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1、2010年全国中学生物理竞赛复赛试卷(第二卜七届)本卷共九题，满分160分.计算题的解答应写出必要的文 字说明、方程式和重要的演算步骤.只写出最后结果的不能得 分.有数字计算的题.答案中必须明确写出数值和单位填空 题把答案填在题屮的横线上，只要给出结杲，不需写出求解的 过程.度上，摆长依次减小.设重力加速度g=9.80m/s2,1试设计一个包含十个单摆的蛇形摆(即求出每个摆的 摆长)，要求满足：(a )每个摆的摆长不小于0450m ,不 大于1.00m; (b )初始时将所有摆球由平衡点沿x轴正方 向移动相同的一个小位移xo ( xo «0.45m ),然后同时释放, 经过40s后，
2、所有的摆能够同时回到初始状态.2在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的 速率首次全部为零所经过的时间为全国中学生物理竞赛复赛7-31二、（20分）距离我们为L处有一恒星，其质量为M , 观测发现其位置呈周期性摆动，周期为T ,摆动范围的最大 张角为假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它 作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足 的方程.若L=10光年，T = 10年，=3毫角秒，M = Ms（Ms为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径各 为多少？分别用太阳质量Ms和国际单位AU （平均日地距 离）作为单位，只保留一位有效数字.已知1毫角秒=需 角 秒，1 角秒乜6
3、00 度 1 AU=1.5X 10'km,光速 c = 3.0 X 105km/s.三、（22分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为 m,半径为R ,螺距H =ttR ,可绕竖直的对称轴OO', 无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不 计.一质量也为m的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦 地滑动，首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某-点A ,这时 螺旋环也处于静止状态.然后放开小球，让小球沿螺旋环卜滑, 螺旋环便绕转轴00,转动.求当小球下滑到离其初始位置 沿竖直方向的距离为h时，螺旋环转动的角速度和小球对螺 旋环作用力的大小.四、（12分）如图所不，一质量为
4、m、电荷量为q （ q > 0 ）的粒子作角速度为U）、半径为R的匀速I员I周运动.一长直 细导线位于圆周所在的平而内，离圆心的距离为d（dR）, 在导线上通有随时间变化的电流I, t二0时刻，粒子速度的 方向与导线平行，离导线的距离为d+ R 若粒子做圆周运动 的向心力等于电流i ,的磁场对粒了的作用力，试求出电流i 随时间的变化规律不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力 的影响.长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数 k已知.N五、(20分)如图所示，两个固定的均匀带电 球面，所带电荷量分别为+Q和-Q (Q >0),半 径分别为R和R/2,小球而与大球而内切于C 点,两
5、球面球心0和(T的连线MN沿竖直方在 MN与两球面的交点B、0和C处各开有足够小 的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量 为m,带电荷为q(q>0的质点自MN：线上离B点 距离为R的A点竖直上抛。设静电力常量为k,重力加度为g.1. 要使质点从A点上抛后能够到达B点，所需的最小初动 能为多少？2. 要使质点从A点上抛后能够到达0点，在不同条件下所 需的最小初动能各为多少？六、（20分）由单位长度电阻为r的导线组成如图所示的 正方形网络系列.n二1时，正方形网络边长为L,n二2时，小 正方形网络的边长为L/3； n二3时，最小正方形网络的边长为 L/9.当n=l. 2、3时，各网络上A、
6、B两点间的电阻分别为 多少？歼2H-3七、（15分）地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地 面的太阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收）一部分被地 球表面反射到太空，其余部分被地球吸收.被吸收的部分最终 转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）.热辐射在向外传 播过程中，其屮一部分会被温室气体反射回地血，地球以此方 式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球表 面的温度处处相同，口太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃-玻尔 兹曼定律：单位面积的辐射功率J与表面的热力学温度T的 四次方成止比，即J=oT4,其中ci是一个常量.己知太阳表面 温度Ts=5. 78X 103 K ,太阳半径R亍6.
