数学分析报告考研试题.docx

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1、、填空题(此题共高数考研试题24分，总分值24分.把答案填在题中横线上)6小题，每题1假设x cos-,假设X x刁0,右X0,0,其导函数在x=0处连续，那么 的取值范围是0可直接按公式求导，当 x=0时要求用定义求导.1时，有1 1x cos Xf (x)X0,clim f (x)0 f (0)显然当 2时，有x 0【评注】原题见?考研数学大串讲?丨3 o 2(2)曲线y x 3a x【分析】曲线在切点的斜率为f(x)(1)设 【分析】【详解】2时，有再根据在切点处纵坐标为零，即可找到 【详解】由题设，在切点处有2 2y 3x 3a又在此点y坐标为0,于是有30 X。 3a X。.2 2

2、2 2、2 2故 bx°(3aX0) a2 .1 假设 xsin ,假设 x x牡 假设x0,0,x=0处连续.，即其导函数在【例5】(此考题是例5的特殊情形)b与x轴相切，那么b2可以通过a表示为b20,即yb2与a2，有X。4 a4 4a6.4a60，由此可确定切点的坐标应满足的条件，的关系.【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程 完全类似例题见?文登数学全真模拟试卷?数学四第一大题第(1,3)小题.a,假设 0 x f(x) g(x)(3 )设 a>0 ,°,其他,I f (x)g(y x)dxdy 2d= a .表示全平面，那么1

3、,0【分析】此题积分区域为全平面，但只有当0 X为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可2x) dxdya dxdy=0 x 1,0 y x 12 1a2 0(x 1)x 1时，被积函数才不I f(x)g(y【详解】D21 x 1a2 dx dy=0 xxdx a2.【评注】 假设被积函数只在某区域内不为零，函数不为零的区域的公共局部上积分即可.完全类似例题见?数学复习指南?【例】.T,a那么二重积分的计算只需在积分区域与被积(4)设n维向量(a,0,0,a)E为n阶单位矩阵，矩阵A E其中A的逆矩阵为B,那么 【分析】这里 T 注意利用乘法的结合律即可t B Ea=为n阶矩阵，而

4、T22a为数，直接通过 AB E进行计算并于是有AB(ET)(E1 aT)LT 1T1TTE=aaT 1T1/ T 、TE-()aaT 1T-TE2a=a1TE(1 2a-)E=a511 2a -02a1,a1.a，即 2aa10 ,解得2由于A<0 ,故a=-1【详解】由题设，有【评注】完全类似例题见?数学复习指南?第 2大题第(5)小题(5)设随机变量X和Y的相关系数为假设Z X0.4，贝U Y与Z的相关系数为【分析】 利用相关系数的计算公式即可 【详解】因为cov(Y,Z) cov(Y,X 0.4)E(Y(X 0.4) E(Y)E(X0.4)E(XY) 0.4E(Y)E(Y)E(X

5、) 0.4E(Y)且DZ=E(XY)DX.-E(X)E(Y)=cov(X,Y),于是有cov(Y,Z)=cov(Y,Z) cov(X,Y)DY . DZ = DX - DYXY °.9.【评注】注意以下运算公式：D(X a) DX , cov(X,Y a) 完全类似例题见?数学复习指南?【例】的【注】cov(X,Y).(6)设总体X服从参数为2的指数分布，Xi，X2，Xn为来自总体X的简单随机样n i 1Xi2X1,X2,Xn，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值1 np1 n-Xi-EXi(n).n i 1n i 1222【详解】这里X1,X2,Xn满足

6、大数定律的条件11 21EXi2DXi2(EXi)=4(2)2 ,因此根据大数定律有、， 1n21 n2 1YnXiEXi.ni1依概率收敛于n i1本，那么当n【分析】依概率收敛于此题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量【评注】大数定律见?数学复习指南?、选择题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f (0)存在，那么函数g(x)f(x)X(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在(D)有可去间断点x=0D 【分析

