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1、8.4直线、平面平行的判定与性质知识梳理判定定义定理性质aba/a/4 J2 b /条件uCa=0a(a.b<a.b / aa/ aa7 a,au,ap|/结论a/ ab/ aaCa=0a/ b1 直线与平面平行的判定与性质b知识梳理2 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形/ /Adb/ /厶丿 a力,bu0,叨b泌/ /条件aP/3=0af/ a.b/ a (i/ 恥 D 卩二/PlyM 0口郢结论a/pall Pa/ ba/ a知识梳理常用结论1. 平面与平面平行的三个性质(1) 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平 面.(2) 夹在两个平行平面间的平行线段长
2、度相等.(3) 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.2. 判断两个平面平行的三个结论(1) 垂直于同一条直线的两个平面平行.(2) 平行于同一平面的两个平面平行.(3) 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两 条直线，那么这两个平面平行.考点自诊1判断下列结论是否正确，正确的画“V”,错误的画“X”.(1) 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于 这个平面.(x)(2) 若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的 任一条直线.(X )(3) 若直线"与平面°内无数条直线平行，则tdlQ. ( X)(4) 如果一个平面
3、内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平 面平行.(X )(5) 如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行 或异面.(V )考点自诊2 已知幺07是三个不重合的平面“b是两条不重合的直线，有下列 三个条件:(Du II"20；IIy.bpb0©目.如果命题"aCl”二a，b曰, 且，则“ II b为真命题，则可以在横线处填入的条件是A. (ZM B. (W；C. (ZM D. 只有解析:中以可能平行也可能异面由定理“一条直线与一个平面 平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行"可 得，横线处可填入条件或，结合各选项知，选C.
4、考点自诊3.（2018黑龙江哈尔滨师范大学附属中学三模,11）棱长为2的正方 体ABC64|BCD中,E为棱AQ中点，过点且与平面A/E平行的 正方体的截面面积为（C ）A.5B.2V5C.2V6D.6解析:取中点M,取41Q1中点N,则四边形BMDN即为所求 的截面，根据正方体的性质，可以求得MN= 2y/2,BD=2a/3,据各边 长，可以断定四边形BMDN为菱形，所以其面积5=|x2a/2x2V3乙二2”，故选C.考点自诊4.（2018江西南昌联考4）如图，各棱长均为a的正三棱柱佔 AiBC,M、N分别为线段A/、BC上的动点，且MNII平面4CCp4, 则这样的M2V有无数条 .考点自
5、诊解析:由题意得AiB二CBi=Vd在BAi.CBi上分别取M，N，使 BM二BiN，过 M,N作MMAB,NN丄BC，垂足分别为Mi,则MM /AANNi/ZBBi,故続二些墾一些由于警=船，故黔=晋，从而MN/AQ可得M1M平面DJL> Cd/1jD CACC1A1.X MM 平面 ACCiAi，可得平面 MMNN 平面 ACCiAi由于MA$平面MMNN,所以MN平面ACCiAi,从而满足条件的MN有无数条.考点1线面平行的证明例1(2018广东宝安、潮阳等七校联考，19)在四棱锥P-ABCD中， 四边形ABCD是矩形，平面丄平面ABCD,点分别为BC、AP中 点.(1) 求证:E
6、FII平面PCD;(2) 若AD二AP二二JaB二1,求三棱锥P-DEF的体积.C-11-而GCM平面PCDEFE平面PCD,考点1证明取PD中点G，连接GFg在中，有G，F分别为PD、AP中点， GF坚AD.在矩形ABCD中，E为BC中点,乙/.CEdLAD. GFJL EC四边形GFEC是平行四边形.GCWEF./.EFW 平面PCD关键能力学案突破、T2-考点1考点2考点3考点4(2)W : 四边形ABCD是矩形，：AD 丄 ABADWBC.:平面丄平面ABCD,平面PABH平ABCD=AB,AD 平面 ABCD,：AD丄平面PAB.:平面P4D丄平面PAB.BCW平面B4D:AD=AP
7、=PB=AB= 1，: AB 二 VX 满足 AP2+PB2=AB2.乙 :AP丄 :BP丄平面 PAD.VBC平面 PAD,:点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离.1111而 Spdf=-xPFxAD=- X -x 1111 1: Vp.def=-Sapdf-BP=- X -xl .:三棱锥P-DEF的体积为考点1思考判断或证明线面平行的常用方法有哪些?解题心得1 判断或证明线面平行的常用方法有:(1) 利用线面平行的定义(无公共点)；(2) 利用线面平行的判定定理ga隔口 II b=>a II a);(3)利用面面平行的性质(a 10洛110).2 证明线面平行往往先证明
