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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除不等式的概念和基本性质重点：不等式的基本性质难点：不等式基本性质的应用主要内容：1.不等式的基本性质(1) a>b=b<a(2) a>b,b>c=a>c(3) a+b<c=a<c-b a>b=a+c>b+c彳匸=0 n mt；二打？(4) a>bD = wU 加2 .不等式的运算性质(1) 加法法则：a>b,c>fc a+c>b+d(2) 减法法则：a>b,c>=a-d>b-c(3) 乘法法则：a>b>0,c>d>0 二 ac>
2、;bd>0£ b(4) 除法法则：a>b>0,c>d>0=>>o(5) 乘方法则：a>b>0,an>bn>0 (n N, n > 2)(6) 开方法则： a>b>0, ： ' >>0 (n N, n > 2)3 .基本不等式(1) a R,a2> 0(当且仅当a=0时取等号)(2) a,b R,a2+b2>2ab(当且仅当a=b时取等号)白+ b(3) a,b R+,二 心(当且仅当a=b时取等号)(4) a,b,c R+,a3+b3+c3>3abc(当且仅
3、当 a=b=c 时取等号)tar + fe + c(5) a,b,c R+,- 八 2 (当且仅当a=b=c时取等号)(6) |a|-|b|w |a± b|< |a|+|b|4.不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。例1.对于实数 a,b,c判断以下命题的真假(1) 若 a>b,则 ac<bc;(2)若 ac2>bc2,则 a>b;只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除(3)若 a<b&l
4、t;0,则 a2>ab>b2;(4) 若 a<b<0,则|a|>|b|;£丄(5) 若 a>b, lJ > ,则 a>0, b<0.解：(1)因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。(2) 因为ac2>bc2,所以cm 0,从而c2>0，故原命题为真命题。a <.b(3) 因为所以a2>ab a <.b又口卩 所以ab>b2综合得a2>ab>b2故原命题为真命题.(4) 两个负实数，绝对值大的反而小.故原命题为真命题.厶丄(5)因为b石从而ab<0又因
5、a>b所以a>0, b<0.故原命题为真命题.例 2 .已知 f(x)=ax 2-c 且-4< f < -1 , -1 < f(2) < 5,求 f(3)的范围.解：由题意可知:g扣F叨4弐冗2)-叮(1)】S 5 f(3)=9a-c=f(2)-f(1)运算可知 -1 < f(3) w 20错解：依题设有11£也-巴"*消元，得只供学习与交流/ f(3)=9a-c -7w f(3) w 26不等式组扩大了不等式组的解的范围,同向不等式错因：根源在于不等式组与不等式组并不等价, 在多次相加时要谨慎，一定要检查其同解性.1 1lG
6、、H、Q例3 .设a,b是不相等的正数：A= -, H= _, Q=，试比较A、的大小.解：由于a,b为不相等的正数.2I 1所以：G-H= -"-* = =【一-：（a + b）4aE' - 2ab 拓 -厶!鬲十毎=r 一 ：=L. - L=a->rb>0从而H<Gaa - 2jab + bA-G=2 一她=2=2>0 从而 g<A/十沪a + b2(/+ i2) a + bQ-A= 132 Jl4 2+加右十42a + h> '1-=0 从而 A<QA的原因在综上所述，当a, b为不相等的正实数时，H<G<A
7、<Q .评述：本题直接比较 G、H ; A、G;Q2于由特殊值可对四者排序，令a=1, b=3则A=2, G= ,H=上，Q='，这为我们解题指明了方向.例 4 .设 a, b N+ sb 2仪 * b（1）求证：' I在-与-之间;b 2t? + Z?（2）问丿与-哪一个更接近丿：?b2Z? + i证明：（1）由于-山）（二-匸）b所以(*)式的值小于0b 2a从而在-与-之间b解（2）由于 |一- . :|: a-b|帀+必 返 迈-1| 丿 ”|= 一+ 门:a-b|11V2-1> _< 十 > 丿十-1丿2 -2c7 + l | J : a-b|
