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1、第十四章 计数原理与二项式定理第1讲计数原理与排列组合考纲要求考情风向标容，其考查方式是:一是在选择、填空题中单独考查.二是在解答题1 理解分类加法计数原理和分类 乘法计数原理.2会用分类加法计数原理或分步 乘法计数原理分析和解决一些简 单的实际问题.3.理解排列、组合的概念，能利 用计数原理推导排列数公式、组合 数公式，能解决简单的实际问题.排列组合应用题几乎是每年必考内中与概率问题相结合，重点考查分 类讨论思想与分析问题、解决问题的能力.ICEIU OIMG aunGU/YW:要点梳理1. 分类加法原理与分步乘法原理(1)分类加法原理：做一件事，完成它有“类办法，在第一 类办法中有种不同的
2、方法，在第二类办法中有加2种不同的 方法，第类办法中有加”种不同的方法，那么完成这件事 共有n= "+从+”种不同的方法.(2)分步乘法原理：做一件事，完成它要分成个步骤，缺 一不可，在第一个步骤中有®种不同的方法，在第二个步骤中 有加2种不同的方法，第个步骤中有加“种不同的方法， 那么完成这件事共有N = ® 叫.叫种不同的方法.2. 排列与排列数从n个不同元素中取出m(m<n)个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)从个不同元素中取出m(m<n)个元素的所有不同排列 的个数，叫做从加个不同元素中取出A：个
3、元素的排列数，用A：n!表示，且A：=(n-m)!.川，0!=.3. 组合与组合数（1）从个不同元素中取出m（m<n）个元素介成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.（2）从个不同元素中取出m（m<n）个元素的所有不同组合 的个数，叫做从个不同元素中取岀加个元素的组合数，用（一 1）（一2）（“一加+1）_n !C,表示，且C,=加！m!（“一加）！.厂|Q加r>n-m厂“2 I1 厂（加）n 19衷础自測1. 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有B )A. 81 种B. 64 种C. 12 种D. 14 种2. （2012届广东茂名模拟）某小区有7个
4、连在一起的车位, 现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连 在一起，那么不同的停放方法的种数为（C ）A. 16 种B. 18 种C24种D. 32种解析：第一步:选取4个连在一起的空车位的取法有4种； 第二步：在剩下的3个车位上安排3部不同的车的排法有A右总共有4A=24（种）排法.3. （2012年辽宁）一排9个座位坐了 3个三口之家，若每家 人坐在一起，则不同的坐法种数为（C ）A. 3X3!B. 3X（3! ）3C. （3! ）4D. 9!解析：此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每 个家庭有3 !种排法,三个家庭共有3 ! x3 ! x3 ! =（3 !尸（种）
5、排法；再把三个家庭进行全排列有3 !种排法.因此不同的坐 法种数为（3 !尸.故选C.4. （2013年大纲）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻 的不同排法共有480种.（用数字作答）解析：先排除去甲、乙的其余四人，然后采用插空法，则 有不同排法A= 480（种）.5 . （2014年广东广州调研）有4名优秀学生A , B , C , D全 部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不 同的保送方案共有36种.I jADDrAN OI AD TUFO考点1排列问题例1： 7位同学站成一排照相.(1) 其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法?(2) 甲、乙只能站在两端的排法共有多
6、少种？(3) 甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4) 甲、乙两位同学必须相邻的排法共有多少种？(5) 甲、乙两位同学不能相邻的排法共有多少种？(6) 甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？解：(1)甲的位置固定，则只需排其他六个人，则有A冷720.(2) 分两步，先排甲、乙，则有A?种排法；再排其他5个人, 有A；种方法，由分步乘法原理则有Al-Al = 240.(3) 直接法：分两种情况：甲站在排尾，则有A辭中排法； 甲不站排尾，先排甲、乙，再排其他，则有cc5a；, 综上，贝哄有A?+C2 W = 3720(种)排法.间接法：总的排法数减去甲站在排头的和乙站在排尾的情 况，但是这就把
7、甲站在排头，乙站在排尾的情况减了两次，故 后面要加回来，即A”a£a2+A=372O（种）排法.（4）采用“捆绑”法，将甲、乙看成一整体进行排列（甲、 乙之间也有排列），故有屋衣=1440（种）排法.（5）采用“插空”法，先排其他5个人，然后将甲、乙插入 到6个空格中，故有A】A=3600（种）排法.（6）甲站在乙的左边的排法总数等于乙站在甲的左边的排 法总数，故有|a7 = 2520（种）排法.【方法与技巧】在本题中，我们可以体会到求排列应用题 的主要方法: 直接法：把符合条件的排列数列式计算,如第问； 特殊元素(或位置)优先安排的方法.即先安排特殊元素或特殊位置如第问; 相邻问题
8、捆绑处理的方法.即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列,同时注意捆绑元素的内部排列.如第(4) 问； 不相邻问题插空处理的方法.即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.如第(5) 问； 定序问题除法处理的方法即可以先不考虑顺序限制, 排列后再除以定序元素的全排列.如第问.【互动探究】1.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加 某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并 要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（A ）A. 20 种B. 30 种C. 40 种D. 60 种解析：分三类:甲在周一，共有A：种排法；甲在周二，共 有A孑
