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1、再谈洗衣服数学模型结论 维普资讯 数学教学通讯 2 0 0 1年第 5期 (总第 1 3 8期) 重庆 4 5 再谈洗衣服数学摸型结论(江苏省徐州师范高校技术训练学院 2 2 1 0 1 1 ) 昊犀山魏本楷数学通讯 2 o o o年第 9期刊载的三个数学问题的案例分析一文中给出了洗衣服数学模型问题一般结论的商量方法和经过漂洗后衣服上残留污物量和常识性结论 (参见原文 )、但 得最洁净？”没有给出完整的解答 .要解决此问题，就要解决下列两个问题： ( 1 )每次的用水量， ( 2 )对于肯定的洗涤效果，将千克水应分几次用.下面来商量这两个问题： 对问题“如何合理用法千克水，才能把衣服洗由于9
2、0。, 1=/ A, BNO一/ OM A= 通两条未知线段 E、 A B的关系：=篙一6,即 AB一 2 AE.从而可以把 AE、 AB用舍有同一个未知数的量来表示，在 Rt A ABC或 所以 Rt a BNO Rt a OM A. 所以 BN即 BN可 一 = 一 一 器， 器一号，_ Rt a AEO中通过勾股定理求出这个未知数 .略解：连结 OE . 得 BN i 4R AM=, 4 3 R. 由于 AE O AB C一 9 0。,A一/ A,所以 Rt a AE O Rt a AB C. 所以 B C= B N 4 - N C一三 R,AC= C M+ AM=百 7 R. 所以器一
3、篇. 所以篙一詈一号 .设 AE X,则 AB一 2 x . Rt A ABC中，AB= 2 x, BC一 6,ACA E+ CE AE+ BC z+ 6 . 由于 Rt a ABC中， BC+ AC一 AB 所以音 R ) +专 R )。=3 5。,取正数解，得 R= 1 2 .所以 S。 0= 1 4 4 r e ( c m ) . 例 3 如图 3,在C 由勾股定理 .得 ( 2 )。+ 6。一 ( 6+ )。 . 取正数解，得 z一 4 .所以 AC= AE+ CE一 4+ 6; 1 0 . RtBC中， B一 欲使同学较快地熟识这类问题的解法，老师在数学教学中应注重引导同学形成良好的
4、认A D 0 B 9 0。, D为 AB上一点，以 BD为直径的半 00与 AC相切于点 E.若 BDBC= 6,求斜边 AC的长、囝 3 知结构，把握学问的内在联系，形成学问网络系 统.同时又要从课本中的一些基本题型动身，在相像三角形、圆、解直角三角形乃至函数、方程等学问的网络的交汇点上编制适量的相关题目，通过训练，培育同学在解题过程中形成良好 分析：欲求 AC的长，可考虑先求出 AE的长.通过分析，应留意到此题中隐含着： OE一 BD一 3 . Rt AAEO Rt A ABC.这样，可沟 的思维.惯和创新力量，提高解题效率和数学素养. 维普资讯 4 6 重庆 数学教学通讯 2 0 0 1
5、年第 5新 (总第 1 8 8新 ) 题目；设衣服经洗涤充分拧干后，残存水量千克，其中含污物千克 .漂洗用的清水 (其中 Ad+ n+ d 为定值 ),当且仅当 l+ d I= 1+生一一n .= 1+,即口 千克 .把千克水分成次用法，每次用量依次为，“ ,“ 一日 (千克 j .经过 n次漂洗，衣服上还有多少污物？怎样合理用法 A千克水，才能 一“时取等号，故在总用水量肯定的 条件下，平均安排每次加清水量，经过”次漂洗后衣服上残留污物量最少 ( 最小 ),此时洗涤 把衣服洗得最洁净 (残留污物量晟少 )? 解：第一次 .把带有。千克污物的千克水的衣服故人 n千克水中，充分搓洗，使千克污物充
6、分溶解或匀称悬浮于+ n千克水中，把污水倒掉 .衣服拧“干”时.由于 m。千克污物匀称分布于留的污物量千克水中 .所以衣服上残与残留的水量 w成正比，即： 效果最佳. 分析 2:假设每次加清水量= A 为定值，不妨设衣服上残留污物量为时洗涤效果 最佳，由( 1 )得 柳一南l o g ,即一 为最佳洗涤次数.假如用洗衣机漂 洗，它的每次加水量最大值和最小值分别为“和，要达到肯定的洗涤要求，则洗衣机漂洗的 兰 ( m 表示衣服上豉 留污物量表示原来残留污物量， w表示拧干”后残存水量， 最多和最少次数分别为 N一 l o gN一 l o g一一 . 和 表示第一次加清水量 ) 即 =半一 . 经
7、类似分析可知，漂铣两次后衣服上 分析 3在总用水量肯定的条件下，由( 2 ) 1+ 得.当充分大时，衣服上的残留污物量就越d 残 留 污 物 量 为 m 少 由于 ( 1+ )一，故最佳抱负洗涤 .由此可见 效果为衣服上残留擂物量为 m 蓊( 1一 依次连续漂洗，设第 次漂) ( 1+生 ) ( 1+ ) 衣服上的最终残留污物量与 、 和一有关. 通过上述分析可以得到如下结论： 1 .在总用水量 肯定的条件下，平均安排 洗后衣服上残留污物量为 2 r t 则有 每次用水量，洗涤效果最佳 (经”次漂洗后衣服上残留污物量最少 ) . 2衣服上最终残存的污物量与原衣服上 分析 l:设户= ( 1+
8、) ( 1+ )( 1+ ),由( 1 )得 m: .若衣服洗得最洁净，只 的污物量成正比 (衣服越脏越难洗净，与实际感受一样，因此建议衣服要勤洗为好 )3 .衣服上残存水量越小，衣服上虽后残存 要衣服上残留污物量最少，即平均数可得： P 最小.要使 m 的污物量就越小，即每次拧得越“干” .衣服上最终残存的污物量会越小，这与生活常识是全都的 最小，只要 P最大 .由算术平均数大于等于几何 【 ( 1+ )+( 1+生) +( 1+生) 1 l l 4总用水量越大，在相同的嫖洗次数下， 衣服上最终残存的枵物量会越小 . (这与生活常识全都 .但铺张水，请留意节约用水 ) e l l+ n f L J十 H, n础 ) ( 2 )