7、69X10' km，地球到太 阳的平均距离d=1.50X 108 km 假设温室气体在大气层中集 中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为p =0. 38 1. 如果地球表面对太阳辐射的平均反射率a =0. 30，试问 考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多 少？2. 如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射 的反射率为a !=0. 85，其余部分的反射率处a 2二0.25 间冰 雪被盖血占总面积多少时地球表面温度为273K .八、（20分）止午时太阳的入射光与水平面的夹角8二45° 有 一座房子朝南的墙上有一个直径w =10cm的圆窗，窗口
8、屮心 距地面的高度为H 试设计一套采光装置，使得正午时刻太 阳光能进人窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、R 光强是进人采光装置前2倍的平行光可供选用的光学器件 如2 个平血镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平團镜的反射 率为80% ,透镜的透射率为70% ,忽略透镜表面对光的反 射.要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置.试画出 你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，并 求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件.九、（16分）已知粒子1和粒子2的静止质量都是mo , 粒子1静止，粒子2以速度V。与粒子1发生弹性碰撞.1. 若碰撞是斜碰，考虑相对论效.试论证：碰后两粒子速
9、度 方向的夹角是锐角、直角还是钝角.若不考虑和对论效应结果 又如何？2. 若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度.全国中学生物理竞赛复赛9 - 31doc豆丁解答、参考解答:(2)全国中学生物理竞赛复赛#311.以厶表示第i个单摆的摆长，由条件(b) nJ知每个摆 的周期必须是40s的整数分Z-,即2詈贽(M为止整数)(1)(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值 关系由(1)可得，各单摆的摆长(2)依题意，0.450m < < < 1.000m,由此可得(3)即20< <29(4)因此，第i个摆的摆长为112345678910“m0.
10、9930.9010.8210.7510.6900.6350.5880.5450.5070.4722.20s评分标准：本题15分.第1小问11分.(2)式4分，(4)式4分，10个摆长共3分.第2小问4分.二、参考解答:设该恒星中心到恒星一行星系统质心的距离为d ,根据题 意有(1)2将有关数据代入(1)式，得c/ = 5xlO-AU. 乂根据质心的定义 式中为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之 间的距离根据万有引力定律有mG響*筍2(3)由(2)、(3)两式得tn _ 4n2 d'(1 + M,吋=玄戸(4)全国中学生物理竞赛复赛15-31若考生用尸表示行星到恒星一行星系统
11、质心的距离，从而把(2) 式写为-警，把式写为G誥(育，则同样可得到(4)式，这也是正确的.利用(1)式，可得m(1 + AZ加'兀2心2GT2(5)式就是行星质量加所满足的方程.可以把(5)试改写成下面的形式(Lit2(1+/W/M)2= 2GMT2(6)因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得(7)(1AU)3 = GMS(ly)2 =注意到由(6)和(7)式并代入有关数据得-14 = 8.6x10-(8)(1+加/陆)由(8)式可知由近似计算可得(9)r 匕 5AU据题意有可得tan 0 =7lR2Rsin0 =丄2755(1)(2)心><10平由于加/M小于1/
