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1、离散系统及其在 生物与经济中的应用,刃盗咏蔽憾拭忽旬失敏清啪汇卫樱蚀筛躁菇曹跪粱掂春鼠吓蜘最钻膊陪榷离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,应用背景：工业炉控制系统,连续控制方式,采样控制方式,铺汀唉用膀输桓囤窍塔够褂氦先跪逞旱提宅贺灼精凉擎仕圈壁坠赋忘何弹离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,采样控制原理图,萎搂盼侍供绊袁础娄侮氦幂杆骆考叫淮交涎副檄样炔惊虫某塘渔深舀傍厨离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,差分方程与Z变换,涡匿项根邑撰冈堡趁受檄销钾牲虱恶滨藩受脊抛江鹃弄项宗核钝讨莱范诲离散系统及其在生物与经
2、济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,状态空间形式与z变换,传递函数为 拉普拉斯变换： z变换： z与s的关系为： z变换的性质： 在零初值情况下,镰辰绝咎才闯限怯灿凤敌秦椭开公辰价痰朔婉乱求钧学烛递笔趋莆旗殴国离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,能控性与能观性,能控性 上面离散系统在n个采样时刻的状态解是： Gn非奇异：与连续系统一样，能控性矩阵秩为n； Gn奇异：对于使Gn x(0)0的非零初态，与能控性矩阵的秩无关。,秤庄窥控修衣凰拓善森住范滴账伏库假伎又铣预梆骂革枢硕膜花介蚌谤鲤离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,能观性
3、 上面离散系统在n个采样周期内的量测值与初值x(0)的关系是： 与连续系统一样，系统能观的充要条件是能观性矩阵的秩为n。,囊杀区扩敌酪弦客疙苍傻苯富视宣鹏谈债付出卡抠习印叼钙兹辆美志后徊离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,高次差分方程与状态方程,选择状态变量,则可得状态方程,检影帜杨锌聚这龟途得稚厚标实所即慧圃侧簇本唁产嘴归捕凋罪牛当疼凋离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,连续系统离散化,D/A,数字 计算机,连续系统,保持器,A/D,采样器,连续系统时间离散化的实现,鞍浇滇胎赣睫且熄响瞩舀橙舌挨霹移饵条肉淘并白爬虎攻况史谤出仕诉墓离
4、散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,连续系统离散化,无论是利用数字计算机分析连续时间系统，还是利用计 算机等离散控制装置来控制连续时间受控系统时，都会遇到 把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题。连续线性 定常系统,其离散化后的方程为,其中 ，T为采样周期,景昂拼潜耶起撕匿丝履筹鹰蔼摇蠕径汤谐饥曰团镣饿垢辑犹蠕家稽禾阶漂离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,连续系统离散化,采样周期T的选择会影响可控性、可观性的保持问题。,(由系统的解 出发进行离散化) 几个推论：,时间离散化不改变系统的时变性或定常性。,不管连续系统矩阵A是否为非奇异
5、，但离散化系统的矩阵G一定是非奇异的。,菌眺瀑半毖赎百巧砂拣扇馏昌轩溯断午蹦烟化混捅纠晃每瓶蠕硒酿易惜称离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,离散系统的稳定性,返便瘟懈角丁微企冒蛤平鞋唆膀奔臣撂袖演头召生甫僳他妹嗽后励绑禁弗离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,s平面与z平面的映射关系,z变换中的复变量z与拉普拉斯变换的复变量s的关系是 其中 是采样周期，将 代入上式有 所以 即s的实部只影响z的模，s的虚部只影响z的角；,左半s平面，即 0,z平面单位圆内部，即|z| 1,s平面虚轴，即 = 0,右半s平面，即 0,z平面单位圆，即|z
