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1、数学方法论与解题研究,韩山师范学院数学与应用数学系 欧慧谋,数学方法论主要研究什么?,方法论： 就是人们认识世界、改造世界的一般方法，是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。概括地说，世界观主要解决世界“是什么”的问题，方法论主要解决“怎么办”的问题。 数学方法论： 主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。,学习数学方法论有什么意义？,1.作为数学学习者，自觉地用数学方法论来指导学 习，能促进对合理方法的应用的转化，提高数学学 习效果 。 （学知识+学方法）,2.作为数学教师，数学方法论与数学教学的有机结 合能提高数学教学质量 。（讲
2、活、讲懂、讲深）,数学方法论涉及哪些内容？,实验尝试、 类比联想、 分析综合、 归纳演绎 化归、 抽象、 公理化、 关系映射反演等。,强调心理学的意义： 数学元认知、数学直觉等,第二章 数学发现的基本方法,数学发现是以提出问题和解决问题为主要标志的，这方面的能力又是衡量一个人数学水平的重要标志。,提高发现问题和解决问题的能力，已经成为老师教好数学，学生学好数学的重要环节，也是研究数学、运用数学必不可少的技能。,1.观察法,为什么发现“万有引力”的人是牛顿？ 假如穿越时空，你能发现“勾股定理”吗？ 为什么费马能提出“费马大定理”，而证明这定理的人是维尔斯？,1.观察法,观察，即仔细看，在心理学上
3、，观察被看成是一种有目的、有计划、有步骤的感知活动，是一种主动的，对思维有积极作用的感知活动。,多产的数学家欧拉：,1.观察法,多产的数学家欧拉：,在被称为纯粹数学的那部分数学中，观察无疑占有极重要的地位,1.观察法,例子：,1.观察法,例子：,1.观察法,2.联想,2.联想,联想思维的三个主场部分,某种概念,联想的方法,接近联想（形似联想） 主要有概念、原来、法则的接近而产生的联想。它是由命题的已知条件与结构特征，联想到相关的定义、定理、公式或图形等。,2.联想,联想的方法,类比联想（对比联想） 主要根据问题的具体情况，从具有类似或相似特点的数、式、图形以及相近的内容和性质等进行联想。,2.
4、联想,联想的方法,关系联想 是根据知识之间的从属关系、一般关系、因果关系以及其内在联系进行的一种联想。 例如，看到一个问题，联想到它属于什么类型和一般用什么方法来求解，有一个一般问题联想到特殊情形，有一个题设条件联想到它的推论等等。,2.联想,联想的方法,关系联想,2.联想,4.逆向联想 逆向联想是指从问题的正面想到问题的反面。在解题方法上表现为反面解法、倒推法等间接方法，在证明上表现为反证法、同一法等间接证法。,4.逆向联想,4.逆向联想,5.横向联想：是指数学各分支之间，乃至数学与物理、化学等学科之间的联想，各种知识之间有着一定的联想和相互渗透，这就为横向联想提供了可能条件。,5.横向联想
5、,证明:用平面几何和解析几何的方法证较繁杂，故考虑用重心原理来证明。,三、联想能力的培养,1.重视基础知识，注意知识系统化 掌握知识越丰富，理解知识间的纵横关系越多，联想就能在更广阔的领域中展开。回忆到或搜索到的有关知识就越多，对已经学过的概念、定理、公式、法则以及数学思想方法理解得越透，掌握得越牢固，越系统，解题经验越丰富，联想就越畅通，越有效。,2.“控制联想”和“自由联想”要双管齐下 控制联想：指有目的、有方向且受一定条件限制的联想。 自由联想：指从多方向、多角度、多层次进行的联想，有助于提高联想的广度和深度。,只有双管齐下，才能使解题思路开阔，巧法 频生，酝酿出多种不同的解题策略和思路
6、。,2.“控制联想”和“自由联想”要双管齐下,3.运用联想把问题引申推广,3.运用联想把问题引申推广,3.运用联想把问题引申推广,3尝试,尝试：就是将初步意向付诸实施，试探是否可行，是否有进展，是否可以接近目标，是否能缩小解答所在的范围等等。,通过对数学问题进行观察、联想，从整体上把握问题，形成初步的策略（解决问题的想法、方向以及解答范围等）。,1.从简单入手：首先考虑符合题意的最简单情形，尝试找出这种情形的解法，然后过渡到一般情形。,一、简单化，化难为易,1.从简单入手,2.将复杂的问题分解成几个简单问题,复杂综合的问题，往往由一些比较简单的问题巧妙地糅合而成，要善于观察，分解成几个小问题，
7、各个击破后再综合起来。,1.分析特例，寻找启示,二、特殊化，寻找突破口,2.利用特例奠定基础,3.使用特例，完善解题,1.变易论题,三、变换角度，选择主攻方向,2.数形转换(数形结合百般好，隔裂分家万事休-华罗庚),三、变换角度，选择主攻方向,3.横向求索：采用那些看来与题目不“相关”的其他数学分支内容进行“旁敲侧击”。,三、变换角度，选择主攻方向,（相对于纵向追溯而言：按照知识系统，回顾和使用题意所涉及范围的内容）,3.横向求索,3.横向求索,1.倒推法：问题发生顺序倒置，逆推还原。,四、逆反转换，灵活解题,逆反转换：顺推不行，考虑逆推；直接解决不易，考虑间接解决；正面困难，考虑反面。,例9
8、.（欧洲古代数学趣题）有一篮李子不知其数，分给甲一半又一个，分给乙剩下的一半又一个，分给丙剩下的一半又三个，李子刚好分完，问原有李子多少个？,1.倒推法,例9.（欧洲古代数学趣题）有一篮李子不知其数，分给甲一半又一个，分给乙剩下的一半又一个，分给丙剩下的一半又3个，李子刚好分完，问原有李子多少个？,四、逆反转换，灵活解题,2.反客为主：问题元素主次倒置。,4.实验,实验：是人们根据科学研究的目的，运用一定的研究手段（器具、仪器或科研设备），在人为控制、变革或模拟客观对象的条件下，通过观察获得感性经验和科学事实的研究方法。,数学实验：是为了获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在思维参与下，在经典的实验环境中或特定的实验条件下进行的一种数学探索活动。,数学实验：实验和发现紧密相连，实验法不论对于发现数学知识，形成数学概念或论题，以及探索结论及解题思路都具有十分重要的作用。,求三角形的内角和。,概率论的发生于发展。,