12、1000,可近似使用开普勒第三定律，即4=W(10)T1 (lb代入有关数据得(11)评分标准：本题20分.(1 )式2分，(2)式3分，(3)式4分，(5 )式3分,(9)式4分，(11)式4分.三、参考解答：解法一一倾角为&的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为人的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就和当于题小的螺线环根设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为，则环 上每一质量为帥的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，u = coR(3)该小质元对转轴的角动量AA； = /n-uR = /niR2(o
13、整个螺旋环对转轴的角动量L =为 乂R2(d = mR2 co(4 )小球沿螺旋坏的运动可视为在水平而内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成.在螺旋环的角速度为时，设小球 和对螺旋环的速度为几则小球在水平面内作圆周运动的速度 为= i/cosO coR( 5 )沿竖直方向的速度v丄=t/sinO对由小球和螺旋环组成的系绕,(6)外力对转轴的力矩为0,系统对转轴的角动量守恒，故有0 = nWyR 一 L由(4)、(5)、(7)三式得(7)vf cosO - a)R = coR(8)在小球沿螺旋环运动的过程中,系统的机械能守恒，有nigh =(9)由(3)、(5)、(6)、(9)四式得(10)2
14、gh = (i/cosO - 町 + vt2sn2O + co2R2解(8)、(10)二式，并利用(2)式得由(6)、(12)以及(2)式得(11)(12)(13)或有(14)(14)式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其(15)加速度全国中学生物理竞赛复赛21-31若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为/，则有h = aj2(16)2丄ill (11)和(16)式得占(17)3R(17)式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度(18)小球对螺旋坏的作用力有：小球对螺旋坏 的正压力"，在图1所示的薄片平面内，方向 垂直于薄片的斜边；螺旋坏迫使小球在水平面 内作圆周运
15、动的向心力“；的反作用力弘向心力N；在水平面内，方向指向转轴C,如图2所示.N、M两力屮只有M对螺旋环的转轴有力矩，由角动量定 理有(19)N、sin OR/SJ = AL由（4）、（18）式并注意到也=0得Armg3sin&(20)(21)(22)(23)rftj'由以上有关各式得2 2h小球对螺旋环的作用力N = Jn：+N冷&5 + 第评分标准：本题22分.（1）、（2）式共3分，（7）式1分，（9）式1分，求得（11）、 rA-1式给6分，（20）式5分，（22）式4分，（23）式2分.解法二w图1一倾角为的直角三角形薄片（如图1所示）紧贴于半径为R的圆柱而，圆
16、柱而的轴线与直 角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片 卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线 环.根据题意有tan 0 = W 二丄(1 )2tiR 2可得sin 0 = , cos 0 -( 2 )55螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时，环上每点线速度的大 小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度.小 球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运动和在水平面 内的圆周运动的合成在考察圆周运动的速率时可以把圆周运 动看做沿水平方向的直线运动，结果小球的运动等价于小球沿 直角三角形斜边的运动.小球自静止开始沿螺旋环运动到在竖 直方向离初始位置的距离为力的位置时，设
17、小球相对薄片斜边 的速度为M，沿薄片斜边的加速度为/薄片相对地而向左移 动的速度为“，向左移动的加速度为你."就是螺旋环上每一质 元绕转轴转动的线速度，若此时螺旋坏转动的角速度为，则 有doc in comu = coR( 3 )而©就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的切向加速度，若此时 螺旋环转动的角加速度为0，则有(4)小球位于斜面上的受力情况如图2所 示：重力飓，方向竖直向下，斜面的 支持力N，方向与斜面垂直，以薄片为参考系时的惯性力厂，方向水平向右，其大小r=叫(5)由牛顿定律有mgcos3 一 N 厂 sin 0 = 0mgsm 3 +cos 0 = maNsinO