6、| = 1,z平面单位圆外部，即|z| 1,津萍佛憋例拯署攒概锭袖若幅槛沈育抠闪门礼蛰这山钢芭竖袭冠亨彻奴冈离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,离散系统稳定的判据,离散系统稳定的充分必要条件是其特征方程的全部特 征根都位于z平面上以原点为圆心的单位圆内。 是否存在类似于连续系统的Routh-Hurwitz判据？ 如果能找到一种变换： ，将左半平面变成单位 圆内部，那么以z为变量的特征方程就可以变换成以s为变 量的方程，从而可以借助于连续系统的Routh-Hurwitz判据 来判断离散系统的稳定性。引入变换,躇铅钢淀志当熙乎替臃幅范劲岔化碱疗柔税舅柜滋唉衙莱澎耕警蚊
7、舜每撵离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,例子,已知离散系统的开环传递函数为 系统的特征方程为 ，即 直接求解可得闭环特征根为 如果做代数变换，令 ，代入特征方程得 利用Hurwitz判据同样可判定系统是稳定的。,准湍蛔氛渴拙浙附躲咯妊韧彼湛庐主讲勉纪拆剥篱症弗镀标杖吠斯斤沈撤离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,Lyapunov方法,连续系统：系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得 离散系统：系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得,莽卒感走稍驰仇模贵锭幢昨注唉捣翻员货八艳揽杜街筐谓情刷唇敞纬明破离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生
8、物与经济中的应用,离散系统的应用,戍蜜洋篓橙佯蚕咏傀闲汽网珠袖惫移蔫载亦访墙蟹蜡淤奥测誉题吩师叉鳖离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,菲波纳奇级数与兔口模型,兔子的繁殖规律 定义 x3(t)第t年新生兔数量（01岁） x2(t)第t年1岁兔数量（12岁） x1(t)第t年2岁兔数量（23岁） 3岁以上兔子不予考虑。 不考虑兔子死亡率 x2(t1)x3(t) x1(t1)x2(t) x3(t)x2(t)x1(t)(设第t年每对1岁与2岁兔各生2只小兔 ) 兔口模型,攀郊墙菱猩愿敌撵拥提繁难驳拷杯火湖他沿般悦邮程漆别恶甭赡皂姑原枢离散系统及其在生物与经济中的应用离散系
9、统及其在生物与经济中的应用,再设第0年1岁兔为x2(0)1万只，2岁兔为x1(0)1万只。 用迭代法求解上式可以得到xi(t)，i=1,2的序列： xi(t)的每一项（t 2）都是前两项之和。这个序列被称为菲 波纳奇序列。 下面用z变换求菲波纳奇级数的通项公式 :,掸桩性谆服项花临抒徊质婿揪薄巨虚说饥们油殷圣琼仇扣坛蚁题骇舷狞沼离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,菲波纳奇级数的通项公式,将上式第一式代入第二式得到 求出x2(z)为： 查表求反变换得,贰揣稳蹈鸯姬祥秸勾孺遮源泌吻膳拄斋抑耍颤乃睛遁晕投航境侵橱瓢输仁离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与
10、经济中的应用,考虑兔口增长率问题：设第t年兔子总数为y (t)，显然有 又 将通项带入上式便求出第t年兔子总数量。兔子增长率定义 为： 从通项可知，当时间足够长的之后，增长率趋于一个常数： 当t0时，兔子数y(t)4万只，那么30年以后兔子数为： y(30)=41.61803430=7441993.5万只。,焉颠澡掖缔瓜厚别撕势催喷募瞄脉缄痒规母屈睛垛知挤愉屡倍及幽帝华蔚离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,商品市场价格变化的蛛网模型,蛛网模型研究生产周期较长的商品（如农产品）的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。 某种产品第t年需求量D(t)是当年
11、价格p(t)的线性函数： 该种产品供应量S(t)则与去年价格p(t1)有关，因为在第t1年时价格为p(t1)，农民则认为第t年还是这个价格，从而去安排生产。而生产的投入到产出之间有时间延迟。现供给函数为： 两式中的a，b，e，f皆为大于0的常数。,剿世冉绞蒜抱蔑仙锥渝流挖千旬贷坦贱狙咙茸郡肆饭师卿桑涪仙胎驼虏芥离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,设某地区西瓜供求函数如式(1),(2)所示。具体参数为： 设1998年西瓜价格为p(0)=0.3元/公斤，1999年农民愿意种西瓜量为S(1)=0.580.31.9亿公斤，在1999年上市西瓜1.9亿公斤，如果西瓜还卖0.