8、线线平行，证明线线平行的途径有:利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构 造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.-19-考点1(1)证明连接4C,设ACABD二O,连接0£ :四边形4BCZ)为矩形，：O为AC的中点，在ZkASC中月为AS的中点，/.SCWOE,又OEu平面BDESCt平面BDE,：SCII平面：EH丄平面ABCD,在 SAB中，取AB中点M，连接SM,考点1(2)解过点E作丄AB,垂足为& :BC 丄 A5 且 BC 丄 SBABASB 二 B, ：BC丄平面SA5EHu平面ABS，EH丄BC， 夫 EH 丄 ABABOBC=B,:S
9、A二S5：SM丄AB,.:SM二 1.1 1:EH/SM、EH=SMr : Sabcd=¥x3x2V=3V .乙 * Vc-BDE= Ve-BCDSBCD-EH=x3/3 X .：三棱锥C-BDE的体积为字.考点2证明空间两条直线平行例2如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形丄底ffiABCD,AB IICDAD丄为PD上异于PQ的一点.(1) 设平面ABE与PC交于点只求证:EFCD;(2) 若 AD=AB=l,BC=V2nZBPC=,求四棱锥 P-ABCD 的体积.考点2证明VAB/CD./.AB平面 PDC, 又平面ABEPI平面PDC=EF, /.AB/EF./.EF
10、/CD (2)W 由 4D 丄 CDAB / CDAD=AB二 10C二返， 可得 BD=£,CD=2,BC丄 BD 又 PD丄底面 ABCD./.PDLBC, /.BC丄平面 PBD./.BC丄PB.rtan ZBPC=3PB二岳PD=L3又S梯形131 Vp-ABCQ二亍 X 1 X 考点2思考空间中证明两条直线平行的常用方法有哪些？ 解题心得空间中证明两条直线平行的常用方法： 利用线面平行的性质定理，即a II a,a/3,aC/3=b=>a II b.(2) 利用平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行.(3) 利用垂直于同一平面的两条直线互相平行.关键能力学案突
11、破、-20 -考点1考点2考点3考点4对点训练2如图，在多面体ABCDEF中QE丄平面ABCDyLDIIBC,平面BCEFO 平面ADEF=EF,ZBAD=60° AB=2,DE二EF二 1.E(1) 求证:BCIIEF;求三棱锥B-DEF的体积.-24-(2)解 过点B作3丹丄人0于点E考点2(1)证明 rADWBC,ADu平面ADEF0C0平面ADEF,. .BCW 平面ADEF.又BCu 平面BCEF,平面BCEFO 平面ADEF=EF, BCWEF.:DE丄平面ABCDBHu平面ABCD,DE丄BH. ADc 平面 ADEFQEu 平面 ADEFADODE=D，丄平面ADEF
12、.:是三棱锥B-DEF的高.在 RtABH 中,ZBAD=60。二2,故 BH=yj3.：7)E 丄平面 ABCDAD u 平面 AB CD./.DE 丄 AD由(1)知 BC/EF,且 AD/BC, AD/EF、：DE 丄 ER:三棱锥 B-DEF 的体积 V=ASadefxBH=£ X xlxlxV3 =奖3326考点3证明空间两平面平行 例3 （2018河北邢台联考,18）己知正方体ABCD4BG0中,分别是上的点，且BE=C、F,求证:(1) EFII 平面(2) 平面ADCII平面ABCAB.BC 于点连接EF,MM因为BQ丄平面ABCD,关键能力学案突破、-23 -考点3
13、证明（1）证法一:如图，过EF分别作AB.BC的垂线EM0N，分别交所以昭丄A5BQ丄BC 所以 EMBBXFN. 又因为AB尸BCE二Cf, 所 Uae=bf. 又/阳3二眈二45° , 所以 RtAAMEtABNF.所以EM二FN.所以四边形MNFE是平行四边形，所以EFWMN. 又MA蔭平面ABCD,所以EFII平面ABCD-26-考点3证法二:过E作EP/AB交BBi于点只连接PF, 所以竺=竺7 7 514 BrB因为 BE=CiFbA=Cb所以£i£CBBP所以 FP/BiCi/BC.又因为 EPCFP=PABOBC=B, 所以平面EFP平面ABCD又
14、EF仝平面EFP,所以EF平面ABCD.考点3如图涟接AXB,DXCADX,由已知 ADXBC.CDXAXB.又 ADnCD 二乌06034二 5 所以平面ADXC平面AXBCX一26_考点3思考证明面面平行的方法有哪些?解题心得判定面面平行的方法（1）利用定义:即证两个平面没有公共点（不常用）.（2）利用面面平行的判定定理（主要方法）.（3）利用垂直于同一条直线的两平面平行（客观题可用）.（4）利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行（客观题可用）.A关键能力学案突破、-27 -考点3对点训练3(2018山西太原三模，19)已知空间几何体ABCDE中,BCD与
15、CDE均为边长为2的等边三角形,/XABC为腰长为3的等腰三角形,平面CDE丄平面BCD平面ABC丄平面分别为D5DC的中 点.(1)求证:平面EMNW平面ABC;求三棱A-ECB的体积.思路分析要证平面EMNW平面ABC,转证ENII平面ABC,MN平面ABC即可；(2)由知EMI平面ABC,所以点E到平面ABC的距离与点N到平 面4BC的距离相等，利用等体积法有叫挾严匕。从而得到结果关键能力学案突破、-28 -考点3(1)证明取BC中点H,连接AH, :ABC为等腰三角形，AH丄BC,又平面ABC丄平面BCD,平面ABCA平面BCD=BC,丄平面BCD,同理可证EN丄平面BCD,/.ENW