7、】由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.lim g(x) limlimf (0)于是有 x 0x 0 x x 0 x 0存在，故x=0为可去间断点.x 1, x 0,【评注1】 此题也可用反例排除，例如f(x)=x, 那么此时g(x)= X 0,x0,可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).lim f (x) A f (x0)0, f (x0)A.【评注2】假设f(x)在x x0处连续，那么x x0X X。.此题事实上相当于考查此结论，详情可参见?考研数学大串讲

8、?的重要结论与公式.(2)设可微函数f(x,y)在点(Xo,%)取得极小值，那么以下结论正确的选项是(A)f (X0, y)在 yy0处的导数等于零(B)f (x0, y)在y y0处的导数大于零(C)在f (X0, y)在 yyo处的导数小于零(D)f (x0,y)在y y0处的导数不存A 【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论【详解】可微函数f(x,y)在点(X。，y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知fydoyo) 0，即f(X0,y)在yy°处的导数等于零，故应选(A).【评注1】此题考查了偏导数的定义，f(X。，y)在y y0处的导数即fy(X0,y

9、0)；而 f(X,y0)在 X x0 处的导数即 fx(X0,y0).2 2【评注2】此题也可用排除法分析，取f(x, y) X y，在(0,0)处可微且取得极小2值，并且有f(°, y) y，可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).a n anan a n、Pn(3)设2 ，qn2n1,2,，那么以下命题正确的选项是anPnqn(A)假设 n 1条件收敛，那么n 1与n1都收敛anPnqn(B)假设 n 1绝对收敛，那么n 1与n1都收敛anPnqn(C)假设 n 1条件收敛，那么n 1与n1敛散性都不定anPnqn(D) 假设n 1 绝对收敛，那么n 1 与n 1 敛散

10、性都不定【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案ananan【详解】假设n1绝对收敛，即n 1收敛，当然也有级数n 1收敛，再根据an |anan |anPn-qnPnq n22及收敛级数的运算性质知，n1 与n 1 都收敛，故应选(B).【评注】 完全类似例题见?文登数学全真模拟试卷?数学三第二大题第(3)小题.abbAbab(4)设三阶矩阵bba，假设A的伴随矩阵的秩为1，那么必有(A) a=b 或 a+2b=0.(B) a=b或 a+2b 0.(C)ab 且a+2b=0.(D)ab 且 a+2b0C 【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2，由此可确定a

11、,b应满足的条件abb b a b b b a【详解】 根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有2(a 2b)(a b) 0，即有a 2b 0或a=b.但当a=b时，显然秩(A)2,故必有a b且a+2b=0.应选(C).【评注】n (n 2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有以下关系:n, r(A) n,r(A*)1, r(A) n 1,0,r(A) n 1.完全类似例题见?数学复习指南?【例】(5)设1， 2，s均为n维向量，以下结论不正确的选项是那么 1,2,s线性无关.(B)假设2,s线性相关，那么对于任意一组不全为零的数k1 , k2 , ks，都有k 1k22ks

12、s 0.(C)1, 2, ,s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)1 , 2 ,s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关B (A)假设对于任意一组不全为零的数k1，k2,ks，都有k1 1k2 2ks s 0【分析】 此题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等 价表现形式.应注意是寻找不正确的命题 .【详解】(A):假设对于任意一组不全为零的数k1, k2 ,ks ,都有k1 1 k2 2kss 0，那么 1, 2,s必线性无关，因为假设2, s线性相关，那么存在一组不全为零的数k1,k2 , k s 使得k1 1 k2 2kss 0，矛盾.可见(A)

13、成立.ki，k2, ,ks，都有 ki 1 k2 2ks s O.(B)不成立(C) 1，2, , s线性无关，那么此向量组的秩为 S；反过来，假设向量组1，2, , s的秩为S,那么1，2, s线性无关，因此(C)成立(D) 1，2， ，s线性无关，那么其任一局部组线性无关，当然其中任意两个向量线性无 关，可见(D)也成立综上所述，应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的例如，原命题：假设 存在一组不全为零的数k1，k2, , ks，使得& j k2 2ks s 0成立，那么1， 2， ， s线性相关.其逆否命题为：假设对于任意一组不全为零的数k1，k2， ，ks，都有k1

