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1、cheng习题2.1试给出一个半群，它含有左幺元和右零元，但它不是含幺半群。2.2给定代数系统U=N,*，其中二元运算*定义如下：1) x*y=minx,y2) x*y=maxx,y对每种情况，U是否为半群？是否为含幺半群？2.3设S,*是半群，取定a S，在S中定义新的二元运算为x y=x*a*y试确定S, 是否为半群。2.4给定半群S,*。试证，对S中任意元素a,b和c,若a*c=c*a和b*c=c*b， 则(a*b)*c=c*(a*b)。2.5给定交换半群U=S,*。试证，若a和b是U中的等幕元， 则a*b也是U中的等幕元。2.6给定代数系统U=R,*, R是实数集合，a,bR,定义*运
2、算如下：a*b=a+b+a b试证明R,*是含幺半群2.7给定代数系统U=So，其中S=a,b，Ss是S中所有映射的集合, 而o是映射的合成。U是否为含幺半群？是否为可交换含幺半群？2.8给定代数系统U=S,*，其中S=a,b,c,d，运算表为1)2)2.9abc c试证U是一个循环含幺半群a b c dbcdacdabd a b c试求U的所有生成元和等幕元。试证，每个有限半群都有等幕元。2.10给定代数系统U=S,*，其中S=a,b,c,d,运算表为* a b c da b c cc b a db b b ba b c ddbdd1) U是否为循环含幺半群？2) 试求U的生成集合。2.11
3、给定字母表V=a,b，设S是所有以a开始的有限字符串且包含空串 的集合，o是字符串的邻接运算。试证S,o, 是含幺半群。2.12给定两个含幺半群u=p(x), n 和v=p(x), u 其中x是任意集合，n 和U是通常集合的交和并。试求 U和V的零元。2.13设Z是半群U= S,*的左零元。试证，对S中任意元素x，x*z也是半 群U的左零元2.14给定两个半群U=S,*和V=T, ，f: S T是U到V的同构。试 证，若z是U的零元，贝U f(z)是V的零元。2.15设a是半群U=S,*中的一个元素，对 U中任意元素x和y，要是 a*x=a*y(x*a=y*a)，就有x=y，则称在U中a是左(
4、右)可约的。试证，在 U中 若元素a和b都是左(右)可约的，则a*b也是左(右)可约的。2.16试证，含幺半群的左(右)可逆元素的集合，能构成一个子含幺半群。2.17试求含幺半群U= N, X 6的所有子半群。并举出U的一个子半群，它 是含幺半群，但不是U的子含幺半群。2.18给定含幺半群U=l, X ,1，其中X是通常数的乘法。试证：v0, X 是U的子半群，但不是子含幺半群。算*分别定义如下：1) S=1,3,4,5,9,* 是模 11 乘法。2) S=Q,*是通常数的加法，3) S=Q,*是通常数的乘法。4) S=I,*是通常数的减法，5) S=a,b,c,d，运算表为*a b c da
5、b d a cbd c b aca b c ddc a d b6) S=a,b,c,d，运算表为*a b c daa b c dbb a d ccc d a acd c b b对每种情况，试确定U是否为群，若U是群，则指出它的幺元和每个元素的逆元。 2.20设U=G,*是一个具有幺元e的群，试证，若G的任意元素a都有a2=e(或 a-1 =a)，则U必是交换群。2.21试证，若G,*是交换群，而n是任意整数，则对于G的任意元素a和 b，必有(a*b) n=an*bn。2.22给定群U=G,*。试证，U是交换群当且仅当对 G中任意元素a和b， 有 a2*b2=(a*b) 2。2.23给定群U=G
6、,*。试证，若对G中任意元素a和b，有 a3*b3=(a*b) 3 a 4*b4=(a*b) 4 a 5*b5=(a*b) 5 则 U 是交换群。2.24给定两个群U=1, X 和 V=1,-1, X ，其中X是通常数的乘法， 试证，对X, U和V是仅有的非零实数构成的有限群。2.25给定群U=N+ m。试证，当且仅当d是U中一个元素的阶时，d才 是m的一个因数。2.26给定代数系统K,*其中K=e,a,b,c，运算表为* e a b cc c b a e试证，K,*是群(称克莱因(Klein)四元群)，但不是循环群。 2.27试用例2-4.4中对称群S3, 的运算表，求出其中哪些 元素a和b