16、AH,:EN 平 ABCAH 平面 ABC，：ENII平面ABC,又M,N分别为BDQC中点,.MNBC,:MN圭平面ABC/C：平面ABC,/.MNW 平面ABC, 又 MNHEN=N,A：平面EMNW平面ABC.关键能力学案突破、-29 -考点3解连接取CH中点G，连接NG,则NG II 由(1)知EMI平面ABC,所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等, 又BCD是边长为2的等边三角形，DH丄BC,又平面ABC丄平面BCD,平面ABCQ平面BCD=BCQH：平面BCD,QH丄平面ABC,：NG丄平面ABC, :DH 二屈又N为CQ中点，:NG二冬乙又 AC=AB=3,BC
17、=2,: Sabc=BC-AH =2匹，乙 Ve-abc= Vn.abc 丄S、abcNG1关键能力学案突破、-30 -考点4平行关系中的存在问题例4 (2018四川成都七中三诊,18)在多面WABCDEF中，底面ABCD 是梯形，四边形ADEF是正方形ABWDC.CD丄AD,面ABCD丄面 ADEFAB=AD二 1 ,CD 二 2(1) 设M为线段EC上一点,3前=EC，试问在线段BC上是否存在 一点使得MTII平面BDE,若存在，试指出点卩的位置;若不存在，说 明理由？(2) 在的条件下，求点A到平面MBC的距离.-31-老点：；点考点3解(1)在线段BC上存在点T,使得平面BDE, 在线
18、段BC上取点7；使得3丽=旋，连接MT. 在“BC中，因为罟=罟=窘所以CMTsZkcE5所以MTEB又MT平面BDEJEB：平面BDE, 所以MT平面3DE(2)点4到平面MBC的距离就是点4到平面EBC的距离，设A到平面EBC的距离为九利用体积相等可得,|x| = |x|xV2x OOLaE必备知识预案自诊关键能力学案突破-33-考点3思考解决存在性问题的一般思路是什么？思路分析(1)在线段BC上取点T,使得3丽=免，连接M7；先证 明ZkCMT与ACEB相似,于是得由线面平行的判定定理可 得结果;(2)点A到平面MBC的距离就是点A到平面EBC的距离， 设A到平面EBC的距离为人利用体积
19、相等可得,|xi = ixix V2 x V3x/z,M得力二嘤.6解题心得解决存在性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结 果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的 充分条件，则存在;若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则 不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的 中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.-37-考点3对点训练4如图，四边ABCD为梯形ABWCDPD丄平面ZBAD二ZADC二90。,DC=2AB=2a,DA=为BC的中点.(1) 求证:平面PBC丄平面PDE(2) 在线段PC上是否存在一点F,使得B4 II平面BDF?若存在，指
20、岀 点F的位置，并证明;若不存在，请说明理由.B考点3证明如图涟接由题意ZBAD=ZADC=90° AB=a.DA= V3u 所以BD=DC=2u,因为E为BC的中点，所以BC丄DE,又PD丄平面ABCD,BC殳平面ABCD所以BC丄PD, 又DEOPD二D,所以BC丄平面PDE, 又BC仝平面PBC，所以平面PBC丄平面PDE.B考点3(2)解当点F位于线段PC的三分之一分点(靠近点P)时，B4II平面 证明如下：如图涟接AC交3D于点0,连接O F,BF,DF,因为 ABWCD,所以 AOB-A C0D,因为 AB=DC.1 1所以 AO=-OC.即 AO=-AC,又 PF=tP
21、C,所以 OFPA，kJ又OF皋平面BDF.PA平面BDF,所以B4II平面BDF关键能力学案突破、_36-考点3思路分析连接BQ,由题意得BD=DC=2a,又由E为BC的中点，得 到BC丄DE,进而得到BC丄PD,利用线面垂直的判定定理证得BC丄 平面PDE,再利用面面垂直的判定定理，即可证得平面PBC丄平面 PDE;取线段FC的三等分点F,连接AC交于点O,连接 OF,BF,DF,进而得到OFWPAM利用线面平行的判定定理，即可证得 B4II 平面必备知识预案自诊关键能力学案突破-38-要点归纳小结1 平行关系的转化方向如图所示:线线平行面面平行的判定线面平行卜畫I面面平行1!1面面平行的性质2 直线与平面平行的主要判定方法： 定义法;判定定理;面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法：(1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a丄丄II0.dtsfeAr警示易错易混1. 在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.2. 在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性 质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的 具体条件而定，决不可过于“模式化”.3. 解题中注意符号语言的规范应用.