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1、狭义相对论公式及证明单位符号 单位符号坐标：m (x, y, z)力：N F(f)时间：s t(T)质量:kgm(M)位移：m r动量:kg*m/s p(P)速度：m/s v(u)能量：J E加速度：m/sA2 a冲量:N*s I长度：m l(L)动能：J Ek路程：m s(S)势能：JEp角速度：rad/s 3力矩：N*m M角加速度:rad/sA2a功率:W P牛顿力学（预备知识）(1)v=dr/dt, r=r 0+ j rdt（一）：质点运动学基本公式：（2）a=dv/dt, v=v0+ j adt（注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式）当v不变时，（1）表示匀速直线运动。当a不变时
2、，（2）表示匀变速直线运动。只要知道质点的运动方程r=r（t），它的一切运动规律就可知了。（二）：质点动力学：（1）牛一：不受力的物体做匀速直线运动。牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。F=ma=mdv/dt=dp/dt（3）牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。（4）万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。F=GMm/r 2,G=6.67259*10 -11m3/（kg*s 2）动量定理：l= j Fdt=p2）1（合外力的冲量等于动量的变化）动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。动能定理：Wj Fds=Ek2-Ek1（合外力的功等于动能的变化）机械
3、能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2（注:牛顿力学的核心是牛二：F=ma，它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r（t）,若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r（t）,可根据运动学基本公式求a,再由牛二可知物体的受力情况。）狭义相对论力学：（注：丫 =1/sqr（1u2/c2）, 3 =u/u,为惯性系速度。）（一）基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。 （此处先给出公式再给出证明）（二）洛仑兹坐标变换：X= Y （xut）Y=yZ
4、=zT= Y -ux/c2)(三) 速度变换：V(x) = (v(x)-U)/(1-V (x) u/c2)V(y)=V(y)/( y-Vx)U/C )V (z)=V(z)/( y -Vx) U/C2)(四) 尺缩效应： L= 1/或dL=dl/ Y(五) 钟慢效应： t= t或 dt=d t / y(六) 光的多普勒效应：va)=sqr(1- 3 )/(1+ R) v(光源与探测器在一条直线上运动。)(七) 动量表达式：P=Mv=y mv,即M=y m.(八) 相对论力学基本方程：F=dP/dt(九) 质能方程：E=Mc2(十)能量动量关系：E2=Eo2+P2c2(注：在此用两种方法证明，一种
5、在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们 是等价的。)三维证明：(一) 由实验总结出的公理，无法证明。(二) 洛仑兹变换：设(x, y,乙t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y,乙T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在 A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为 X=-uT,即X+uT=O。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯 性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两 个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式， 即k=K.故有X=k(x-
6、ut),(2).对于y,乙Y, Z皆与速度无关，可得 Y=y,(3).Z=z(4).将代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即 T=kt+(1-k 2)/(ku)x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定 k需用光速不变原理。当两系 的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)= 丫将丫反代入(5)式得坐标 变换：X= Y (xut)Y=y Z=z T= Y -ux/c2)(三) 速度变换：V(x)=dX/dT= y
7、 (dxit)/(丫-udx/c2)=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c 2)=(V(x)-u)/(1-V (x)u/c2)冋理可得V (y) ,V (z)的表达式。(四) 尺缩效应：B系中有一与x轴平行长I的细杆，则由X= y (xut)得： X= y x-u t),又厶t=0(要同时测量 两端的坐标)，则 X=yx,即： l= L, L= I/(五) 钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，t= y (T+Xu/C),故厶t=泄T+ Xu/c2),又厶X=0,(要在同地测量)，故 t= Y T.(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时， 是不随坐
