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1、课时作业17导数的四则运算法则时间：45分钟一、选择题1给出下列结论：(sin x)cos x；若f(x)，则f(3)；(ex)ex；(log4x).其中正确的有(D)A1个 B2个C3个 D4个解析：因为(sin x)cos x，所以正确；f(x)(x2)2x3，则f(3)，所以正确；因为(ex)ex，所以正确；因为(log4x)，所以正确故选D.2函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于(D)A1 B2C3 D4解析：y(x1)2(x1)(x3x2x1)3x22x1，y|x14.故选D.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为(D)Ayx2 By3x2Cy2x3 Dy2x1解析：y，曲线在点
2、(1，1)处的切线斜率ky|x12，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1.故选D.4. 已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)(B)A1 B0C2 D4解析：由题图可知点(3,1)既在曲线yf(x)上，又在切线ykx2上，所以f(3)1,13k2，解得k，f(3)，又g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，所以g(3)f(3)3f(3)13×0，故选B.5已知f(x)sin xcos x，实数满足f()3f()，则tan 2(A)A BC. D.解析：f(x)cos xs
3、in x，f()cos sin .又f()3f()，cos sin 3sin 3cos .2cos sin ，tan 2，tan 2.故选A.6已知e为自然对数的底数，曲线yaexx在点(1，ae1)处的切线与直线2exy10平行，则实数a(B)A. B.C. D.解析：函数yaexx的导数为yaex1，可得曲线yaexx在点(1，ae1)处的切线的斜率为yae1，所以ae12e，解得a.7等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)··(xa8)，则f(0)(C)A26 B29C212 D215解析：因为f(x)x·(xa1)(xa2)&#
4、183;·(xa8)(xa1)·(xa2)··(xa8)·x(xa1)(xa2)··(xa8)(xa1)·(xa2)··(xa8)·x，所以f(0)(0a1)(0a2)··(0a8)0a1a2··a8.因为数列an为等比数列，所以a1a8a2a7a3a6a4a58，所以f(0)84212.故选C.8(多选题)函数f(x)的导函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(BC)Af(x)3cos x Bf(x)x3xCf(x)x Df(
5、x)exx解析：对于A，f(x)3cos x，其导数f(x)3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)x3x，其导数f(x)3x21，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)x，其导数f(x)1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)exx，其导数f(x)ex1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意故选BC.二、填空题9已知f(x)2x，则feln2.解析：因为f(x)2x，所以f(x)2xln 2，所以ff(log2e)2log2eln 2eln 2.10已知函数f(x)2ln xx2x，则f(
6、2)4， 12.解析：根据题意，函数f(x)2ln xx2x，则其导数f(x)2x1，则f(2)2×214；故 3× 3f(2)12.11已知函数f(x)ax2ln x的导数为f(x)则f(1)f(1)3a1，若曲线yf(x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是(，0)解析：由题意，函数的定义域为(0，)，由f(x)ax2ln x，得f(x)2ax，所以f(1)f(1)3a1.因为曲线yf(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x(0，)内导函数f(x)2ax存在零点，即f(x)02ax0有正实数解，即2ax21有正实数解，故有a<0，所以实
7、数a的取值范围是(，0)三、解答题12求下列函数的导数(1)yx；(2)ysin4cos4；(3)y.解：(1)yxx31，y3x2.(2)ysin4cos422sin2cos21sin21·cos x，ysin x.(3)y2，y.13已知曲线C：y3x42x39x24.(1)求曲线C在点(1，4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由解：(1)因为y12x36x218x，所以当x1时，y12.所以曲线C在点(1，4)处的切线斜率为12，所以所求切线方程为y412(x1)，即12xy80.(2)有设切线与曲线C还有其他公
8、共点，于是有消去y，整理，得3x42x39x212x40，所以x3(3x2)(3x2)20，所以(3x2)(x33x2)0，所以(3x2)(x3x2x23x2)0，即(x2)(3x2)(x1)20.所以x12，x2，x31，故除切点外还有两个交点(2,32)和.14若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是(A)Aysin x Byln xCyex Dyx3解析：设函数yf(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1f(x1)，k2f(x2)，若函数具
9、有T性质，则k1·k2f(x1)·f(x2)1.对于A选项，f(x)cos x，显然k1·k2cos x1·cos x21有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f(x)(x0)，显然k1·k2·1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f(x)ex0，显然k1·k2ex1·ex21无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f(x)3x20，显然k1·k3x·3x1无解，故该函数不具有T性质故选A.15已知函数f(x)若f(a)12，则实数a的值为或2.解析：f(x)若f(a)12，则或解得
10、a或a2.16对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数yf(x)的导数，若f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”现已知f(x)x33x22x2，请解答下列问题：(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标；(2)求证：f(x)的图象关于“拐点”A对称解：(1)因为f(x)3x26x2，f(x)6x6.令f(x)6x60得x1，f(1)133222.所以“拐点”A(1，2)(2)证明：设P(x0，y0)是yf(x)的图象上任意一点，则y0x3x2x02，因为P(x0，y0)关于A(1，2)的对称点为P(2x0，4y0)，把P代入yf(x)得左边4y0x3x2x02，右边(2x0)33(2x0)22(2x0)2x3x2x02，所以左边右边所以P(2x0，4y0)在yf(x)的图象上所以yf(x)的图象关于“拐点”A对称