直线l交椭圆于,P Q两点，使 22 PBQB，求直线l的方程. 解： （1） 22 1 204 xy （2）易知：直线l不与轴垂直，则设直线l方程为：(2)yk x ， 1122 ( ,),(,)P x yQ xy 因为 22 PBQB，则 22=0 PB QB ， 所以 2 11221212 (2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0 xyxyxxkxx 现联立 222 22 (2) 5(2)200 1 204 yk x xkx xy 则方程 222
9、5(2)200 xkx可以等价转化 2 12 (1 5)()()0kxx xx 即 2222 12 5(2)20(1 5)()()xkxkxx xx 令2x ， 2 22 1212 2 8016 48020(1 5)(2)(2)(2)(2) 1 5 k kkxxxx k 令2x ， 2 1212 2 16 4020(1 5)(2)(2)(2)(2) 1 5 kxxxx k 结合 2 1212 (2)(2)(2)(2)0 xxkxx化简可得： 2 22 801616 0 1 51 5 k kk 2222 11 80161606416 42 kkkkk 所以直线l方程为： 1 (2) 2 yx .