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1、现代控制理论大作业老师：周晓敏 姓名：李维奇 班级:机研141班学 号：S201406122015年月一系统的工程背景及物理描述超精密机床是实现超精密加匸的关键设备，而环境振动乂是影响超精密加匸精度 的重要因素。为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空 气弹赞作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系 统的固有频率-般在2Hz左右。感/Y/11m 机床质试c 空气弹熒粘竹W【尼系数 s 机床位移心一空'（弹煲刚度系数 地也位移G I:动隔振系统作动器（不衣示参敌）上图表示了亚微米超精密午床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元 件为空气弹簧，主动
2、隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。上 图表示一个单由度振动系统，空气弹费具有一般弹性支承的低通滤波特 性，其主要作用是隔离较高频率的基础振动，并支承机床系统：主动隔振 系统具有高通滤波特性，其主要作用是有效地隔离较低频率的基础振动。 主、被动隔振系统相结合可有效地隔离整个频率范围内的振动。床身质量的运动方程为：ms + + 7 = 0Fp 一一气弹赏所产生的被动控制力巳 动器所产生的主动控制力假设空气弹赞内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：坊=-+心y + ” 1 -必/化+ &叨门4Vt 标准压力下的空气弹簧体积y = s 一 *11对位移(被控制量)Pt空气弹簧的参考压
3、力&参考压力下单一弹簧的面积7 = 4 参考压力卜空气弹簧的总血枳”绝热系数电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通星密度及永久磁铁和电磁铁Z 间的间隙而积有关，这一关系具有强非线性。由于系统匚作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范闱内，因此主动F =卜控制力可近似线性化地表示为：a 一 a/ve力电流转换系数厶电枢电流其中，电枢电流la满足微分方程：q + U+E(H(r)L 控制冋路电枢电感系数R 控制回路电枢电阻E 控制回路反电动势“控制电压1性能指标：闭环系统单位阶跃响应的：超调屋不大于5%；过渡过程时间不大于0. 5秒（二0. 02）2.实际给定参数：某一车床的已
4、知参数kQ = 1200N/min = 120kgkt = 980N/Ac = 0.27? = 300QL = 0.95H3.开环系统状态空间数学模型的推导过程:对式y二SS°两边求二次导，y=s = -(F +Fa) = -(cy+ko y+Prl-y/(Y + Ay)A+keIJ mm对上式再求一次导，其中 =pr耐+cy+koy+iy = _J_(cy+ly+77 + keia)则I?乂由 J = _my+cykoy+代入 q + RJ + E(.,y)= u(t)-Lniy + cy+koy+z/niy+cy+koy+/7+ E(Ia,y) = u(t),即Lmy 十(Lc
5、+ Rni)y + (Lko 十 Rc)y 十 Rkoy + Ld)十 Ro) koE(Ia# y) = keu(t)令状态变量为Xi = y,x2 = y,x3 = y»得系统开环的状态方程为： Rko Lkg + Rc=卫坷一一弓圣一Lc + RinkG冯 uLin 1 Lin 一 LinLm于是状态空间表达式为: X0100X.=001+0RkoLkg + RcLc + RinLmLmLinLm.y=i o o X.代入系统参数,010 _ 0001X.十0-3157.89-10.53-315.79-8.6011y=i o o花二、系统的定性分析系统的能控能观性根据其能控性矩阵
6、和能观性矩阵是否满秩來判断。Matalab代码为：xingnengl.mM1 -A=0 1 0:0 0 1：-3157.89 -10.53 -315. 79：2 B=0:0;-8. 60:3 - C=l 0 0：4 -5 _n=3;ud=rank (ct rb (A, B);6 -1 ob=rank (obsv(A, C): if ud=n8 _9 -dispC系统可控')elseif ud<n10 一11 _12 _13 _14 -15 一dispC系统不可控)endif ob=ndispC系统可观')elseif ob<ndisp(系统彳'口规'
7、)16 _end结果如下所示，该系统能控能观。話令鈕口» xingnengl 系纟克可控系统可观判断系统的稳定性，根据系统稳定性的充分必要条件，求出系统的所有极点, 并观察实部是否有大于0的极点。求得的极点中实部有大于0.故系统不稳定。三. 系统的反馈控制器设计卍兀由性能指标超调量小于5%,即exp -r= <5%W-了丿4 过渡时间不超过0.5s,则有t.u <0.5,得§ > 0.69.所以0 < 46.36, >8为留出裕量，取§ =0.8, Wn=20.那么共辄极点彳=-16+12j, A,=-16-12j，取第三个极点为=