18、= ma0解(5)、(6)、(7)、(8)四式得2sin&COS&sinPcos。利用(2)式可得(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)由(4)式和(14)式，可得螺旋环的角加速度卩丄g(15)3R若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为/,则此时螺 旋环的角速度(0 = pt(16)因小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖(17)直方向的直线运动的合成，而小球沿竖直方向的加速度q丄=竝=asin0故有h = a±t2(18)2丄由(15)、(16)、(17)、(18)、以及(2)式得(19)小球在水平面内作圆周运动的向心力由螺
19、旋坏提供，向心力位 于水平面内，方向指向转轴，故向心力与图2中的纸面垂直, 亦即与N垂肓.向心力的人小N、= m 丄(20 )1 R式中"是小球相对地面的速度在水半面内的分量若“为小球相对地面的加速度在水平面内的分量，则有vP =(21)令R为R在水平血内的分量，有q, = % 兔=arcos3 - a0由以上有关各式得N、2h=一mg3R小球作用于螺旋环的力的人小(22)(23)(24)式 1 分，(10)或(13)式 5 分，(11)或(14)式 1 分，(19) 式6分，(23)式4分，(25)式2分.四、参考解答：以o表示粒子的速率，以B表示电流i产生磁场的磁感应 强度,根据
20、题意粒了作圆周运动的向心力为粒了受到的磁场洛仑兹力，因此有qvB = m R(1)而v = a)R(2)由(1)、(2)两式得B严(3)q如图建立坐标系，则粒子在时刻/的位置x(t) = R cos ct)f , y(t) = Rsn cot(4 )取电流的正方向与尹轴的正向一致，设时刻t长直导线: 的电流为，它产生的磁场在粒子所在处磁感应强度大小为B(5)J + x(z)方向垂直圆周所在的平面.由(4)、(5)式，可得i(t) =+ R cos cot)( 6 )q评分标准：本题12分.(3)式4分，(4)式2分，(5)式4分，(6)式2分.全国中学生物理竞赛复赛231五、参考解答:1 质点
21、在Ft B应作减速运动（参看图1 ）设质点在A点的最小初动能为瓦，则根据能量守Q恒，可得质点刚好能到达点的条件为kqO kqO R" 3R!2kqQ kqQ2R 5R/2(1)O0由此可得(2)2质点在 t。的运动有三种对能情况:i.质点在8to作加速运动（参看图1）,对应条件为v 4kqQmg <9R2(3)此时只要质点能过B点，也必然能到达0点，因此质点能到 达0点所需的最小初动能由（2）式给出，即瓦=期+她（4）期 630R若（3）式屮取等号，则最小初动能应比（4）式给出的民略 大一点.ii.质点在bto作减速运动（参看图1）,对应条件为、4kqQ，ng-(5)此时质点刚
22、好能到达O点的条件为kqQ 仞 0R R!2+ mg(2R) = Eko +kqQ kqQ2R 5R/2由此可得(6)全国中学生物理竞赛复赛27-31(7)iii.质点在bto之间存在一平衡点D (参看图2),在E D质点作减速运动，在QtO质点作加速运动，对应条件为啤5gv警9R“R2(8)设Z)到O点的距离为X,则(9)kqQ，ng = (R/2)+ x)2R2(10)根据能量守恒，质点刚好能到达Q点的条件为kqQ_kqQR(R/2) + x+瘤心)讥+穿般(11)全国中学生物理竞赛复赛#-31(12)rti (io)、di)两式可得质点能到达d点的最小初动能为 £W1= j m
23、gR +- 2jkgmqQ只要质点能过D点也必然能到达O点，所以，质点能到达O 点的最小初动能也就是(12)式(严格讲应比(12)式给出的Eo略大一点)评分标准：本题20分.第1小问5分.求得(2)式给5分.第2小问15分.算出第i种情况下的初动能给2分；算出第ii种情况下的初动能给5分;算出第iii种情况下的初动能给8分，其屮(10)式占3分.六、参考解答:n = 1 时，B间等效电路如B图I图1所示,4、3间的电阻R、=丄(2r£) = rLB间等效电路如(1)图2所示，A. B间的电阻由(1)、(2)两式得时，A. B间等效电路如图3所示，A. 3间的电阻&=丄丄2 +
