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1、平方根、立方根一、平方根(1) 平方根：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a的平方根.也就是说，若x? =a，则x就叫做a的平方根.一个非负数a的平方根可用符号表示为“一 a ”.(2) 算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可 用符号表示为苗”；0有一个平方根，就是0 , 0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算 术平方根.(负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究)一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若a_0,则 1_0 .(3) 平方根的计算： 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方
2、.开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是 不是另一个数的平方根或算术平方根.二、立方根(1) 立方根：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a的立方根，也就是说，若 x3 = a,则x就叫 做a的立方根.一个数a的立方根可用符号表 需”，其中3 ”叫做根指数，不能省略.前面学习的“証”其实省略了根指数 2 ”，即: 需也可以表示为 石.需读作 三次根号a ”，甫读作 二次根号a ”，梟读作 根号a ”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0 .(2) 立方根的计算： 求一个数的立方根的
3、运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立 方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根.PagelO of 12考点一平方根的定义与性质【例1 .计算下列各数的平方根和算数平方根：492（1）64（2）21（ 3）（- 25）2（5）11（4）0.0004【巩固1】求下列各数的算术平方根和平方根4 36-(-625)1111250.000110 =【例2.判断下列各题，并说明理由 81的平方根是_9.（）.a 一定是正数.（）a的算术平方根是a .（）若,（a）2 =5，则 a - 5 .（） 9 = 3.（）-6是（七）2的平方根.（）（6）2的平方根是-6 .
4、（）若 x2 =36，则 x =36 = 6.（）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等.（）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等.（）（11）算术平方根- -定是 正数.（）（12）-a2没有算术平方根.（）【巩固2】判断题：( )( )( )( )(1) 、a 一定是正数.(2) a2的算术平方根是a .()(3) 若.(_a)2、6，则 a - _6 .(4 )若 x2 =64，贝V x 二 6 = 8 .(5) /64的平方根是 _8 .(6) 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等.()(7) 如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数.()(8)
5、-a2没有平方根.()(9) 如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等.()【例3】.若A=J(a2 +16 $，则A的算术平方根是 .【巩固1】一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是().A. a 2 2B.1C.孑 2D.孑 1【例1】 x为何值时，下列各式有意义？(1) 2x ; (2) T7 ； (3) '匚x2 ；考点二平方根的计算【例1】.求下列等式中的 x：x：；(2) x2= 169, ；(4)若 x2= (-2)2(1)若 x2= 1 . 21,则 x=(3) 若 x? =9，贝U x=【巩固1】若 厂1 (3)(5x -1) -3=
6、0 (4) (10-0.2x) =0.64 =2，则(2x 5)的平方根是；若x5，则x=.【例2 .求下列各式的值(1) 2 36 (2)49. 25(3)、.0.090.64 (4).0.81(5) J292 _212 (6) 1J064+丄丁62545【例3.下列各式中x的值.(1) x2 =9 ；(2) 2x2 50=0【例4】.（1）已知某正数的两个平方根是 3a _5与a - 1，求这个正数.一个数的平方根是a2 b2和4a6b 13，求这个数.D . -3 或 1【巩固2】若2m -4与3m 一1是同一个正数的平方根，则m为（ ）A. :B. 1C. -1【巩固1】已知x, y.
