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1、数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10) 5.求2的近似值x*，使其相对误差不超过 0.1%。解：.2 =1.4 。设X有n位有效数字，则|e(x)|乞0.5 10 10。*、，0.5 101从而，| er (x ) <1故，若0.5 101乞0.1%，则满足要求。解之得，n丄4。 x =1.414。(P10)7.正方形的边长约100cm，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过 1 cm2。解：设边长为a，则a 100 cm。设测量边长时的绝对误差为e，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计：、2 100 e。按测量要求，|2 100 e|_
2、1解得，|eF0.5 10。Chapter 2(P47)5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：11-1、A= 210。<1-10,解：设A。分别求如下线性方程组:n0 ''0 'A。=0 ，aP =1，AY =04©先求A的LU分解(利用分解的紧凑格式)"(1)1(1)1(2)2(1) -1(0)2.(1)1(-1)2(0)-3Ly = 1 和 U0 =y，得，03132Ly = 0 和 U = 丫，得，；丫1323101313所以，A，=012 。3321-133丿广121-3)/ 、 花1'250-51X2210141X316<
3、_3_5115丿3<8>解：平方根法：(P47) 6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:先求系数矩阵 A的Cholesky分解(利用分解的紧凑格式)100111'即，L =210，U =0-12 。2h1°0一3经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,1、广0、Ly =0和 U° = y，得，a =0 ；厂1(1)15000、(2)2(5)1，即，L =2100(1)1(0)-2(14)31-23l(_3)-3(巧)1(1)2(15)1<_312b经平方根法的回代程，分别求解方程组其中，A = L Lt 。十2T一1和 L x = y，得，
4、x =161<8>Ly =o改进平方根法:先求系数矩阵A的形如A = L DLT的分解，其中L = (lj)4 4为单位下三角矩阵，D =diagd1,d2,d3,d4为对角矩阵。利用计算公式，得di =1 ；上21=221 二 2d = 1；t31=1怎=-231 =132 = 一2, d3 = 9；t41和彳占1。分别求解方程组,1、r2和 DLTx = y，得，x =1161<8>Ly 二O一 禺 +0.99x2 =1(P48) 12.已知万程组丿的解为 捲=100,x2 = 100。099x1 +0.98x2 =1(1) 计算系数矩阵的条件数；(2) 取 X1
5、=(1,0)t,X2 =(100.5,-99.5)t，分别计算残量 n 二 b - Ax： (i = 1,2)。本题的计算结果说明了什么?'10.99'98009900 “A =0.99 0.98j，求得，A =<9900-10000；O解：(1 )设从而，Co nd(Ah =39601。(2)计算得,A =(0,0.01)T , hh =0.01；2 =(-0.995,-0.985)t , | 讣=1.98。 这说明，系数矩阵的条件数很大时，残量的大小不能反映近似解精度的高低。Chapter 3(P72) 3.用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代求解方程组|
6、 xi * 2x2- 2x3= 1%x2 X3 = 1I2x2x2x3 = 1取初值x(0) =(0,0,0)T，迭代4次，并比较它们的计算结果。解：由方程组得，Xj = -2x2 2x3 1x2 - - Xj - x3 1X3 - -2X1 - 2x? 1从而，Jacobi迭代格式为：严=_2x2k) +2x3k) +1x2k1) =_X1(k) - x3k) - 1，k =0,1,2,.x3k1) =2X1(k) 2x2k) 1Gauss-Seidel迭代格式为：X(宀=_2x2k) +2x3k) +1 x2k1-x；k1x3k) 1，k = 0,1,2,-.x3k-2X1(k2x2k d
7、) 1整理得，X(宀=_2x2k) +2x3k) +1 x2k 12x2k) - 3x3k)，k =0,1,2,.x3k12x3k) -1Jacobi 迭代：x(0) =(0,0,0)T > x=(1,1,1)T > x(2) =(1,-1,-3)丁 > x(3) =(-3,3,1)t > x=(-3,3,1)TGauss-Seidel 迭代：x(0) =(0,0,0)T > x=(1,0,-1)T > x=(-1,3,-3)丁 > x=(-11,15,-7)丁 > x=(-43,51,-15)丁Jacobi迭代中x(3)已经是方程组的精确解，而
8、从Gauss-Seidel迭代的计算结果，可以预见它是发散的。(P73) 9.设有方程组x1 ax2 ax3 二 b4a% +x2 =b2 a/ +x3 =b3（1）分别写出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式，（2）用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的a的取值范围。解：由方程组得，捲二-ax2 -ax3 b|X2 - -4ax1 b2Xq - - a b3从而，Jacobi迭代格式为:(k 1)(k)(k)x1- ax2- ax3bx2x3k 1)xjkH1) =-4ax1(kb2， k =0,1,2,.-_ax；k) - b35迭代矩阵为：B -4ax1k
9、1)x2k 1) x(k °3迭代矩阵为：G =_ a4a22a-a4a22a设 | 11 - B |= 0 ,求得，= 0, 2=5|a|, '3 = - 5|a|，故(B) =、. 5 | a |。另由Jacobi迭代格式，得 Gauss-Seidel迭代格式为：-_ax)k) _axQk) - b=4a2x2k)4a2xQk) - 4a0b2， k = 0,1,2/ .a2x)k) - a2xQk)_ ab|b3设 | I - G | = 0 ,求得，r = 0,，2 = 0, ' 3 = 5a2，故(G) = 5a2。另外，应保证方程组的系数矩阵非奇异，解得,
10、a。由迭代收敛的充要条件得,5Jacobi 迭代收敛=| a |5 ； Gauss-Seidel 迭代收敛=| a |5 。555 故，使得两种迭代法都收敛的a的取值范围是相同的：|a H 。1 a a(P74) 12.证明对称矩阵 A= a<a11 a当一ca <1时为正定矩阵，且只有当2a 1丿1|ak-时,Jacobi迭代解Ax = b才收敛。解：A为正定当且仅当以下三个不等式同时成立:11>0,aa>0, a 1 11解之得， :a ： 1。此时解方程组的Gauss-Seidel迭代收敛。2另外，可得解方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为0-a -aB =
11、a 0 aa a0解得，r(B) =2 |a |。由收敛的充要条件,1Jacobi迭代收敛当且仅当|a|：2Chapter 5(P140) 7.设X0,X1,，Xn为n1个互异节点，lj(x)(j =0,1,n)为这组节点上的n次Lagrange 插值基函数，试证:n ' xkl j(x) = xk,k = 0,1/ n ； j =0n(2) ' 区x)klj(x)二 0,k =0,1；n。j £证：(1)对于固定的nk 1,2/ ,n，设P(x)八 x：lj(x)，则P(x)为次数不超过n的多j=0项式，且P(x) =Xik, i =0,1, ,n而对于多项式函数xk当然也满足如上的等式条件以及次数二n ,由Lagrange插值问题的适定性，P(x) =xk。(2)对于固定的k 1,2/ ,n，nnk' (Xj x)k| j(x) lj (xp Ck1)kxjxkj £j =0i =0knik 弘 k -i i=“ Ck(T) xXjlj(x)i =0j =0k=7 C： (-1)= (x-x)k 三 0 ,证完。i卫