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1、抛物线1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质(P.O):2. 抛物线的焦半径、焦点弦 y2 = 2px(p 式0)的焦半径 pF = x+p； x2=2py(pH0)的焦半径 | p” = y+_| ； 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径其长度为2p.2 AB 为抛物线 y2 =2px 的焦点弦，贝卩 xAxB = ， yAyB 二- p2， | AB | = xA xB p4 考点1抛物线的定义题型 利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例1 已知点P在抛物线y2二4x上，那么点P到点Q(2， 1)的距离与点p 到抛物线焦点距离之和的最小值为 【解题思路】将点P
2、到焦点的距离转化为点 P到准线的距离解析过点P作准线的垂线I交准线于点R,由抛物线的定义知，PQ PPQ PR，当P点为抛物线与垂线|的交点时，PQ - PR取得最小值，最小值为点Q到准线的距离，因准线方程为x=-1,故最小值为3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说，用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1. 已知抛物线y2=2px(pA0)的焦点为F，点R(X1, yj, F2(X2，y2)，卩3化，ya)在抛物线上，且|RF|、|F2F|、丨新|成等差数列， 则有()A.人 X2 nB % 丫2 二 yaC.咅 X3 二 2
3、X2D. y1 ya 二 2y2解析C由抛物线定义，2(x2 -p(X1 -p) (x3 -p),即：xx3=2x2 .2. 已知点A(3,4), F是抛物线y2 = 8x的焦点,M是抛物线上的动点，当| MA十| MF|最小时,M点坐标是()A. (0, 0) B. (3, 2、. 6) C. (2, 4) D. (3, -2 6)解析设M到准线的距离为 MK ,则|MA|+MF MA+|MK ,当MA + MK最小时，M点坐标是(2, 4)，选C考点2抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)(2)焦点在
4、直线x2y4=0上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意幵口方向的讨论解析(1)设所求的抛物线的方程为 y2 = -2px或x2=2py(p 0),过点(-3,2) 4 二2p(-3)或9 = 2p 2.2十 9p =或p =-34抛物线方程为y2 - - 4x或x2 =9y,32前者的准线方程是 -,后者的准线方程为y - -938(2) 令 x=0 得 y=-2，令 y = 0 得 x = 4，抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时，卫=4,2 p =8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为(0,-2)时£=2 P = 4，此时抛物线方程x2 - -8y .
5、所求抛物线方程为y2 =16x或x2 - -8y ,对应的准线方程分别是x - -4, y = 2 .【名师指弓I】对幵口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】23. 若抛物线y2 = 2px的焦点与双曲线 -y2 . 1的右焦点重合，则p的值3解析冷=3 1二.p = 44. 若抛物线的顶点在原点，幵口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点，且| AM |= AF |=3，求此抛物线的方程解析设点A'是点A在准线上的射影，则|AA'| = 3，由勾股定理知|MA'|=2、2，点A的横坐标为（2.2,3-号），代入方程x2 = 2py得p=2或4,抛
6、物线的方程x2 = 4 y或 xl8y考点3抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证例3 设A B为抛物线y2 =2px上的点，且.AOB =90 （O为原点），贝y直线AB必过的定点坐标为【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置解析设直线OA方程为y=kx,由；=二解出A点坐标为（备护1 -k2=1 - 2 y k x解出B点坐标为(2pk2,-2pk)，直线AB方程为y+2pk= k(x-2pk )2cy =2px令y=0得x =2p，直线AB必过的定点（2p, 0）【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线 AB,求交点即可；（2） B点 坐标可由A点坐标用-丄换k而得。k