7、z满足|4x 4y亠1:亍（-2）2=0，求（x -Z）y 的值.考点三对非负性的考查【例5】.如果a-b 3与a 2b-2互为相反数，求.27（a b）的值.1 1【例6】.已知b =4 94 2 4二9a 2，求的平方根.a b【巩固2】 已知b =4 .3a _2 2. 2 _3a 2，求丄 1的算术平方根a b模块二立方根考点一立方根的定义与性质【例7】.（1）下列说法中，不正确的是（）A . 8的立方根是B . -8的立方根是-2C .0的立方根是0D .3 a2的立方根是a(2)11461-161的立方根是（）64_1-4(3)某数的立方根是它本身,这样的数有()C. 3个D. 4
8、个(4)F列说法正确的是（）正数都有平方根；负数都有平方根, 正数都有立方根；负数都有立方根;C. 3个D. 4个(5)若a立方比a大，则a满足（）A . a<0B .0< a<1C. a>1 D .以上都不对(6 )下列运算中不正确的是()A . 3 = -3aB . 3 厉=3C. 3 23 _33 - _1D. 3 1 641 =4【巩固3】(1)若x的立方根是4,则x的平方根是 .(2) +#x_1中的x的取值范围是 , Jl_x+Jx_1中的x的取值范围是 (3) - 27的立方根与,16的平方根的和是 .(4) 若3 x 3 y =0则x与y的关系是.(5)
9、 如果3厂4 =4那么(a -66) 2的值是.(6) 若 #2x +1 =4x 一1 则 x=.(7) 若 mv 0，贝V m - 3 m3 =.(8) 若5x 9的立方根是4,则3x 4的平方根是 .【巩固4】 判断：(1) 64的立方根是创.()(2) _!是_1的立方根.()2 6(3) 3 x3 =x .()(4) 互为相反数的两个数的立方根互为相反数.()(5) 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根.()考点二立方根的计算【例8】.求下列等式中的 x：(1)若 x3= 0 . 729，则 x=; (2) x3=，则 x=；27(3)若-x=，则 x=; (4
10、)若 x3= -(一2)3，则 x=.2 【例9】.求下列各式的值(1) 3 0.064 (2) 3 8(5) 3 210 ( 6) 311 4325(7) 3 27口)2 3 1【巩固5】计算:(1)(2) 3 2160003- 3 0.125【例10】.填表:a0. 0000010. 001110001000000Va(2) 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律.(3) 根据你发现的规律填空： 已知 3 3 =1.442，贝V 3 3000 =，3 0.000003 =； 已知 Q/456 =7.696 ,贝V 30.456 =.考点三综合运用【例11】. 若a 8与(b 27)2互为
11、相反数，求3-a-3b的立方根.【巩固6】(1)已知x _2的平方根是 戈，2x y 7的立方根是3,求x2 y2的平方根._x(2) 若3 2y和3匸寂互为相反数，求一的值.y【例12】.阅读下面数学领域的滑稽短剧 ，你觉得结果2=3荒谬吗？找出它们错误的根源吗？第一幕：4 10 =9 -15111第二幕：等式两边同时加 6丄，4 -10 6丄=9 -15 6 1444第三幕：上式变形，得 22 -2 2 5 (5)2 =32 -2 3 5 (5)22 2 2 2第四幕：利用 a2 -2ab b2 =(a -b)2，得到：(2 -5)2 =(3 -5)22 2第五幕：两边开平方，得 2 -5
12、 =3-52 2第六幕：两边加上 -，得到等式2 =3 ！20课后巩固习题1卜列命题中，真命题是（）A . 20112的平方根是2011B .-64的平方根是_8C .36 = 6D .若 a2 二b2，则.孑二.b2习题2有一个数值转换器原理如图所示，则当输入X为36时，输出的y是（）I1I1 是无理数 I输入x| |取算术平方根| 输出yf是有理数A . 6 B. . 6 C.3 D. 3 2习题3 下列说法正确的是（）A 一个数的平方根一定是两个B 一个正数的平方根一定是它的算术平方根C. 一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数D 一个数的正的平方根是算术平方根习题4 一个正数的算术
13、平方根为 m，则比这个数大2的数的算术平方根是（）A. '；-b .-C. m2 + 2D . m+ 2习题5 下列语句正确的是（ ）A .如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是0B 一个数的立方根不是正数就是负数C 负数没有立方根D 一个数的立方根与这个数同号， 0的立方根是0 习题6 若a v0,化简|a3 .习题7 计算：（i）尼 嚼-+屮话（2）V27-V64 寸 +&0.216(3) 4x9 (4)(X 俨=1 ( 5) (5_3x)2 一121 =0习题849计算：(1) 8x3 125 =0 (2) 729x3 =781 1(3) (x 5)3 =27 (4) 5(x-3)3 -40 =0(5) 8(x-2)3 1=0 (6) -(2x 3)3 -250 =04(7) 340 512x3 =3 (8) (2x-1) 2-169=0;(9)(x+1)2-0.01=0习题9 如果刘a +4 = 4，那么（a 67 $的值等于.习题10 如果 封A匸64+2=0,那么A=.习题 11 已知（2a b）3 - -27 ,2a二3b =5，求（3a b）2n 1 的值（n为正整数）.习题12 x =2a± 4F_3是a 3的算术平方根，y J少2b=3是b-3的立方根，求