8、-100,则系统的期望特征多项式为：f(2) = (2+16+12j)(A+16-12j)(A+100)=A3+13222+36002+40000设状态反馈控制律为：u = k2 k3X3于是，闭环系统的状态空间表达式:0100一3157.89 - 86人 -10.53-8.6k201-315.79-8.6k3可得系统的特征多项式为：f(2)=A3 + A2(315.79+8.6匕)+2(10.53+8.6匕)+(3157.89+8.6人)两式对比，得"315.79+ 8.6k3 = 13210.53 +8.6k, = 36003157.89 + 8.61=40000= 4284.0
9、解得k. = 417.38k3 =-21.37Matalab程序为：xin gne nglmwendingxing.mfan kui.m " | +-二53 -315.79;2 -B=0：0：-8. 60:3 -C=l 0 0:4 -D= 0:5 -P=-16+1*12-16-j*12 -100;6 -K=place(A,B,P)求得状态反馈矩阵结果为:命令请口» fankuiK =1. 0e+03 *-4.2840 0.41740.0214fx»单位阶跃响应的仿真曲线为：各状态变最变化曲线：人的变化曲线冷的变化曲线屯的变化曲线oitt:dsa*isisarao8
10、3四. 系统的状态观测器设计因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。因为系统是能观 测的，所以，可以设计状态观测器。而系统乂是能控的，因此可以通过状态观测 器实现状态反馈。在极点配置法的基础上，设观测器的期望极点为V= -1 -1+0.0088j -1-0.0088j.Mat lab程丿宇如下：xingnengl.mwen dingxing.mfankui.mguanceqi.m+1 -A=0 1 0:0 0 1;-3157. 89-10.53 -315. 79;2 -B=0:0;-8. 60:3 -C=l 0 0:4 -D=0:5 -V=-12 -10+0. 88j -10-0.
11、 88j;6 - L= (placeV) V算的结果,观测器增益矩阵L二-283. 8 9. Oe+4 -2.8e+O7五. 系统的二次型最优控制器设计因为平衡车的平衡重点是角度和位置的迅速稳定和，所以令车体倾角和位移的加0 01000 0 , R=l.0 11000权量为1000,即选取加权矩阵为0=00Matlab程序如下：| xingnengl.m weiidingxing.m fankui.m guanceqi.m zuiyou.m x1 -A=0 1 0:0 0 1：-3157. 89 -10. 53 -315. 791 :2 -B=0;0：-8. 60：3 -C=l 00;4 -D
12、=.0;5 -Q=1000 0 0：0 1000 0;0 o| 1：6 -R=l;7 -Klqr=lqr(AjB, Q, R)计算结果为：命令施口>> zuiyouKlqr =-1.3592 -33.2550-0. 1187六. 闭环系统的全状态响应仿真假设存在某一初始振动状态Xj(O) = lxlO_5in, xOglxlOm/s ,(0) = -lxl0-5 nVs3 o根据闭环状态方程10-360000-40000编纤mat 1 ab程呼:源文件aa：function dx=aa(tr x)A=0r lr 0; 0r 0, 1;-400003600,-132;dx=A*x;仿
13、真结果程序：t,x =ode45C aa 0,1, 6*10=5, 2*10=5,-0. 8*10=5); subplot (3, L 1);plot (t, x( ：, 1), ' !-')；legend(' x_l');grid;subplot (3, 1, 2); plot (t, x(:, 2),' b-'); legend(' x_2');grid;subplot (3, 1, 3); plot (t, x(:, 3),1 k-); legend(' x_3');grid;从图中可见振动抑制效果很理想，己满足设计指标。七总结从以上的设计可总结出状态空间的控制器的设计思路。1. 苗先对观测器的能观性与能控性进行判断：2. 如果完全能观或能控，则进行以下分析：如果不是，可以进行能控与能观分 解出來：3. 如果使用原系统状态反馈，可以根据系统要求进行极点配置，进而设计出控 制器；如果还需要设计观测器，可合理配置观测器极点，进而设计整个系统。4. 如果使用观测器状态反馈，由于分离定理，观测器与反馈可分别设计，所以 设计过程基本和上面一样：5. 对于以上系统都存在较大的余差，故需设计参考输入，或者采取积分控制器都可以很好的消除稳态余差。