7、【新题导练】6. 若直线ax-y，1 =0经过抛物线y2 = 4x的焦点，则实数a二解析-17. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点 A、B,若A B在抛物线准线上的射影为 Al B1,则.AFB1A. 45 ' B. 60 ' C. 90 D. 120解析C基础巩固训练1. 过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A B两点，它们的横坐标之和等于a2 2a 4( R)，则这样的直线()A.有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C.1 条或2条 D. 不存在解析C | AB xA xB p = a2 2a 5 = (a T)2 4 _ 4，而通径的长为 4.2. 在平面直
8、角坐标系xOy中，若抛物线x2 =4y上的点P到该抛物线焦点的距离为5, 则点P的纵坐标为 ()A. 3B. 4C. 5D. 6 解析B 利用抛物线的定义，点 P到准线y =-1的距离为5，故点P的纵坐标为4.3.两个正数a、b的等差中项是9，一个等比中项是2、5，且a b,则抛物线y2 =(b -a)x的焦点坐标为()1 1A.（o4）B .（o,4）C .1 1（-2,0） D .（-才0）解析D. a =5,b =4,b - a - -14.如果P，P2，P8是抛物线y2 =4x上的点，它们的横坐标依次为X1，X2，,沧，F是抛物线的焦点，若x“X2，Xn(N”)成等差数列且石 X2 =
9、45，则 |F5F |=().A. 5B . 6C.7D. 9解析B根据抛物线的定义，可知 RF| = Xj+_p = Xj+1 (i=1，2，n)，Xj,X2,Xn(n，N )成等差数列且 人X2X9=45,X5=5,| F5F|=65、抛物线y2 =4x的焦点为F,准线为丨，丨与X轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在X轴上方的部分相交于点 A, AB丄丨，垂足为B,贝V四边形ABEF的面积等于()A 3 .3 B . 4 3C. 6 3D . 8 3解析C.过A作x轴的垂线交x轴于点H,设A(m, n)，贝UAF =AB 1,FH =0H OF -1 , . m
10、1 =2(m -1). m =3,n =2.3四边形 ABEF 的面积二舟2 (3 1) 2. 3 =6.、36、设O是坐标原点，F是抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上的一点，fA与x 轴正向的夹角为60，则OA为.解析.21 .过 A 作 AD _ x轴于 D,令 FD 二 m，则 FA = 2m 即 2 m = 2m，解得 m = 2 . 综合提咼训练7. 在抛物线y =4x2上求一点，使该点到直线y=4x5的距离为最短，求该点的坐 标解析解法1:设抛物线上的点P(x,4x2)，点P到直线的距离d二14x2 - 4x 5|1 2|4&一2 十4|、4后<17- 17当且仅当
11、x=2时取等号，故所求的点为(£，解法2：当平行于直线y =4x-5且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为y =4x b，代入抛物线方程得4x2 - 4x - b = 0，11由厶=16,16b =0得b = -1,x，故所求的点为(一，)228. 已知抛物线C:y=ax2 ( a为非零常数)的焦点为 F，点P为抛物线c上一个 动点，过点P且与抛物线c相切的直线记为I .(1 )求F的坐标；(2)当点P在何处时，点F到直线l的距离最小？解：(1)抛物线方程为x2二丄ya故焦点F的坐标为(0,丄)4a(2)设 P(xo, yo)则 y° =ax2直线l的方
12、程是y - ax： =2ax0(x - x0)29.设抛物线y =2px ( p 0 )的焦点为 F，经过点F的直线交抛物线于 A、B两点.点 C在 抛物线的准线上，且 BC / X轴.证明直线 AC经过原点O.证明：因为抛物线y2 =2px ( p . 0 )的焦点为F卫0 ，所以经过点F的直线AB的方程可设为 V丿p代人抛物线方程得x 二 my2y2 _2pmy _ p2 = 0 .若记A Xi,% , B X2,y2，则是该方程的两个根，所以2 y2 二-p .因为BC / X轴，且点C在准线x = -上，所以点C的坐标为-,y2 :2I 2 '丿故直线CO的斜率为k二上 竺=Y
13、1._2 Yi xi 22 210.椭圆务占=1上有一点M(-4 ,a b即k也是直线OA勺斜率，所以直线 AC经过原点O.9 )在抛物线y2 =2px (p>0)的准线|上,5抛物线的焦点也是椭圆焦点(1)求椭圆方程;(2)若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为 Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.2 2解：(1)：令勺"上的点M在抛物线 a2 b2y2 =2px (p>0)的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.二 c=-4， p=8 M (-4 , 9)在椭圆上5.16 81 彳2 2 1 a225b2T a2 二 b2 c2 由解得：a=5、b=32 2椭圆为=1259由p=8得抛物线为y2 -16x 设椭圆焦点为F (4, 0),由椭圆定义得|NQ|=|NF|MN|+|NQ| > |MN|+|NF|=|MF| =（2（5一0）2詈，即为所求的最小值