14、1 k2 2ks s 0，那么1，2,，s线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性与此题完全类似例题见?数学复习指南?【例】(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1=掷第一次出现正面，A2=掷第二次出现正面， A3 =正、反面各出现一次， A4 =正面出现两次，那么事件(A) A1, A2, A3相互独立(B)A2, A3，A相互独立(C) A1，A2，A3两两独立(D) A2，A3, A4两两独立.C 分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，假设成立，再检验是否相互独立 详解】因为1111P(AJ ； P(A2)二 P(A3)；

15、P(A4) -1111且P(A1A2) 4P(AA3) ；P(A2A3)P(A2A4) ；P(A1A2A3) 0可见有P(AA2) P(A)P(A2) P(a1A3)P(A1)P(A3) P(A2A3) P(A2)P(A3)? ? ?P(A!A2A3) P(A1)P(A2)P(A3)，P(A2A4)卩(人2)卩(傀).故Ai, A2, A3两两独立但不相互独立；A2，A3, A4不两两独立更不相互独立，应选 (C)【评注】 此题严格地说应假定硬币是均匀的，否那么结论不一定成立此题考查两两独立与相互独立的差异，其要点可参见?数学复习指南?三、(此题总分值8分) 设f(x)试补充定义f(1)1 1

16、 1 ,、 ,x ,1). sin x (1 x) 21 ,1 使得f(x)在2 上连续【分析】只需求出极限xim1 f(x)，然后定义f(1)为此极限值即可【详解】因为1 11lim f(x) m -Xin? f (x) = x 1 x sin x (1 x)11.(1 x) sin xlimx 1(1 x)sin x11cos xlim x 1sin x (1 x) cos x11 广2 sin xlim2x 1 cos x cos x (1 x) sin x1,1)由于f(x)在2 上连续，因此定义1f(1)使f(x)在2 '上连续.【评注】此题实质上是一求极限问题，但以这种形式

17、表现出来，还考查了连续的概念 在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x，转化为求y °的极限，可以适当简化.完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见?文登数学全真模拟试卷?P.数学三第三题.四、(此题总分值8分)设 f(u,v) 具1g(x,y)fxy，-(xy2),求连续2g2x偏导数2g2 .y且满足【分析】 此题是典型的复合函数求偏导问题：gf(u,v)，u2 xy,vy2)【详解】gxf yufx -v，gfxyfyuv22 2 2g2ff2ff2y22xy-x2故xuu vvv，2g22f2f22ff2x22xy-y -2.yuv uvv2222ggz 22、 fz 22

18、、f22(xy/ 2(xy)所以xyuv2直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用u v v u2 2=x y .【评注】此题考查半抽象复合函数求二阶偏导完全类似例题?数学复习指南? 【例，】.五、此题总分值8分 计算二重积分其中积分区域【分析】【详解】e (x2 y2D)si n(x2 y2)dxdy.y2.d= x, yx从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算rsin，有y2dxdy作极坐标变换:x r coseD2e0(x22y)sin(x2一 r20 re sin0et sintdtsintdt,那么e t int dee t sintcostdto costde te

19、t costt sin tdtA.A因此-(1 e2h1此题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积 ，即可得出结果，综合考查了二重积分、2(1e ).【评注】分后，再通过换元与分步积分均为最根底的要求 换元积分与分步积分等多个根底知识点.六、此题总分值9分)2n11ftnx 1的和函数fx及其极值.x=0时和为1.求出1求幕级数【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当 和函数后，再按通常方法求极值 .【详解】n 2nxx1 x2.f (x)( 1)n 1上式两边从0到x积分，得f(x)f(0)2dt3n(12x2).由 f(0)=1,得f(x)令 f

