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1、一元二次方程根的分布教学设计大庆一中高中部 孙庆夺一、教学分析（一）教学内容分析本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节函数与方程之后的一个 专题内容，是中学数学的重要内容之一。这段内容与一元二次不等式，二次函 数等内容有着紧密的联系。它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不 等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分 体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。从而提升学生对数学知 识的应用能力。通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次 方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的 认识，同时也为以后数学的学习打下扎
2、实的基础。（二）教学对象分析高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有 知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识， 已经具有用数学知识解决实际问题的能力。学生抽象逻辑思维很大程度上还属 于经验型，需要感性经验的直接支持。通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能 够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领 域。（三）教学环境分析由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。采 用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲， 达不到教学的最佳效果。多媒体网络教学，是现代高中数学教学全
3、新的教育技术，使传统的教学方式得到补充。在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也 符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。（四）教学手段采用多媒体网络教学。普通高中数学课程标准指出：“现代信息技术的广 泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重 视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现 信息技术与课程内容的有机结合。”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒 体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息， 增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力
4、，也能实现数学课堂中学生的 高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。（五）教学方式自主式探究，学案式导学。自主探究，学案导学的教学方式，能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位，培养学生的数学应用意识、合作精神，这与 新课标的要求是吻合的。二、教学目标. 知识与能力加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重 新审视一元二次方程 . 过程与方法体验“观察 - 猜想- 验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般 的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。. 情感态度与价值观培养学生不断发现， 探索新知的精神。 体会数学严谨细致之美， 简洁朴实之美
5、激发学生积极思考、勇于探索，提高学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学 分析和解决问题的意识。三、教学重点，难点1重点 ：利用函数图象求解有关一元二次方程根的分布问题2难点 ：函数与方程，数形结合思想的渗透四、教法与教具选择：1教学方法 ：学案式导学、开放式探究、启发式引导、互动式讨论 .2教学手段： 运用几何画板、多媒体 .五、教学过程(一)、创设情景，导入新课：若 x2 mx m 3 0的两根都大于 21 ，求参数 m的取值范围0学生给出两种常见的解答方法，方法一： x1 x2 11x1x2 14问题 1：不等式组和方程两根都大于 12 等价吗 ？0方法二： m m2 4(3 m) 122问