8、标变换而变的客观量。)(六) 光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：Va) = (U+V1)/(U-V2) (V.)B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为也,波数为N , B系的钟测得的时间是 t(b),由钟慢效应可知，A系中的钟测得的时间为t(a)= t(b),(1).探测器开始接收时刻为ti+x/c,最终时刻为t2+(x+V t(a)/c,则厶t(N)=(1+ 3t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发 出的波数与探测器接收的波数相同，即Vb) t(b)= Va) t(N),(3).由以上三
9、式可得： Va)=sqr(1- 3 )/(1+ 他) v(七) 动量表达式:(注：dt= 丫(此T时，丫 =1/sqr(1v2/c2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，3 =v/c)牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。牛顿力学中，v=dr/dt, r在坐标变换下形式不变，(旧坐标系中为(x, y, z)新坐标系中为(X,Y,Z) 只要将分母替换为一个不变量(当然非固有时dT莫属)就可以修正速度的概念了。即令V=dr/d t = y dr/dt=为
10、相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为 V，可修正动量，即p=mV=Y mv。定义 M=y m相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。(注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算)(八) 相对论力学基本方程：由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。(相对论中质量是变量)(九) 质能方程：Ek= / Fdr= / (dp/dt)*dr=/ dp*dr/dt二 / pdvdp=pv=Mv2-/ mv/sqr(-1/2/c2)dv=Mv 2+mc2*sqr(1-v 2/c2)-mc2=Mv 2+Mc 2(1-v2
11、/c2)-mc2=Mc2-mc2即 E=Mc2=Ek+mc2(十)能量动量关系：E=Mc2,p=Mv, 丫 =1/sqr(1v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+p2c2四：四维证明：(一) 公理，无法证明。(二) 坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时 空点的dS 一般不为0。dS20称类空间隔，d&v。称类时间隔，dS2=0称类光间隔。相对论 原理要求(1)式在坐标变换下形式不变，因此(1)式中存在与
12、坐标变换无关的不变量，dS2dS2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。由数学的旋转变换公式有：(保持y, z轴不动，旋转x和ict轴)X=xcos $ +(ict)sin$icT=- xsin $ +(ict)cos $Y=yZ=z当 X=0 时，x=ut,则 O=utcos $ +ictsin $得：tan $ =iu/（则 cos $ = ；sjn $ =iu 丫反代入上式得：X= Y （xut）Y=yZ=zT= Y -ux/c2）（三）（四）（五）（六）（八）（十）略。（七）动量表达式及四维矢量：（注
13、：丫 =1/sr（1-v2/c2）,下式中dt= y d t） 令r=（x, y, z, ict）则将v=dr/dt中的dt替换为d t V=dr/d t称四维速度。则V=（ 丫 v,ic y ）为三维分量，v为三维速度，ic Y为第四维分量。（以下同理）四维动量：P=mV=Y mv, ic 丫 m）=（Mv,cM）四维力：f=dP/d t =y dP/dt=（ y FdM/dt）（F为三维力）四维加速度：3 =/d tYva/c）贝V f=mdV/d t =nrto（九）质能方程：fV=m 3 V=m（ Y5va+i2 fva）=0故四维力与四维速度永远垂直”（类似于洛伦兹磁场力）由 fV=
14、0 得：丫 A2mFv+y ic（dM/dt）（ic 丫 m）=0（l为三维矢量，且 Fv=dEk/dt（功率表达式） 故 dEk/dt=c2dM/dt 即 / dk=cA2 / dM,:Ek=Mc 2-mc2故 E=Mc 2=Ek+mc2关于第六条：通过速度变换和质能方程（E=Mc2）可以导出两个坐标系间的能量变换公式（证明很简单， 但很繁琐，就不写了） ： E= y E（1u*v/c2）（注：u、v都是矢量，U为参考系速度，v为光源速度，*表示点乘，也可以写做：E= Y E（1v（ x）/c2）上式对任意粒子都成立，对于光子：E=hv代入得：v = Y 1-UCOS 0 ）（普遍公式）对于 0 =0可得：v = v sqr（3 ）/（1+ 3）（特例）利用速度变换和动量关系（p=Mv ）一样可导出两坐标系之间的动量变换公式：p（x） = 丫（x）（1-u/v（x）p（y） =p（y）p（z）=p（z）动量变换与能量变换不仅仅适用于光子，对所有的粒子都是适用的。