7、,能使1) (a b)2 丰 a。b22) a2=e3) a3=e这里e表示对称群S, 中的幺元。2.28给定集合S=1,2,3,4,5 和其置换1234512345a23145b123 5412345.123 45c54312d32154试求出a b,b a,a2,c b,d-1和abc。并解置换方程ax=b。2.29试求出N,+ 5和N2,+12的所有子群。2.30试求出不是正四边形的四边形二面体群。并证这个群 是例2-4.6中正四边形二面体群vD, 的子群。2.31 给定G,*，令 H=x|x G,对 a G,x*a=a*x。试证H,*是群G,*的 子群。2.32设p为素数。试证，pm阶
8、群中一定有p阶子群。2.33设S,*和T,*是群G,*的s阶和t阶子群，且|S n T|=卩，|S U T|= v。试证 St Vo2.34设H,*和H,*是群G,*的两个互不包含的子群，试证，G中 存在元素，它既不属于 H，也不属于H。2.35设G,*是偶数阶有限群，其幺元为 e，试证，在G中存在元素ae， 使 a2=e。2.36设G,*是群，H是G的一个子集，且2|H| |G|。试证，对G中任意元素a，在H中必存在元素b1和b2，使a=b1*b2。2.37 设f和g都是群 U=G*至U V=G 的同态，令 Hi=x|x G,f(x)=g(x)。试证，H,*是群U的子群。2.38设f是群U=
9、G*到V=G 的同态。试证，f为单射的充要条件 为K(f)=e 1，这里e1是群U的幺元。2.39设f是群U=G,*到V=H, 的同态，1) 若S,*是U的子群，则f(S), 是V的子群。2) 若T, 是 V的子群，且T f(G)，则f-1(T),*是U的子群，这里f-1 (T) 表示在f的作用下，T中元素的象源所构成的集合。2.40在群U=G,*取定元素a，定义映射f: GG为f(x)=a -1 *x*a。试证，f是群U的自同构。2.41 给定两个群 U=P,*和 V=Q, ，其中 P=P1,P2,P3,P4和q_1 q 2 q 3 q 4qq 3 q 4 q 1 q 2q 2q 4 q 3
10、 q 2 q 1q 3q 1 q 2 q 3 q 4Q=q1,q2,q3,q4。运算表分别为F1 P 1 P 2 P 3* P 1 P 2 P 3 P 4P2 P 2 P 1 P 4P3 P 3 P 4 P 1P4 P 4 P 3 P 2 P 1试证，群U和V是同构的。2.42设H,*是群G,*的子群。试证模H的右陪集关系是G中的 等价关系。2.43设H,*是群G,*的子群。试证，对任意两个左（右）陪集 aH（Ha） 和 bH（Hb），均有 |aH|=|bH|=|H|（|Ha|=|Hb|=|H|）。2.44设H,*是群G,*的子群，H,*的所有左（右）陪集构成的集合为 S（Sr）。试证 |Sl
11、| = |S r|。2.45对例2-4.4中的对称群S, ，试求交代群A, 的各左陪集 和右陪集。2.46设H,*是阿上尔群G,*的G规子群，试证商群（G/H,），也是阿上 尔群。2.47试求群N,+ 5的每个子群的各左陪集和右陪集。2.48设H,*是群G,*的子群。试证H,*的左（右）陪集中只有一个陪 集是群G,*的子群。12.49设G,*是偶数阶有限群,H,*是群G,*的子群，且|H|丄|G。试证H,*是正规子群。22.50设H,*和H,*是群G,*的两个子群（正规子群），令 HH=h1*h2|h 1 H,h2 H。巴出,*是否为群G,*的一个子群（正规子群）？2.51试证，上题中HH2,*是群G,*的子群的充要条件为 HH=HH。2.52设H,*和H,*是群G,*的两个子群。1）试证，H们H2,*也是群G,*的子群。2）试证，HU H,*不一定是群G,*的子群。2.53试求群U=N+3和V=N*, X 2的积代数。2.54试证，群U=G,*和V=H, 的积代数有两个分别同构于群 U和V 的正规子群。cheng