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1、22.7 多边形的内角和与外角,第二十二章 四边形,在平面内，由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成封闭图形叫做三角形。,在平面内，由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做四边形。,在平面内，由5条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做五边形。,多 边 形,在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。,根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角,顶点,边,内角：多边形相邻两边组成的角,外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.,n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角,多边形按它的边数可分为：三角
2、形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.,对角线,(连接不相邻两个顶点的线段),问题1 如果两个三角形能够拼成一个四边形，你能求出四边形的内角和吗？,360,问题2 是否所有的四边形的内角和都可以“转化”为两个三角形的内角来求得呢？如何“转化”?,如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC,则四边形ABCD被分成ABC和ACD两个三角形.,问题3 类比推导四边形内角和的方法，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？,观察上图填：（1）从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于180 .（2）从六边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它
3、们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于180 .,2,3,3,3,4,4,3,4,5,6,7,n,1,n-2,2,3,4,5,180,360,540,720,900,(n2) 180,(n2) 180,(72) 180,(62) 180,(52) 180,(42) 180,(32) 180,问题4 n边形的内角和是否也可以用上面的方法？试一试.,一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于180 （n-2）.,多边形的内角和公式,n边形内角和等于（n-2） 180 .,其他分割方法欣赏,练一练：（1）12边形的内角和等于
4、 .（2）如果一个多边形的内角和等于1440 ，那么这是 边形.,1800 ,十,P,P,答：十五边形的内角和是23400,例：求十五边形内角和的度数。,多边形的内角和,解：（n-2）1800,=（15-2)1800,= 23400,n边形的内角和等于n边形一个顶点出发可引 条对角线则n个顶点的n边形共有 条对角线,（n-2）180（n3）,（n-3）,巩固练习一：,1、七边形内角和为（ ）,900,2、十边形内角和为（ ）,1440,3、十七边形内角和为（ ）,2700,4、二十边形内角和为（ ）,3240,5、八边形内角和为（ ）,1080,例：已知一个多边形的内角和是1440O，求这个多
5、边形的边数。,解：设这个多边形为n边形。,（n-2）180 =1440,n-2=1440180,n-2=8,n=10,答：这个多边形为十边形。,巩固练习二：,1、多边形内角和为1260则它是（ ）边形。,2、多边形内角和为1080则它是（ ）边形。,3、多边形内角和为1800则它是（ ）边形。,九,八,十二,1.已知某多边形的内角和为540度,边数为_.2.多边形的每一个内角都是150度,边数为_.3.多边形的边数每增加1条,它的内角和_ _,多边形的边数由3增加到n,其内角和_.4.多边形有_条对角线.,5,12,增加180度,从180度增加到（n-2）180度,n(n-3),【课堂练习】,
6、问题 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和五边形的外角和等于多少？,1.任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？2.五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？,互补,900,五个平角和（900）-五边形的内角和（540）=外角和（360）,在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和,n边形外角和,n边形的外角和等于360.,(n2) 180,=360 ,=n个平角-n边形内角和,= n180 ,多边形的外角和公式,例1 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.,解
7、： 设多边形的边数为n. 它的内角和等于 (n2)180， 多边形外角和等于360， (n2)180=2 360. 解得 n=6. 这个多边形的边数为6.,变式：一个多边形的外角和是内角和的 ，则其边数n为 .,12,例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.,解：设这个多边形的内角为7x ,外角为2x,根据题意得,7x+2x=180，,解得x=20.,即每个内角是140 ，每个外角是40 .,360 40 =9.,答：这个多边形是九边形.,还有其他解法吗？,解：设这个多边形的边数为x ,根据题意得,解得x=9.,答：这个多边形是九边形.,当堂练习,1.判断（1）
8、当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加 ( )（2）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加 ( )（3）三角形的外角和与八边形的外角和相等 ( )（4）从n边形一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角线，得到（n-2）个三角形 ( ),2.一个多边形的内角和不可能是（ ）A.1800 B.540 C.720 D.810 ,D,3.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）A.360 B.540 C.720 D.900 ,D,4.一个十边形的每一个内角都相等，那么这个十边形的每一外角等于( )A.144 B. 72 C. 36 D .185.一个多边形每一个外角都等于45，
9、则这个多边形的内角和等于( )A.720 B. 675 C. 1080 D.945,C,C,6.一个多边形所有内角与一个外角的和是2380，则这个多边形的边数为_.,15,解析：设这个多边形的边数为x(x为正整数)，则这个多边形的内角和为（x-2）180，由题意可得：2380-180（x-2）1802380,解得：4.22x15.22因为x为正整数，所以x=15，即这个多边形的边数为13.,课堂小结,多边形的内角和与外交角和,定义,在平面内，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形.,内角和计算公式,（n-2） 180 （n 3的整数）,外角和,多边形的外角和等于360特别注意：与边数无关.,