《三角形面积公式的十五种形式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形面积公式的十五种形式.docx（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、三角形面积公式的十五种形式 一次数学研究性学习课总结崔佃金 （山东省桓台第一中学 256400） 研究性学习是素质教育新形势下的一种全新的学习方式， 是全面提高学生素质的有效途 径. 特别是在当前知识经济新时代，学生获取知识的渠道不能仅限于课堂、书本，结合课堂 教学内容，适时发现研究性课题进行深入研究，往往收到意想不到的效果 . 三角形面积公式 的探求多数与正、余弦定理相联系，还用到三角函数及恒等变形、向量及其运算 . 在高一学 习了三角函数、 向量和正、 余弦定理后， 我抓住时机进行了一次关于三角形面积公式的研究 性学习活动 . 师生通过查阅资料、独立推证和课堂讨论，三角形面积公式由常见的六
2、种增加 到十五种（这完全出乎师生的意料，课前老师也只知道八个公式）.现简单介绍如下 :公式一：S =ah.%= 2 2 2公式二：S = absi nC= bcs inA= acs inB2 2 2可把公式二中角的关系转化为边的关系.扌艮据 sin=J丄(a+ b + c)丄(a+ b - c)丄b + c)丄(b + c - a)V 2222设 p=l(a4-b4-c),则，S =/p(p- a)(p- b)(p- c),由此得到: 公盘三：s =Jp(p-a)(p-b)(p-c)其中 p=y (a+b+c)S 为三甬形的半 Jil<. 乙此公式称为海伦公式，实际上是中国古代著名数学家
3、秦九韶首先发现了这一公式，所以应叫秦九韶公式okp公或四；S =(R为三用形外検圆半径)4R公込拘三角形内切圆半径) a +cos2a =1, sina = /l-cos2 C 及余弦定理 cos C=2abS = absmC= ab Jl - cos? C = ab J(1 十 cos C)(l - cos C)2 2 2i ->/4a2b2 (1 + cosC)(l - cosC)=扌 (2ab+ 2ab cosC)(2ab - 2ah cos C)-7(a2 +b2 -c2 + 2ab)(a2 + b2 + c2 + 2ab) 4公武六：“ CnBsmCGMsHiC=CrxAsmB
4、2sm(B + C) 2 sin(A + C) 2 sin(A + B)以上是我们常见的求三角形面积的天种公式运用这些公式、公式的推导方法及有关数学知识,可逬一歩得到其它形式的三角形而积公式.公式七？ S = lc2sinBco± + 丄b'siiicosC2 2证明；如图所示，作AABC的辺BC上高AD=hCD为y, A、B、C分别对应的辺为弘b、c,则 S _ablSabd+S acd=丄xh+ yh.*.'x=ccosB h=c sinB» b cosC y=b cosC2 2$ abL 11 2 1 2xh+ _yh=- c sinBcosB +_b
5、 smcosC22 2由正弦的2倍角公式得公切$呻宀佃心做）公式九：S =2R%inAsinBsinC证明；由二=_卫_ =2R .*.a=2R anA b=2RsnB sin A sin B代入S冷祸C中七S观皿sinBsmeI0艸 + " S “Rrri nA才 inB才 i nc) ph 曰s: . LlnLr H_L_H2R:%!< sinA bH2RsmB Y2RSMCSS-A sinB §Qs H一Aa十 b 十 CIILA2RsinA 十 2RslnB+2RslncYRHSinA+slnB + sin.c)UEsffi-A-hs HRr-G?inA+s-
6、nB十 sine) A+B AIB 、A+B A十 BHR 二win (+)+ S1D(11 丨、 7 J JvsiA酉。A«二MR二號 n cos 十 2sinA" B A B A B C30COSI cos H4RPC0SI cos cos 2 2 2 2 2 2丘奠甜冷倉囲3幣雷再“番®3宀耳 "斗+n” W (4bi°°n)rrgc(CH90)4Bs- .abwbcospgc-tanccosqcKgu。)s H+ MsiIlcM+x2&coscuncH + (H?&tanc(CHs。) 甬：1117CHgo3
7、tanclmCHs。341血茹乓疔艸A 1t>+ll" S H p(p a)£n PHI 介十 b+exJ'(2bc COSA+2bc)sin A1 十 cos A-畑e =尹网評心)冃=畑)我们还可用魏童积和向重坐标给出三角形的面积公式在AaBC中，设CA = a. CB=b»且2，彳的夹角为J贝 ij S =i|CA|CB|an0=丄 | a| |B| Jl-cos? 6=丄 |a | |b | J1-(户f222 斗 |a|<|b|=| J(|a|.|b|) Jlb2-引bi)2 气时2妙 11 公式十五:S =牡巾2包切l-(-)2 = lj(|a|-|b|)2-(a.b)22 V|a|b|2公式十四；s = +加币-6界设a=<an矽，b=(bi，S代入上公式可得