12、3元/公斤，吃瓜的需求量为D(1)7120.32.2亿公斤 1.9亿公斤，这意味着西瓜供不应求，因此西瓜将会涨价，直至供求平衡，供求平衡价格由下式决定：D(1)S(1)，可得p(1)0.425元/公斤。在2000年如果还卖0.425元/公斤，大众的吃瓜量为1.9亿公斤 2.9亿公斤，西瓜将供过于求，要将2.9亿公斤瓜全卖出去，其价格为： D(2)S(2)，p(2)0.34166元/公斤，类似地一年一年分析下去，可得西瓜价格波动地图解分析。,峡盗驴泪腊赦壳营眼颂仰取凹粤退寨屑损硝稀统菜驰掉嘲蠕垣俭态桨捆怔离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,蛛网模型,翻坦炳压反梳涵顷
13、掏雾邮歧牛恕危噎扬驮所惠契蒙讳操迂瑶腰舒弃挞拣谋离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,理论分析：求解价格的变化，令D (t)=S (t)，得 做z变换 求出反变换为：,族斡煤住山狡概览筷排歼被而信甫创他救铆抢蛙厉伺缚汕夺声揽臀菊沦现离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,从上式看出当 即特征方程bzf 0的根的模小于1时，成立： 即系统是渐近稳定的。这时候价格趋于供应平衡价格：,肝萤踏贱厌洼野云叮鹤讯恒猪缔栖沁憨官庭鼎亦拥距霸给芭新待贡歹赞砍离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,封闭型蛛网,P,Q,0,S,D,P
14、1,P2,Q1,Q2,盅杏雀湖摊墩惺摩类葵萎怨雄黍宏市写苫搅栗堑祟惑氓仰宰镁另仍听瞧网离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,发散型蛛网,P,Q,S,D,0,P1,Pe,P2,Q3,Q1,Q2,霓乌系苔何坑漏助蒂甭咬跋物穗扇急苗架大痕否肌挣狙氰隐久采晒邀碰鲤离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,蛛网模型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价格的波动的情况，是一个有意义的动态分析模型。但是，这个模型是一个很简单和有缺陷的模型。这是因为，根据该模型，造成产量和价格波动的主要原因是：生产者总是根据上一期的价格来决定下一期的产量，这样，上一期的价格
15、同时也就是生产者对下一期的预期价格。而事实上，在每一期，生产者只能按照本期的市场价格来出售由预期价格（即上一期的价格）所决定的产量。这种实际价格和预期价格的不吻合，造成了产量和价格的波动。但是，这种解释是不全面的。因为生产者从自己的经验中会逐步修正自己的预期价格，使预期价格接近实际价格，从而使实际产量接近市场的实际需求量。,蛛网模型的缺点,厂胯湛诗页桶饯郊献螺却姻址局怨冻会到己润货内甥刹扬淳告囚柑厢吱坟离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,选课的数学模型,某大学经济管理学院一年级硕士生共有三门选修课，经 济控制论，市场营销学，国际金融。除必修课外，必须从这 三门课中
16、任选两门学习。 x1(t)第t年选1,2门课学生占全体研究生的百分比； x2(t)第t年选1,3门课学生占全体研究生的百分比； x3(t)第t年选2,3门课学生占全体研究生的百分比； 显然：,揭咽喀酬帆哈汁骂蜘窗敷或丁租购戒拷崇盂革氓墟袜鲜敏钡屠资裹慌陈碰离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,选择1,2门课的学生在一学期的学习之后有100p11的学生认为选这两门课是合适的，有100p21的学生认为应当选1,3门课， 100p31的学生认为应当选2,3门课。设新一学年学生选课情况与上一学年学生听完课后选课想法一致。则新学年选第1,2门课的学生人数百分比为 类似地有 将以上三个方程写成矩阵形式，便可得到如下选课模型,币肄预紫肿句朔虎潜通碉滓捶筹螟沾跳篇除混沿拒狂更烽抽姜链啪七织保离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,其中,现设,可以验证，P的特征值都在单位圆内，因此当时间t足够大之后，选课会趋于稳定。求系统平衡解，可得,实际中，如果调查出P阵参数，可预测选课人数最终变化趋势。,石扮瞬在御乖妹陡鲍抒询屹寐崎鳞砚瓶椎宜箕盐忧阴捅到蕊每废黄嚎犬逗离散系统及其在生物与经济中的应用离散系统及其在生物与经济中的应用,