8、> “ 十 1 |; a-b| 故而更接近例5 .船在流水中在甲地和乙地间来回驶一次平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？解：设甲、乙两地的距离为S,船在静水中的速度为u，水流速度为v ( u>v>0 )则船在甲、乙两地行驶的时间t为：S£ 緒2S u2 - V2 22 _ t二，卜J平均速度丄二=-<U2 - V2 U2 - V2 - U2 - V2:-r -u="-U=j= i <0<u从而船在流水中来回一次的平均速度小于船在静水中的速度.练习1.若a,b,c为实数，判断下列命题的真假(1) 若 a>b,则 ac2>
9、bc2；(2 )若 a<b<0U <匸;& crba b(3) 若 a<b<0，则丄 >(4 )若 a<b<0,则<1;(5 )若 c>a>b>0，则-、>-.2 .设x,y R,判定下列两题中，命题甲与命题乙的充分必要条件.:>C3*£ y M:x+ y > 4(1)命题甲2°命题乙1刃汕(2)命题甲命题乙肿4此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除3. a R，试比较 3(1+a2+a4)与(1+a+a2)2 的大小.4. a>1, m>n>0,比较
10、am+一厂和 an+的大小.5 .已知函数 y=f(x), x R满足(1) 对 x R,都有 f(x) > 2 ;(2 )对 xi R, x2 R,都有 f(x i+X2)W f(x 1 )f(x 2)求证：对任意实数 Xi, X2,都有：Igf(xi+X2)< lgf(x i)+lgf(x 2)参考答案1.解(1)T c2> 0，当c=0时ac2=bc2=0故原命题为假命题£(2) 举特例-2<-i<0但>-i故原命题为假命题-a3)由于 a<b<0所以所以故原命题为假命题(4)t a<b<0 |a|>|b|>
11、;0 -V1故原命题为真命题.c>a>b>0 c-b>c-a>0 二-J >：- > 0又 a>b>0 - > -故原命题为真命题.2 .解(1)当 x>0, y>0 时，很明显 x+y>0, xy>0当xy>0时，x,y同号；又x+y>0，可知x, y同正，即x>0, y>0 . 因此：命题甲是命题乙的充要条件.(2)v x>2>0 , y>2>0 x+y>4, xy>4x-h 4(x>2但是：h反例如下：x=5, y=i,这时 x+y=6&g
12、t;4, xy=5>4, 但 x>2, y<2因此：命题甲是命题乙的充分但不必要条件.3.解:3(i+a2+a4)(i+a+a2)2 =3+3a2+3a4-(i+a2+a4+2a+2a3+2a2)=2a4-2a3-2a+2 =2(a-i)2(a2+a+i) > 0 3(i+a2+a4) > (i+a+a2)2只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除4.解:丄 1(am+ -厂，)-(an+"1)=(am-an)+(J )=由 a>1, m>n>0 可知 am>an,am+n>i1 1 1 1 (am+)-(
13、an+)>0 即：am+>an+ -"5 .证明：设 xi R, X2 R.T f(X 1)f(x 2)-f(x 1)+f(X 2) = f(X1):-1+f(X 2)二 -1T对任意X Rf(X) > 2-1 > 0匚-1 > 0 - f(X 1 )f(X 2) > f(X 1)+f(X 2)再由条件(2)f(X1+X2) < f(X1)+f(X 2) 对任意实数 X1 R X2 R 有:f(x 1+x2)w f(X 1) f(X 2) lgf(x 1+X2)w lgf(x 1)f(x2)=lgf(x 1)+lgf(x 2)从而对任意实数
14、X1 R, X2 R 有：Igf(x1+X2) < lgf(x 1)+lgf(x 2)不等式综合能力测试一、选择题：1.设I=R，集合 M=x|lg(x+1) w则川 等于()A、 (-8 ,-1) U (0,+ 8)B、 (-8,0C、 (-8 ,-1) U 0,+ 8)D、 (-8,0)2 .若函数y=lg1+ 丄(1+log2x)的值域为R+,则其定义域为()£ £A、R+B、(1,+ 8) C、(二，+ 8) D、(，1)3 .使方程cos2x+sinx=a有实数解的a的取值范围是()9999A、(-8,B、-1,： C、0, L D、卜2,；- 444 .已
