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1、有关抛物线焦点弦问题的探讨复旦大学附属中学张建国培养学生探究问题的能力是现在课改的目标之一，那么在实际教学中该如何培养学生探究问题的能力？学生的探究性学习过程是学生自主分析、研究、探索、发现的思维过程，它与人类认识世界的过程非常相似，都要经历探索、 实践、猜想、 发现、失败、再探索再实践，不断总结教训经多次努力，最终从失败走向成功的过程。研究性教学要展现学生的思维过程，应重点展示学生发生的错误，教师恰当分析引导，克服障碍、困难，由失败走向成功。本文以抛物线的焦点弦为例，谈谈探究性课程的设计，请各位同行指正。一、问题的引入抛物线的对称轴上有一个特殊的点焦点，因而过其焦点的焦点弦也是一个比较特殊的
2、弦，那么焦点弦到底有什么性质呢？二、问题的探究过抛物线y 22 px(p0)的焦点F 作一条直线l和此抛物线相交于A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 两点，引导学生思考我们可以探究那些问题，学生的回答可能不大一样，但是作为课堂教学， 教师要引导学生从同一个问题开始逐步探讨，开始探讨的问题应该是最基本也是最容易探讨的问题，那就是弦长问题。探究 1弦长 |AB|A1yA这是个很基本的问题，学生完全能够自己探究出来。（方法一）设直线 l 的方程为： xpcot（为 lmy，其中 m2oFx的倾斜角），代入到 y 22 px 中，得到 y 22 pmyp 20 ，则B1By1 y2
3、2 pm ， y1 y2p 2 。（图 1）所以弦长 |AB|= 1m2y1y21m2( y1 y2 ) 24 y1 y22 p；A 和 B 作准线 l 的垂线，垂足分别是sin 2（方法二）分别过点A 1和 B1，如图1，则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB 1|= x1px2px2p ；2x12所以，我们就得到了结论 1直线 l 过抛物线 y 22px ( p0)的焦点 F ，且与抛物线相交于点A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ，则（ 1）弦长 |AB|= x1x2p ；（2）弦长 |AB|=2p（为l 的倾斜角）；（ 3）sin 2y1 y2p2p
4、2， x1 x2。4接下来， 引导学生继续探究。 如果把上面的结论看作是原命题的话，不妨可以探究一下其它形式的命题。 由于原命题和逆否命题、逆命题和否命题分别是等价命题，所以只考虑原命题和逆命题两种形式。由于结论1 有包含了三种情况，所以结论1 的逆命题分别是：（一）直 线 l 与 抛 物 线 y 22 px( p0) 相交于点A ( x1, y1 )、 B (x2 , y2 )， 且|AB|= xx2p ，则直线 l 经过抛物线y22 px( p 0) 的焦点F（AB是焦点1弦）。（二）直线 l 与抛物线 y 22 px( p 0)相交于点 A ( x1 , y1 ) 、B (x2 , y2
5、 ) ，且 |AB|=2p ，sin2（ 为 l 的倾斜角）则直线 l经过抛物线 y22 px( p 0) 的焦点 （AB 是焦点弦）。F（三）直线 l与抛物线 y 22 px( p 0)相交于点 A ( x1 , y1 ) 、B (x2 , y2 ) ，且 y1 y2p2 ，x1x2p 2，则直线 l 经过抛物线 y 22 px( p0) 的焦点 F （ AB 是焦点弦）。4探究命题最基本的就是判断它的真假，如果认为它是真命题， 就要给出严格的证明， 如果认为是假命题，要举出反例。对于逆命题（一） ，由于举不出反例，因此猜想它是正确的。证明如下：根据抛物线的定义，|AF|= x1p， |BF
6、|= x2p，所以 |AF|+|BF|= x1 x2p ，因此，22|AB|=|AF|+|BF| ，所以 A,B,F 三点共线，即AB 是焦点弦。所以逆命题（一）是真命题。对于逆命题（二） ，由于举不出反例，因此猜想它是正确的。证明如下：设直线 l 的方程是 xmy b ，其中m cot ，代入到y22 px 中得到：y22 pmy 2 pb0 ，则 y1y22pm ， y1 y22 pb ，所以 |AB|=1m2y1 y214 p 2 m28 pb ，所以14 p 2 m28 pb2 p ，化简得到bp ，所以sinsinsin 22AB 是焦点弦。因此逆命题（二）是真命题。对于逆命题（三）
7、 ，由于举不出反例，因此猜想它是正确的。证明如下：设直线 l 的方程是 xmy b ，其中 m cot ，代入到 y22 px 中得到：y22 pmy 2 pb0 ，则 y1 y22 pb ，所以2 pbp 2 ，则 bp ，所以 AB 是焦2点弦。因此逆命题（三）是真命题。p 2在证明逆命题（三）的过程中，条件x1 x2没有用到，所以可以省略，引导学生条4件 y1 y2p 2 与 x1 x2p 2之间的关系，可以得到它们不是等价关系，进一步探究可以得4到条件 y1 y2p2 是不能省略的，若只有条件 x1 x2p 2，可以很容易举出反例说明结论4不成立，反例如下：做出点A ( x1 , y1