20、(x)1 21ln(1 x2),(x20，求得唯一驻点x=0.由于1 x21).f (x)22 >(1 x )f (0)1 0 ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级F(x)求导，并将其F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程(1)由f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x)2f(x)g(x)X2 e ) -2F(x),2f(x)g(x)=(2可见F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x)2dx F(x) ee2x4e2x4e2x4e4xdx2

21、dxe dx CC= e2x 将 F(0)=f(0)g(0)=0 C=-1.Ce 2x.代入上式，得数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.完全类似例题见?数学题型集粹与练习题集?数学三模拟试题(五)第八题七、(此题总分值9分)设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x) 在(，)内满足以下条件：xf (x) g(x) , g (x) f(x)，且 f(0)=0,f(x) g(x) 2e .(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；''(2) 求出F(x)的表达式.【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对 余局部转化为用【详

22、解】F (x)2x eF(x) e2x形式,【评注】 此题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的 从题型来说比拟新颖，但具体到微分方程的求解那么并不复杂，仍然是根本要求的范围完全类似例题在文登数学辅导班上介绍过，也可参见?文登数学全真模拟试卷?数学 三第三题.八、(此题总分值8分)设函数f(x)在0 , 3上连续，在(0, 3)内可导，且f(O)+f+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在 (0,3)，使f ( )0.【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c 0,3)，使得f(c) 1f(3)，然后f (0) f (1) f 1在c,3上应用罗尔定理即可.条件f(0)

23、+f(1)+f(2)=3 等价于3，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以到达目的【详解】因为f(x)在0，3上连续，所以f(x)在0，2上连续，且在0，2上必有最大值m和最小值 m于是mf(0)Mmf(1)Mmf(2)M .故mf(0)f(1) f(2) MIVI3由介值定理知，至少存在一点c Q2，使f(c)因为 f(c)=1=f(3),f(0)f(1)f(2)13.且f(x)在c,3上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在 (c,3)(0,3)，使 f ( )0.【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结 合起来考此题是典型的

24、结合介值定理与微分中值定理的情形完全类似例题见?数学复习指南?【例】及的【解题提示】九、(此题总分值13分)齐次线性方程组b)%a2x2a3X3anXn0,2b)X2a3X3anXn0,a2x23b)X3anXn0,a2x2a3X3(anb)Xn0,nai0.其中i 1试讨论月2，an和b满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个根底解系【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而 系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1 )倍加到其余各行

25、，即可计算出行列式的值【详解】方程组的系数行列式a1ba2a3a1a2 ba3a1a2a3bananaia2a3nbn1(b ai).i 1anbnb ai(1)当b 0时且 i i0时，秩(A)=n，方程组仅有零解(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为a1x1a2x2anXn 0.nai由i 1础解系为0可知,ai (i12，n)不全为零.不妨设a10，得原方程组的一个基a2,1,0,a1,0)T,a3t( ,0,1, ,0) a1anT,0,0, ,1).a1naii 1时,原方程组的系数矩阵可化为a1aia2a3ana1a2a3ana1a2a3naii 1ana1a2a3aninai1

26、(将第1行的-1倍加到其余各行,再从第2行到第n行同乘以1naii 1 倍)na1i 11aia2a3an(将第n行 an倍到第2行的 a2倍加到第1行，再将第1行移到最后一行)110 010 1 00由此得原方程组的同解方程组为X2X1X3X1原方程组的一个根底解系为(1,1,1)T.,XnX1【评注】此题的难点在秩为n-1(存在n-1阶子式不为零 为根底解系ai时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的)，且显然 (1,1,1)T为方程组的一个非零解，即可作完全类似问题2002年已考过，见2002年数学三第九题 十、(此题总分值13分)设二次型T222f (x1, x2, x3) X A

27、X ax1 2x2 2x32bx1x3 (b 0)中二次型的矩阵 A的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1) 求a,b的值；(2) 利用正交变换将二次型 f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵【分析】 特征值之和为 A的主对角线上元素之和，特征值之积为 A的行列式，由此可求出a,b的值；进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(假设有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵【详解】(1)二次型f的矩阵为a 0 bA 0 20 .b 02设A的特征值为i(i1,2,3).由题设，有1 23a2(2)1a0b1230204a22b1