15、知函数:(1) y=x+ 儿(x 丰 0), (2)y=cosx+“(0<x<),J_ 3££2-2-(3) y= - (x+8x+)(x>0), y=(1+cotx)( -+2tgx)(0<x< -).这四个函数中以 4 为最小值的个数为()只供学习与交流C、2D、3C、|a-c|>|c-b|D、|a+b|>|b+c|)C、x|x w -1D、x|-1 w x w 0)12.不等式1呃也阮逅 3x> |2-|的解集是此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除A、0B、15. 如果a>b>c，则有()A、|a|&
16、gt;|b|>|c| B、6 .不等式> x+1的解集是(A、x|-1 w x w 1 B、x|0 « 1二、填空题1 1 1dr + 7 .已知a、b、c R+，且a+b+c=1,则丄 二的最小值是£8. loga(1+a)与 loga(1+ a ) (a>0 且 a丰 的大小关系是 .49 .设x>0,则函数y=兀+x2,当x=时，有最小值 ,10.不等式lg(x2+2x+2)<1的解集是 11 .函数y=珅'一 2兀+arcsin(2x-3)的定义域为 三、解答题log. |-2|亍13. 解不等式<0.丄14. 如果 0&
17、lt;a<1,0<b<1,0<c<1,试证：(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 不能同时大于 .15. 解不等式J rL + i >0.cj + i + r + ahc16. 已知 |a|<1, |b|<1, |c|<1,求证：十丄“工 |<1.17. 若xy=100, xU , y，求|g(ylgx)的最大值和最小值18. 轮船航行的费用分为两部分， 第一部分是轮船的折旧费或其它服务费用，每小时480元；第二部分为燃料费, 它与速度的立方成正比并且当速度为10公里/小时时，燃料费为每小时 30元侗航行速度为多少时，才能使航
18、行 每公里的费用最小？并求出这个最小值，此时每小时的费用总和多少？只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 答案：1.A2.D3.D4.A5.C6.D7.98. Ioga(1+a)>log a(1+ -< )3310. x|-4<x<211. 1,二12. x|x<解得原不等式的解集为x|x<0或1<x<2或2<x<3或x>4丄_1_14.假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 同大于 4，二 abc(1-a)(1-b)(1-c)>( 一 )3.(1)/ + 1- j_J_J.J_£又
19、 a(1-a) w (匚)2=4 ,即 a(1-a) u，同理 b(1-b)兰,c(1-c)圭abc(1-a)(1-b)(1-c) p )3.t? + A + c + abc16. |1 +总心*占(：+亡盘|<1 等式成立.a2+b2+c2+a2b2c2<1+a2b2+b2c2+c2a2(1-a2)(1-b2)(1-c2)>0,即 原不(1)与矛盾，所以结论成立.15 .设 x=tan(-90 <<90 ),则L =sin ,1 + x =cos2，原不等式化为 sin +cos2>0,1兀暫即 2sin2 -sin-1<0, a-二 <sin
20、 <1.-< < -:，x=tan >-.故原不等式的解集是(，+ )（口 4 3亠*品涉一 上阳<1+lg 矽17.设 M=lg(y lgx)=|gx lgy, / x - , y R,a Igx>0, lgy>0 /. M w (二)2=( -)2=1,当 x=y=10 时等号成立，又 xy=100, a lgx+lgy=2 a M=-(lgx-1) 2+1,丄 丄 1 1122由xR-，y > -1，得lgx R , lgy > , a Igx 匚，匚当lgx=二或lgx=时，M有最小值-,3故lg(ylgx)的最大值为1,最小值为_.18设每小时的费用总和为 t元，航行速度为x公里/小时，A t=kx3+480(x R 0),此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除33由已知得 103k=30 得 k= 1 -,即 t= 1 - - x3+480.丄丄3240 2A 0$2.躺护设每公里的航行费用为 y元，得y=.(l_L x3+480)= 1 - x2+人+ -=36，当x=20时取等号,答(略)