6、题 2：不等式好解吗？【设计意图】 从学生最熟悉的二次方程根的问题出发，直达学生知识的薄 弱点。使学生认识到用初中所学的韦达定理解决前后不等价，而解不等式会出 现好想不好解的情况，激发学生研究该问题的兴趣。问题 3：那么，对于这样的问题如何求解呢？【设计意图】 激发兴趣，直接切入研究的课题。(板书课题：一元二次方 程根的分布)(二)、教师引导，发现规律： 从学生最熟悉的 0 分布着手： 求使方程 x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的实数 m的取值范围 .(1) 两个正根 ;0m2 4(3 m) 0学生给出如下答案： x1 x2 0 m 0 2 m 3x1 x2 03 m 0问题 1：这种
7、方法借助于初中所学习的韦达定理， 在前面的学习中我们学习 了函数与方程知识，此题是否还有其他解法呢？ 【设计意图】引导学生积极思考，提示学生能否用函数与方程知识解决根的分 布问题。问题 2：方程的根等价于函数的零点， 所以研究二次方程的根可以转化为研 究二次函数的零点。问题转化为 f(x)=x 2-mx-m+3 有两个正零点，如何保证二次 函数有两个正零点呢，决定二次函数图象的因素有哪些呢？【设计意图】引导学生用函数零点研究方程根的分布，考虑初中所学习的影响 二次函数图象的因素。开口方向，对称轴位置，判别式，与 y 轴交点0设 f(x)=x 2- mx- m+3 ， m 0 2 m 32 f
8、(0) 0问题 3：对于方程有两个负根的情况，以上的方法是否适用呢？设计意图】 引导学生用两种方法解决该问题，通过结果检验方法依旧成立0方法： x1 x2 0 m 6 ；方法二 : m 0 m 6x1 x2 0f2(0) 0问题 4：对于方程有一个正根，一个负根的情况，以上的方法是否适用呢？【设计意图】 引导学生用两种方法解决该问题，通过结果检验方法依旧成立 0方法一： m 3 ；方法二 : f (0) 0 m 3x1 x2 0问题 5：思考: 处理一元二次方程根的分布问题 , 通常要考虑哪些因素呢？ 【设计意图】 根据由特殊到一般的研究方式，引导学生总结用一元二次函数零 点研究一元二次方程根
9、的分布问题的要素。(1) 判别式; (要特别注意是否该带等号) (2) 对称轴与区间端点的位置关系(3) 区间端点函数值 f(m),f(n),f(k) 等的符号 . 注意：二次项系数是否为 0; 开口方向 ;问题 6：请大家合作探究完成以下问题，并把答案展示在黑板上？【设计意图】 运用以上因素 不同情况根的分布问题，同时与引入的问题遥相呼 应。0(4) 两个根都大于 1; m 1 2 m 132 2 2 61f (12) 00(5) 两个根都小于 1;m 1 m 62f (1) 0(6) 一个根小于 1，一个根大于 1; f(1 ) 0 m 2 问题 6：请大家完成学案中的表格？ 【设计意图】
10、 有特殊到一般，总结规律分布情况k ,2 kx 于 k, 小根都 x1 两即k k, x2 于k 大根都 x1即k于 x2 大x根一k，k x1 于即小根一a0 )得出结论问题 7：请大家合作探究完成以下问题，并把答案展示在黑板上？(7)两根都在 0与 2之间;0 m2 2f(0) 02m73f(2) 0(8)一个根小于 0,另一根大于 2; ff(02) 00 m 3f(0) 0(9)一根在 0 与 1 之间 ,另一根在 2 与 3 之间 ; f(1) 0 7 m 3 f(2) 0 3f(3) 0问题 8：请大家完成学案中的表格？表二：(根在区间上的分布)分布情况根一 nq,n , m 内
11、p 在q 根在 p, n 一 在 m,n ,即 0） m> 侧a 间 两 （ 区间n 在区别 在 ,x2 分 即 m, 根，两 外 x1大 致 图 象( a0)） 得出的结论(四) 、总结归纳，掌握规律问题 1：研究一元二次方程根的分布，我们需要考虑哪些因素？问题 2：本节讨论问题的数学思想方法是什么？设计意图】 引导学生对所学的知识、数学思想方法进行小结，并对学生的学习过程进行反思，为今后的学习进行有效调控打下坚实的基础。（五）、课堂检测：1.已知关于 x的方程 x2 2ax a2 1 0的两根介于 2和4之间,求实数 a的取值范围 .2.当m为何值时 ,关于x的方程 x2 2（m 2
12、）x m2 1 0的一根在 0和1之间 ,另一根 在1和2之间?3.二次函数 y x2 （m 3）x 1的图象与 x轴有两个交点 ,横坐标为 x1, x2,且x1 2, x2 2, 求m的取值范围 .4.已知关于 x的二次方程 x2 3mx 2m2 1 0的两根均大于 3，求 m的取值范围 .【设计意图】 课堂检测是对本节课重点和难点知识的应用和巩固，通过学 生的回答 ,可了解学生对于根的分布理解是否到位，列不等式的过程中要素是否 考虑全面。（六）、布置作业：1. 必做作业：学案课后练习 1、2、3、42. 选做作业：学案课后思考 1 、2【设计意图】 布置作业有梯度， 避免一刀切， 使学有余
13、力的学生进一步训练 逆向思维，使知识掌握更加深刻（七）、板书设计一元二次方程根的分布1. 判别式：(要特别注意是否该带等号)；学生展示 1多媒2. 对称轴与区间端点的位置关系学生展示 2体3. 区间端点函数值 f(m),f(n),f(k)等的符号.演注意：二次项系数是否为 0; 开口方向 ;示【教学反思】 心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断 的活动. ”思维永远是从问题开始的，因此，本节课采用了问题引入、诱导、解 疑，指导学生去发现的方法，使学生始终处于兴奋的状态之中。观察、归纳是 发现知识 、获得知识的基本思维形式，在教学过程中，通过问题设疑、创设 问题情境，引导学生从特殊的、个别的属性，通过联想、类比，归纳出具有普 遍性的、一般的、整体的性质。