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1、第十四章模糊数学分析方法本章学习要点在教育技术研兗中具有许多不确定因素,通常是指随机性和模糊性，其中模糊性 在现为恳观事杨在类属、性态方面定义的不精确和不朗晰，它与精确性相对。要擋述 对象的模糊性特征，就需要运用模糊数学，通过模糊数学分析，卖现由模糊向精确的 转化。本章中介绍了模糊数学分析的基未概念；具体论述了建.模糊数学分析中隶属函 数的确定以及模糊关糸与模糊矩阵的确定；详细说明了栈糊综合评判方出和模糊聚类 分析方法。通过本章的学习，应了解模糊数学分析的基本概念，朗确隶属函数的分布统计求 法、对此平均求法和模糊统计法，拿握模糊关糸矩阵的运算、模糊关糸的合成以及模 糊关糸合成图解出的使用，能够
2、熟练的运用模糊综合评判方法和栈糊聚类分析方出分 析解决教育技术研黑中的具体问题。本章内容结构E数学分基概念教育技术研究中的不确定性V 普通集合及其特征函数L模糊集合及其隶属函数模糊关系与模糊矩阵隶属函数的确定r隶属函数的分布统计求法4 对比平均法求隶属函数L模糊统计法求隶属函灵敏c模糊关系模糊矩阵彳模糊关系矩阵的运算模糊关系的合成I模糊关系合成图解法模糊综合 评判方法模糊变换4 模糊综合评判的原理L模糊综合评判应用实例-网络课程评价模糊聚类分析方法模糊聚类分析基木原理4 模糊等价矩阵聚类法I最大树法第一节模糊数学分析的基本概念在H然科学或社会科学研究中，存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的
3、概念。这里 所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、 某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候 对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是木来就属于模糊的概 念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么屈于，要么不属于，二者必居其一， 且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种 努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国H动控制专 家查德(LA. Z
4、adeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学 在农业中主耍用病虫测报、种植区划、品种选育等方而，在图像识别、天气预报、地质地震、 交通运输、医疗诊断、信息控制、人匸智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋 势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。一、教育技术研究中的不确定性(一)教育技术研究中具有许多不确定性因索，这些不确定性因索来源主要有如下 几个方面：1、研究对象活动出现条件的不确定性，具有概率的特征。2、研究对象类属的边界具有不清晰和性态不确定的特征。3、研究对象信息显示的不充分及其无序性所导致的
5、不清晰特征。4、研究中使用的某些概念、命题在语言语义上的多义与歧义导致的不确定性。5、某些数学运算、逻辑推理误差所导致的不确定性。6、描述对象的内涵和外延与对象称谓之间的不贴切，词不达意所导致的不确定。（二）各种不确定因素可分为两类:1、随机性。特征：关于对象在类属和性态方面的定义是完全确定的，但对象出 现的条件方面是概率的、不确定的。和必然性相对。2、模糊性。特征：表征对象在认识中的分辨界限是不确定的，即对象在类属、 性态方面的定义是不精确的、不明晰的。和精确性相对。客观事物以事物出现的条件为依据确定性必然性数理统计以事物性态、类属边界为判据不确定性随机性与模糊性的关系二、普通集合及其特征函
6、数1集合的基本概念一论域，被讨论对象的全体叫做论域，对称全域，通常用大写字母u、E、X、Y等 来表示。一 元素，组成某一集合的单个对象就称为该集合的一个元素，通常用小写字母表 /Ji O子集，由同一集合中的部分元素组成一个新集合，称为原集合的一个子集，通 常用大写字母表示。集合的表示方法，把集合中的全部元素列出，并用括事情把它们括起来表示集 合的全域。2、集合的基本运算并集、交集、差集、补集。三、模糊集合及其隶属函数1、模糊集合：无明确边界的集合。2、模糊集合的特点：把原來普通集合对类属、性态的非此即彼的绝对属于 或不属于的判定，转化为对类属、性态做从0互1不同程度的相对判定。3、隶属函数：为
7、了将普通集合与模糊集合加以区别，把模糊集合的特征函 数称为隶属函数。第二节隶属函数的确定一、隶属函数的分布统计求法利用统计试验计算隶属函数或隶属度的步骤:1、确定集合的因素2、选择部分学生进行试验3找出各因素数据中的最大值和最小值算出分组组距、计算数据落在各 组中的数，根据次数分布情况确定较为适合的隶属度。二、对比平均法求隶属函数设论域U=x. x2, X3,，xn论域中各因素之间按照某一种性为标准，以每两个因素为一组，判定它们各自们归 属这一标准的程度，并用符号g（x“Xj）表示2,n）。三、模糊统计法求隶属函数模糊统计法的步骤：（1）确定论域与因素集。（2）要求参与实验者就论域中各给出的点