8、 ) 关于 x 轴对称的点A ( x1 ， y1 ），则 A ( x1 ， y1 ）仍在抛物线 y 22 px( p0) 上，且满足 x1 x2p2，但显然直线 A B 不过焦点 F 。4总结上面的结论得到：结论 1直线 l与抛物线 y22 px( p0) 相交于点 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，则弦 AB 是焦点弦的充要条件是 |AB|= x1x2p 或|AB|=2 p或y1 y2p2 ， x1 x2p 2。sin 24探究 1 中实际上用到了直角梯形AA 1BB 1 的上、下底边长与腰长这些基本元素，直角梯形还有什么基本元素呢？可以让学生回答。如果又给出了梯
9、形的中位线MM 1（图 2），那么还可以探究什么呢？可以先让学生试试看。如果抓住了中位线的几何性质，探究的问题其实就迎刃而解了。由于 |MM| AA1|BB1|AF |BF | AB |，即中位线的长是1|=222A1yA弦长的一半，所以以弦AB 为直径的圆与准线 l相切，M 1M所以，接下来的探究是oFx探究 2 以 AB 为直径的圆与准线 l的位置关系B1B根据前面的分析，可以很快得到：结论2 直线 l 过抛物线 y22px ( p0) 的焦点 F ，且与抛物线相交于点（图 2）A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ， 则以 AB 为直径的圆与准线l 相切。接着考虑结论
10、 2的逆命题：直线l 与抛物线 y 22 px( p0) 相交于点A (x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ， M 是弦 AB的中点，若以AB 为直径的圆与准线l 相切，则弦AB过抛物线y22 px( p0) 的焦点 F （ AB 是焦点弦） 。还是引导学生判断上面命题的真假，由于没有举出反例， 所以先猜想它是正确的，证明如下：取弦 AB 的中点 M ，分别过点A,B,M 作准线 l 的垂线，垂足分别为A 1,B1,M 1，则以AB 为直径的圆的半径 R|AB|AA1| |BB1| |AF | |BF |2|MM1|22， 所 以|AB| |AF| BF | ，则 A,B,F 三
11、点共线，即AB 是焦点弦。所以该逆命题是真命题，因此得到下面的结论：结论 2直线 l与抛物线 y22 px( p0) 相交于点 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，则弦 AB 是焦点弦的充要条件是以弦AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切。探究 3 记准线 l 与 x 轴的交点为 P （图 3），探究APF 与BPF 的大小关系学生很容易从直观上猜想二者相等，但必须给出证明，证明如下：证明：设直线 l 的方程为：xmyp，其中 mcot（为 l 的倾斜角），2代入到 y 22 px 中，得到 y 22 pmyp 20 ，则A1yAy1y22 pm ， y1 y2p 2
12、 。PoFx由于 tanAPFkAPy1y12py1B1Bpy12py12p2x1（图 3）22 p22 pp 2y2y22 py2y12 py1tanBPFkBPp2222222x2y2py2ppp2y1p22 p2y1所以 tanAPFtanBPF ，因此APF =BPF ，所以猜想成立，于是有下面的结论：结论3 直线 l 过抛物线 y 22px ( p0) 的焦点 F ，且与抛物线相交于点A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ，记准线 l 与 x 轴的交点为 P ，则APF =BPF 。它的逆命题是：直线l与抛物线 y 22 px( p0) 相交于点 A (x1 ,
13、y1 ) 、B (x2 , y2 ) ，记准线l 与 x 轴的交点为 P ，若APF =BPF ，则弦 AB过抛物线 y 22 px( p0) 的焦点 F（AB 是焦点弦）。引导学生判断上述逆命题的真假，聪明的学生可以很快举出了反例：当弦 AB x 轴时，总有APF =BPF ，所以弦 AB不一定是焦点弦，所以上述逆命题不成立。可能有的学生还没想到举反例，认为它还是正确的，这时教师应鼓励这些学生去推导，过程如下：设 直 线 l 的 方 程 是 x myb ， 其 中 m c o t， 代 入 到 y 22 px 中 得 到 ：y22 pmy2 pb0 ，则 y1y22pm ， y1 y22 pb ，因 为APF =BPF ，所 以 k APk BP0 ，即y1py20， 又 x1y12，x1p2 px222x2y22，所以y1y20 ，进一步得到22y22( y1y2 )0 ，py22py1 y2y1p2 py122 p22p2即 ( y1y2 )( y1 y2p2 )0 ，所以当 y1y20 时，有 y1 y2p 2 ，由前面的结论1知， AB是焦点弦；当y1y20 时，即弦 AB x 轴时， AB不一定是焦点弦。所以上述逆命题为假。