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1、现代数值计算方法公式一、插值法1.拉格朗日（Lagrange ）插值法a）两点一次： b）三点二次:2.牛顿（Newton）插值a）n次牛顿法多项式：其中一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商b）向前差分:A下减上c）向后差分:上减下3.三次埃米尔特Hermite )插值拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes ）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2. 高斯(Gauss)公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解Xi2. 利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将Xi带入求A3. 将xi、Ai带入公式求取积分、
2、并计算误差。普通积分化标准形式:积分区间a,b变换3代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x 2,Xm时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求 积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法，那么问题就变为求解，先将A分解为，则原式变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1. 范数向量范数定义: 设 足条件1)非负性2)其次行3)三角不等式称常见范数:其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数，|x|=0当且仅当x=0成立域上的一个向量范数OO矩阵范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性2）其次行3）三角不等式4）乘积性质称为,|A|=
3、0 当且仅当A=0成立域上的一个矩阵范数常见范数：行范数列范数为的最大按模特征值2.谱半径3. 雅可比迭代向量:用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下:矩阵：对于Ax=b,先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L,再减去上三角矩 阵U。其中4. 高斯-塞德尔迭代向量：带入下边的公式，分量用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的通式如下：矩阵：对于Ax=b,先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L,再减去上三角矩 阵U。其中5. 松弛迭代雅可比松弛（JOR :注： 当一时，收敛雅可比方法收敛时，收敛逐次超松弛（SOR:注： 系数矩阵A对称正定，时收敛六、方程求根1. 大范围收敛定理a) (x)在a,b上连续；b) 当 x a,b时，(x)a,b；c) W (x)存在，且对任意x迂a,b有2. 牛顿迭代法牛顿下山法3.割线法七、矩阵特征问题求解1. 规范化乘幂法2. 原点位移乘幂法取一个-0,用B=A-I* 0替代A,则得到的特征值Ui=i- o,特征向量不变八、常微分方程的数值解法 1.欧拉公式2. 向后欧拉公式3. 梯形公式4. 改进欧拉公式