8、是否属于因素集的各元素进行投票。（3）统计投票结果，求出隶属函数。例144设论域U年龄=20, 35, 50, 65,因素A=年青人，老年人20 个人参与投票，结果如表14.7所示：表14.7投票结果表UeA的次数20355065年表人201620老年人oM01819则有to对“年青人”这一概念的隶属度：20=20/20 = 1七0对“老年人”这一概念的隶属度：口20 = 0/20 = 0所以，m20=1, 0o同理可求出年龄论域中各点对于因素集的隶属度 口35=。8，0卩50=°1，0.9 口65=°，0.95第三节模糊关系与模糊矩阵一、模糊关系2、关系，描写事物之间联系
9、的数学模型之一就是关系，常用符号“X”来表 /J5* O2、模糊关系，是普遍关系的推广，普通关系只能描述元素间关系的有无， 而模糊关系则描述元素之间关系的多少。例14-6在医学上常用公式：体重B （公斤）=身高A （厘米）一100来表示 标准体重，这就给出了身高（A）与体重（B）的普通关系。若人=140, 150, 160, 170, 180B=40, 50, 60, 70, 80身高与体重的普通关系如表14.8所示：表14.8身高与体重的普通关系40506070801401000015001000160001001700001018000001但人的胖瘦不同，对于非标准的情况，身高与体重的关
10、系应该以接近标准的程 度来描述，这就导致产生如表14.9所示的模糊关系。它能更深刻、更完整地给 出身高与体重的对应关系。表14.9身高与体重的模糊关系陛B）昶405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600010.80.2170000.810.818000.10.20.81例丄47设有一组同学（徐X,张X,王X）,他们选修英，口，俄，法四种外语中的任几门，他们选修和结业成绩如F：徐X英语85徐X日语70徐X俄语75张X英语90王X英语70王X法语80用A表示学生集合：A=徐X,张X,王X,用B表示语种集合：B=英，日，俄，法。若用成绩除以100折合成隶属
11、度来描述掌握外语的程度，则由如表14.10H以构 造出一个在AXB直积空间中存在的模糊关系园，用它来表示小组成员“掌握外 语程度”的模糊关系。"表14.10掌握外语的程度英语俄语日语法语徐X0.850.750.700张X0.90000王X0.70000.8二、模糊矩阵1、矩阵矩阵可以用来表现关系，如果集合A有m个元素，集合B有n个元素、我 们可以用矩阵R来表示由集合A到集合B的关系其中产0或 1, l<i<m, l<j<n。2、模糊矩阵当论域AxB为有限集时，模糊关系可以用矩阵形式 来表示，该矩阵元素心仅在闭区间0, 1中取值，即0 <1,此矩阵称为模糊
12、矩阵。几1=2112222“m2mn丿其中0<<1, l<i<m, l<j<n。模糊矩阵是研究模糊关系的重要工具，当它用来表示模糊关系时，其中 q表示集合A中第i个元素和集合B中第个j元素之间的关联程度，例147中小组 成员外语成员与外语学科的关联程度可以用如下矩阵形式表示它们之间的模糊 关系。 0.850.700.700=0.900000.70000.80三、模糊关系矩阵的运算 设図和厨是AX B中模糊关系。（i） 和的并。=(rijVSjj)(2) 和的补。的交。R=(l 州)s=(i-Sij)其中，“/V表示ij与Sij相比较后取较小者“ V ”表示环
13、与Sjj相比较后取较大者五、模糊关系合成图解法图解法计算模糊关系的合成的步骤：1、画出关系合成图2、在图中找出咅到Zj的各种可能途径；3、在同一路径中相比较取隶属度最小者作为该路径 的隶属度；4、把路径所取得隶属度中最大者作为的元素值；5、画出模糊关系合成矩阵。第四节模糊综合评判方法 一、模糊变换1、模糊向量 对于一个有限模糊集合X可以表为：= x-xnXj是各元蔚目应的隶雇度關(xj,其+0<Xj<l(i = l, 2, n)对于只有一行的模糊矩阵又可以 看成模糊向量，女恥= xx2, X3,，xj是一个模糊向量2、模糊变换 现有一个模糊矩阵：=ij，其 + 0<<1
14、, x=丫称为模糊变换。模糊变换的结果为:= 1，丫2，Ym?式中的各分量:丫尸(xkArkj)(k=lz2z.zm)例 14-10给岀 £ = (02 0.5,0.3)I f 0.20.70.10=00.40.50.11 0.20.20.40.19模糊变换:=(0.2, 0.5, 0.3) X0.200.20.70.40.3o.io0.50.10.40.1=(0.2, 0.4, 0.5, 0.1)式中各分量的计算如下：Y 1=(0.2A0.2)V(0.5A0)V(0.3A0.2)= 0.2V0V0.2= 0.2y2=(0.2A0.7)V(0.5A0.4)V(0.3A0.3)= 0.
