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1、高中数学精品同步习题课时训练17二元一次不等式(组)与平面区域一、二元一次不等式(组)表示的平面区域1.点A(-2,b)不在平面区域2x-3y+50内,则b的取值范围是()A.b>13B.b>-9C.b<1D.b13答案:A解析:由已知,2×(-2)-3b+5<0,3b>1,b>13.2.表示图中阴影部分的二元一次不等式组是()A.2x-y+20,x-10,y2B.2x-y+20,x-10,0y2C.2x-y+20,x-10,0y2D.2x-y+20,x-10,0y2答案:C解析:取点(0,0)检验即可,或直接依据图象写出不等式组.3.不等式组(x
2、-y+5)(x+y)0,0x3表示的平面区域是()A.矩形B.三角形C.直角梯形D.等腰梯形答案:D解析:作出平面区域如图,所以平面区域为等腰梯形.4.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,则b的取值范围是. 答案:12,32解析:点P(1,-2)关于原点的对称点为点P'(-1,2).由题意知2×1-2b+1>0,-2+2b+1>0,解得12<b<32.5.画出不等式x|y|2x表示的平面区域.解:由x2x,得x0,当y>0时,有x-y0,2x-y0,点(x,y)在一角形区域内(含边
3、界);当y0时,由对称性得出,点(x,y)也在一角形区域内(含边界),综上,x|y|2x表示的平面区域如图阴影部分.二、不等式组表示的平面区域的面积6.若不等式组x0,x+3y4,3x+y4所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分,则k的值是()A.73B.37C.43D.34答案:A解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分ABC所示.由x+3y=4,3x+y=4得A(1,1),又B(0,4),C0,43,SABC=12×4-43×1=43.设y=kx+43与3x+y=4的交点为D,则由SBCD=12SABC=23知xD=12,yD=52.52=k
4、5;12+43,解得k=73.7.不等式组(x-y+1)(x+y-1)0,-2x0表示的平面区域的面积是()A.2B.4C.6D.8答案:B解析:不等式组(x-y+1)(x+y-1)0,-2x0等价于x+y-10,x-y+10,-2x0(1)或x+y-10,x-y+10,-2x0.(2)分别作出以上两个不等式组表示的区域,可以发现不等式组(1)表示一个点A,不等式组(2)表示的平面区域如图阴影部分所示,从而它们的并集为不等式组(2)表示的区域,其中点A(0,1),B(-2,3),C(-2,-1),于是其面积为S=12×2×|3-(-1)|=4.8.在平面直角坐标系中,不等式
5、组x+y-20,x-y+20,y0表示的平面区域的面积是. 答案:4解析:不等式组表示的平面区域是三角形,如图所示,则该三角形的面积是12×4×2=4.三、用二元一次不等式组表示实际问题9.某公司从银行贷款不足250万元,分配给下属甲、乙两个工厂用以进行技术改造.已知甲厂可以从投入的金额中获取20%的利润,乙厂可以从投入的金额中获取25%的利润,如果该公司计划从这笔贷款中至少获利60万元,请列出甲、乙两个工厂分配到的贷款金额所满足的数学关系式,并画出相应的平面区域.解:设甲、乙两个工厂分配到的贷款金额分别为x,y(单位:万元),根据题意,可得x0,y0,x+y&l
6、t;250,x·20%+y·25%60,不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.(建议用时:30分钟)1.下面四个点中,在平面区域y<x+4,y>-x内的点是()A.(0,0)B.(0,2)C.(-3,2)D.(-2,0)答案:B解析:可以验证仅有点(0,2)的坐标是不等式组的解,则点(0,2)在该不等式组表示的平面区域内.2.已知点(a,2a-1),既在直线y=3x-6的上方,又在y轴的右侧,则a的取值范围是()A.(2,+)B.(5,+)C.(0,2)D.(0,5)答案:D解析:(a,2a-1)在直线y=3x-6的上方,3a-6-(2a-1)<0.
7、即a<5.又(a,2a-1)在y轴右侧,a>0.0<a<5.3.由直线y=x,y=-x及x=1围成一个三角形区域,则表示该区域的不等式组是()A.x-y0,x+y0,0x1B.x-y0,x+y0,0x1C.x-y0,x+y0,0x1D.x-y0,x+y0,0x1答案:A解析:由已知三条直线围成的三角形区域如图中阴影部分所示,从而代入12,0点检验知A正确.4.能正确表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)0的点所在的区域的是()答案:A解析:点(0,0)在(x-y)(x+2y-2)0表示的平面区域内,可排除C,D.又点(-5,0)也在(x-y)(x+2y-2)0表示的平
8、面区域内,排除B.5.直线y=kx+1将不等式组x-y+20,x-20,x+y0表示的平面区域分为面积相等的两部分,则实数k的值为()A.1B.-1C.0D.-2答案:C解析:不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,ABC是等腰直角三角形,且BCx轴,点A(-1,1).直线y=kx+1经过点(0,1),要使直线将ABC等分,则k=0.6.如果点(5,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为. 答案:4解析:由已知得6×5-8b+1<0,3×5-4b+5>0,解得318<b<5,又bZ,b=4.7.不等式
9、组x1,x+y-n0,kx-y0表示面积为1的直角三角形区域,则n=. 答案:4解析:由已知图形为直角三角形,k=1.从而区域如图所示,则点A(1,1),C(1,n-1),Bn2,n2,SABC=12(n-2)×n2-1=1,n=4或n=0(舍去).8.已知D是由不等式组x-2y0,x+3y0所确定的平面区域,则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为. 答案:2解析:作出区域D及圆x2+y2=4,如图所示,图中阴影部分所在圆心角=+所对弧长即为所求,易知图中两直线的斜率分别为12,-13,即tan =12,tan =13,tan =tan(+)=12+131-12&#
10、215;13=1,故=4,从而弧长l=·R=4×2=2.9.ABC中,顶点A(3,-1),B(-1,1),C(1,3).写出ABC区域所表示的二元一次不等式组.解:如图:AB,BC,CA三边所在直线的方程分别为x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0,由区域可得不等式组为x+2y-10,x-y+20,2x+y-50.10.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于P,Q两点,且P,Q关于直线x+y=0对称,则不等式组kx-y+10,kx-my0,y0表示的平面区域的面积是多少?解:P,Q关于直线x+y=0对称,故PQ与直线x+y=0垂直,直线PQ即是直线y=kx+1,故k=1.又线段PQ为圆x2+y2+kx+my-4=0的一条弦,故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上,即在直线x+y=0上,又圆心在-k2,-m2上,m=-k=-1,不等式组为x-y+10,x+y0,y0,它表示的平面区域如图所示,故面积为14.