24、 - + 3 + 3 + - + 2 1 + -/?,2 9144)3 (4)由(3)、(4)式得7R. =-rL9(5)A9-rL3-rL3-rL1 一代3 131 R3-rL3图2-rL-rL9-rL9-rL-rL9911 j9 丄皿-R2 -r£9-rL9-rL9-rL9全国中学生物理竞赛复赛2431评分标准：木题20分.(1)式4分，(3)式6分，(5)式10分.七、参考解答：1根据题意，太阳辐射的总功率尺=4勰魂太阳辐射 各向同性地向外传播.设地球半径为4：,町以认为地球所在处 的太阳辐射是均匀的，故地球接收太阳辐射的总功率为 斥=加(钊咗地球农面反射太阳辐射的总功率为则设
25、地球表面的温度为 兀，则地球的热辐射总功率为耳=4说吨(2)考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的 总功率为A+04当达到热平衡时，输入的能量与输出的能量 相等，有 7 Qocin com 斥+处：=好+玮：(3)Te = 287K( 5 )由以上各式得代入数值，有2.当地球表而一部分被冰雪覆盖后，以刃表示地球表面 对太阳辐射的平均反射率，根据题意这吋地球表面的平均温度为=273K利用（4）式，可求得夕= 0.43(6)(7)(8)设冰雪覆盖的地表曲积与总曲积之比为兀，则af = alx + a2（l-x）由（6）、（7）两式并代入数据得x = 30%评分标准：本题15分.第1
26、小问11分.（1）式3分，（2）式1分，（3）式4分,（4）式2分，（5）式1分.第2小问4分.（6）式2分，（8）式2分.Li、L2的直径分别用0】、0表示，其焦距的大小分别为 f、仕两透镜的距离d = fU（1）直径与焦距应满足关系A=A(2)U d2设射入透镜Li的光强为/,；,透过透镜Li的光强为/；,考 虑到透镜J对光的吸收有/： = 0.70儿(3)从透镜L透出的光通量等于进入L2的光通量，对应的光强与 透镜的直径平方成反比，进入L2的光强用厶。表示，即耳育I石故有G"；I丿2丿透过L?的光强1'2 = 0.70Z2o ,考虑到(3)式，得/；=0.49 儿(5)
27、<J2 >由于进入透镜Li的光强儿是平而镜M的反射光的光强，反射 光是入射光的80%,设射入装置的太阳光光强为人，则儿=0.80/。代入(5)式有厶=0.39厶田按题设耍求1； = %代入(6)式得2=039/., |4全国中学生物理竞赛复赛35-31从而可求得两透镜的焦距比为厶 2.26(7)£L2的直径应等于圆形窗户的直径0,即D2 =10cm ,由(2)式 得P, = A = 22.6cm( 8 )fl由图町知，平面镜M参与有效反光的部分为一椭圆，其半短 轴长度为方= 0/2 = 11.3cm(9)半长轴长度为a = 2/(2sin22.5°) = 29.
28、5cm( 10)根据装置图的结构，可知透镜组的光轴离地应与平面镜M的 屮心等高，高度为/评分标准：木题20分.作图8分(含元件及其相对方位，光路)，求得(7)、(8) 两式共10分，(9)、(10)式共2分.但反射镜M的半短轴、半长轴的长度分别为/? = £>2/2 = 5.0cm和a = £)2/(2sin 22.5°) = 13.1cm评分标准：参照方案一.全国中学生物理竞赛复赛37-31q但两透镜的距离如果平血镜放在透镜组Z前，平血镜的尺寸和方案一相 同；如果平面镜放在透镜组之后，平面镜的尺寸和方案二和同 评分标准：参照方案一.九、参考解答：1.假设碰
29、撞后球1和球2的速度方向之间的夹角为& （见图），则由能量守恒和动量守恒可得"尸 +?%= W7OC2/| +70厂2(1)+（加尼2了2+2（侶/J（W2）COSG（2）其中/0=777, Z1=FW1y/i-V/C2由（1）、（2）式得|+/o=/i +r2(3)尤 +1 =才 + 於 + 2(qq / c2 )yy2 cos a(4)由(3)、(4)式得C0S6Z =怎 +1一"+加»2 =你 T 丿仏 - 1 丿 c2 >0(5)叩2巾2心(6)2即为锐角.在IF相对论情况下，根据能量守恒和动量守恒可得+叫听=*叫讥+*2；（叫 ）2 =（叫
30、q ）2 + （加0。2）' + 2（?0。）（加超2 ）cosa(7)(8)对斜碰，巧的方向与°2的方向不同，要同时满足（1 ）和（2）式，则两者方向的夹角兀2(9)全国中学生物理竞赛复赛339即为直角.2.根据能量守恒和动量守恒可得J 一吠/疋 Jl-% /-v；/c2(10)则有代入儿 yj-vl/c2 升 Jl-以/疋 乙 -v/c2% = cjl_l/怎,q = cjl_l/才,v2 = cjl_l/加(10)、(11)式得1 +九=片+7(12)解（12）、J 怎 _i=J圧 _1+血_1（13）两式得Xi =IY = /o Yi = 1(13)(14)(15)(16)（或v2 = 0 不合题意）评分标准：本题16分第1小问10分（1）、（2）式各2分，（6）式4分，（9）式2分.第2小问6分.（10）、（11）式齐1分，（16）式4分.