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第五届大学生数学竞赛预赛试题一、（本题共4小题，每小题6分，共24分）解答下列各题1）求极限解：原式 2）证明广义积分不绝对收敛。解：因为所以由比较判别法得发散。3）设函数由所确定，求的极值。解：两边关于求导得 当时，此时因为时，所以 是极大值，是极小值。4）过曲线上的点作切线，使该切线与曲线及所围成的平面图形的面积为，求点的坐标。解：任取曲线上一点，此点处曲线的切线方程为当时， 点坐标为。二、（本题12分）计算定积分。解： 三、（本题12分）设在处存在二阶导数，且，证明：级数收敛。证明：因为，所以级数收敛，由比较判别法得级数收敛。四、（本题10分）设，证明：。证明：因为，所以存在反函数，设其反函数为。五、（本题14分）设是光滑封闭曲面，方向朝外，给定第二型曲面积分试确定曲面，使得积分取值最小，并求最小值。解：利用高斯公式 要使最小，则有，即为椭球面，此时 六、（本题14分）设，其中为常数，曲线为椭圆，取正向，求极限。解：曲线的参数方程为，从0变到当时，当时，当时，是常数，并且曲线积分与路径无关。七、（本题14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和。解：设级数的前项的和为，则 又因为所以由夹逼准则可得所以级数收敛于1。