28、2b02解得 a=1,b= -2.(2)由矩阵A的特征多项式E A1 0 20 2 0(2)2(3)2 0 2得A的特征值122,33.对于122,解齐次线性方程组(2EA)x 0，得其根底解系1(2,0,1)T，2(0,1,0)T.对于33，解齐次线性方程组(3E A)x 0，得根底解系3(1,0, 2)T.由于1, 2, 3已是正交向量组，为了得到标准正交向量组，只需将1, 2, 3单位化，由此得1令矩阵I)T(0,1,0)T(学,0,即.、51 5那么Q为正交矩阵2 LV50175在正交变换X=QY下，有2 0 0QTAQ 0200 03且二次型的标准形为2 22f 2y1 2y2 Ay

29、,【评注】 此题求a,b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定: 二次型f的矩阵A对应特征多项式为(2)设A的特征值为1232(ab2)3，那么 12，22) 112.2(a 2)(2a b ).a 2，2 3(2a)由题设得1 2 32(2a解得 a=1,b=2.第一步求参数见?数学复习指南?重要公式与结论 模拟试卷?数学三第九题.4,完全类似例题见?文登数学全真十一、(此题总分值13分) 设随机变量X的概率密度为1卄f(x),右 X1,8,32 13彳其他；F(x)是X的分布函数.求随机变量 Y=F(X)的分布函数.Y=F(X),然后按定义求 Y的【分析】先求出分布函数F(x)的

30、具体形式，从而可确定分布函数即可。注意应先确定Y=F(X)的值域范围(0 F(X)1)，再对y分段讨论.详解】 易见，当x<1时，F(x)=0;当x>8时，F(x)=1.对于x 1,8，有F(x)X 1:-dt1 33t21.设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数显然，当y °时，G(y)=O ;当y 1时，G(y)=1.对于y 0,1)，有G(y)PY y PF(X) yP3 X 1 y PX (y 1)33=F(y 1) y.于是，Y=F(X)的分布函数为°,假设 y °, G(y) y,假设 ° y 1,1,假设 y 1.【评注】

31、事实上，此题 X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布当 y<0 时，G(y)=°当 y 1 时，G(y)=1;PYyPF(X) yPXF 1(y)F(F1(y)y.当 ° y 1 时，G(y)【评注】 此题是?数学复习指南? 【例】原题(实际上还是此题的特殊情形) 十二、(此题总分值13分)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为1 2 X0.3 0.7而Y的概率密度为f(y)，求随机变量 U=X+Y的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率.注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算【详

32、解】设F(y)是Y的分布函数，那么由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为G(u) PX Y u=0.3PX Y uX 1 0.7PX Y uX 2=0.3PY u 1X 1 0.7PY u 2X 2.由于X和Y独立，可见G(u)=0.3PY u 1 0.7PY u 2= 0.3F(u 1)0.7F(u2).由此,得U的概率密度g(u) G (u)0.3F (u 1)0.7F (u 2)=0.3f (u 1)0.7 f(u 2).【评注】 此题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性但此题是?考研数学大串讲?(2002版，世界图书出版公司)【例28】的原题，其他参考书中从未出现过类似题型.注：1.?数学复习指南?(2003版，经济类)世界图书出版公司 主编：陈文灯、黄先开2. ?数学题型集粹与练习题集?(2003版，经济类)世界图书出版公司主编：陈文灯、黄先开3. ?文登数学全真模拟试卷? 2003 版，经济类世界图书出版公司 主编 : 陈文灯、黄先开4. ?数学最后冲刺? 2003 版，经济类世界图书出版公司 主编 : 陈文灯、黄先开5. ?考研数学大串讲? 2002 版，经济类世界图书出版公司 主编 : 黄先开、曹显兵、施明存