9、种排法；甲在周三，共有A纟种排法；A：+A孑+A纟= 20.考点2组合问题例2：从4名男同学和3名女同学中，选出3人参加学校的某项调查，求在下列情况下，各有多少种不同的选法?(1) 无任何限制；(2) 甲、乙必须当选；(3) 甲、乙都不当选；(4) 甲、乙只有一人当选；(5) 甲、乙至少有一人当选;(6) 甲、乙至多有一人当选. 解题思路：此题不讲究顺序，故采用组合数.解：(1)C弓= 35.(2)c2 = 5. C；=10.(4)CC?=20.(5) 直接法：有两种情况：甲、乙两人都当选和甲、乙只 有一人当选，则C2+C；&=25.间接法：甲、乙至少有一人当选的对立事件为甲、乙都不
10、当选，则驾一& = 25.(6) 直接法：有两种情况：甲、乙两人都不当选和甲、乙 只有一人当选，则C1 + C：C=3O.间接法：甲、乙至多有一人当选的对立事件为甲、乙都当 选，则Uc2 = 3O.【方法与技巧】组合问题常有以下两类题型变化: “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足；"不含"，则先将 这些元素剔除，再从剩下的元素中去选冃 “至少”或"至多含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视"至少"或"至多"这两个关键词的含义，谨防重 复与漏解.用直接法和间接法都可以
11、求解,通常用直接法分类 复杂时，考虑逆向思维,用间接法处理.【互动探究】2. （2012届广东湛江测试）甲、乙两人从4门课程中各选2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（c ）A. 6 种B. 12 种C. 30 种 D. 36 种解析：直接法：甲、乙只有一门不同和两门都不同，则有 +Ci-Cl=24+6 = 30.间接法：“至少有1门不同”的对立事件是“两门都相 同”,则有W-C：=30.故选C.考点3排列组合的综合问题例3：六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?(1) 平均分成三堆，每堆两本；(2) 平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；(3) 堆一本，一堆两本，一堆三本
12、；(4) 甲得一本，乙得两本，丙得三本；(5) 人得一本，一人得两本，一人得三本.(3)CbC 皿=60.(4) Q W=60. (5)cLWa=360.【方法与技巧】求解排列、组合问题的思路是："排组分 清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘.” 求解排列、组合问题的常用方法：简单问题直接法:把符合条件的排列数直接列式计算； 部分符合条件排除法:先求出不考虑限制条件的排列, 然后减去不符合条件的排列数； 相邻问题捆绑法：在特定条件下，将几个相关元素当作 个元素来考虑,待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的 排列,它主要用于解决相邻或不相邻的问题； 相间问题插空法：先把
13、一般元素排列好,然后把待定元 素插排在它们之间或两端的空中,它与捆绑法有同等作用; 特殊元素位置优先安排：对问题中的特殊元素或位置首 先考虑排列，再排列其他一般元素或位置; 多元问题分类法：将符合条件的排列分为几类，而每一 类的排列数较易求出,然后根据分类计数原理求出排列总数; 至多至少间接法："至多""至少"的排列组合问题， 需分类讨论且一般分类的情况较多,所以通常用间接法,即排 除法.它适用于反面明确且易于计算的问题； 均分问题作商法:平均分组问题，若m个元素平均分成m mm组，则分法总数为tnnnn【互动探究】3.将标号为1,2,3,4,5,6的6
14、张卡片放入3个不同的信封中. 若每个信圭寸放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信圭寸，则 不同的方法共有（B ）A. 12 种 B. 18 种 C. 36 种 D. 54 种 解析：标号1，2的卡片放入同一圭寸信有C I种方法；其他4张种方法，共有卡片放入2个信封，每个信封2张卡片有岸2C；着A=18（种），故选B.思想与方法。分类讨论思想在排列组合问题中的应用例题：（1）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一 个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案 共有（）A. 70 种C. 100 种B. 80 种D. 140 种解析：直接法：一男两女，有Cm5X6 = 30（种），
15、两男 一女，有 C?C；= 10X4=40（种），共计 70 种.间接法：任意选取& = 84种，其中都是男医生有Cj = 10（#）,都是女医生有Ci=4（种），于是符合条件的有84-10- 4=70（种）.答案:A(2)现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志 愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之 一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他 三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的B. 126 种D. 54 种种数是()A. 152 种C90种解析：分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有&X A舟 = 18（种）；若有1人从事司机工作，则方案有QxC：XAA 108（种），所以共有18+108=126（种），故B正确.答案:B方法与技巧在排列组合中由于某个元素的原因而导致 其他元素的位置的选取而出现变化,故出现了分类讨论,分类 讨论既不要重复,又不能遗漏,这样才能保证考虑事情的严谨 性.