15、2V0.4V0.3= 0.4y3=(0.2A0.1)V(0.5A0.5)V(0.3A0.4)= 0.1V0.5V0.3= 0.5y4=(0.2A0)V(0.5A0.1)V(0.3A0.1)= 0V0.1V0.1=0.13、归一化处理由于中各元素之和，即 =1,为了保证处理后*1,需要进行归一化处理，其方法是取Y=,故有：¥>0.2/1.2=0.167¥>0.4/1.2=0.333 丫 =05/1.2=0417¥>0.1/1.2=0.083经归一化后的模糊变换结果为: (0.167, 0.333, 0.417, 0.083)、模糊综合评判的原理（1
16、）确定评价指标集合论域U：u=ut, u2, um （m为指标项目数）（2）确定评语集合论域V=vt, v2, vn （n为评语等级数） 确定权重分配模糊向量:(4)Qa2, am （m为指标项目数）进行实际评判，形成评判模糊矩阵R：怙、2“kJ ml 1 m2 - 1 mn 丿（5）进行模糊变换：= X ，其中 =bi，b2, .» bm（6）得到归一化后的模糊变换结果：'=%, b2, bm（7）根据最大隶属度法，对 ，做出评价判断。三、模糊综合评判应用实例网络课程评价例14-11我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判， 设包括三个因素，即硬件建设，软件建设、人员培
17、训，用论域U 表示为：U = 硬件建设(U),软件建设(u2),人员培训(匕) 而评语论域V表示为：v=很好(V),较好(v2),可以(v3),不好(v4) 亦即分为四个等级，并用百分比或小数表示。现邀请一些专门 人员进行评价，若用人数的百分比来表示评价结果如表14.13所 示；表14：L3评价结果指标很好较好"J'以不好硕件指标50%40%10%0软件指标40%30%20%10%人员指标0%10%30%60%表14.13就构成模糊矩0.70.10.40.50)20.40.200.10.1J现在假定根据实际需要，在对校园网络一期建设做出要求时，主要是硬件建设(0,5),其次是
18、人员培训(0.3),对软件建设要求稍低(0.2)。这就构成一个由三个权数分配构成的一行模糊向量星；(0.5,x现要做出综合评判，必须进行模糊变换0.50.2, 0.3)0.4I 00.3)= (0.5, 0.4, 0.3,为了明确地显示综合评判的结果,0.40.100.30.20.10.10.30.6还需做归一化处理。归一化后的模糊变换结果为:=(0.33, 0.27, 0.20, 0.20)此结果表示，对该学校的校园网一期建设情况而言，将硬件建设、软件建设、 人员培训同时考虑的结果，根据最大隶属度法，该校园网建设仍然是“很好”占 最大比重(0.33)第五节 模糊聚类分析方法聚类分析是指根据事
19、物本身的特性，将事物性质上的亲疏程度进行分类的 方法。一、模糊聚类分析基本原理（-）聚类分析步骤如下：1确定样本统计指标与数据标准化2、标定距离，建立相似关系矩阵3. 进行聚类（二）模糊等价矩阵聚类1、模糊等价关系通过标定距离，可以建立样本之间的相似关系矩阵，但模糊关系 必须是模糊等价关系才能聚类。模糊等价关系的条件是模糊关系必须同时具 有：（1）自反性 （2）对称性 （3）传递性2、模糊等价矩阵聚类的步骤：（1）标定距离，建立相似关系矩阵。（2）求传递闭仓。（3）动态聚类(4) 画出动态聚类图三、最大树方法1、最大树方法的画法最大树方法，就是构造一个特殊的图，它有N个顶点，条边，顶点之 间通过边连通，但不包任何回路。具体画法，先画出顶点集中的某一个i,然后按用从大到小的顺序依次连 接成边，并要求不产生回路，直到所有顶点都被连通为止，这样就得到一棵 最大树。