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1、初三数学竞赛试题中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题6分，共30分.)1 (甲).如果实数a, b, c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为().(A)(B)(C)(D) a1 (乙).如果，那么的值为().(A)(B)(C) 2(D)2 (甲).如果正比例函数y二ax (a H 0)与反比例函数y二(b HO )的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为(一3, 2),那么另一个交点的坐标为().(A) (2, 3)(B) (3, -2)(C) (一2, 3)(D) (3, 2)2 (乙).在平而直角坐标系中，满足不等
2、式x2+y2W2x+2y的整数点坐标(x, y)的个数为().(A) 10(B) 9(C) 7(D) 53 (甲).如果为给泄的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是().(A) 1(B)(C)(D)3 (乙).如图，四边形ABCD中，AC, BD是对角线，ABC是等边三角形.，AD二3, BD二5,则CD的长为().(A)(B) 4(C)(D) 4.54 (甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”：小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，英中n 为正整数，则n的可能值的个数是().(A) 1(B) 2
3、(C) 3(D) 44 （乙）.如果关于x的方程是正整数）的正根小于3,那么这样的方程的个数是（）.（A） 5（B） 6（C） 7（D） 85 （甲）.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2, 3. 4, 5, 6.掷两次骰 子，设其朝上的而上的两个数字之和除以4的余数分别是0, 1, 2, 3的概率为，则中最大的是（）.（A）（B）（C）（D）5（乙）.黑板上写有共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并 在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）.（A） 2012（B） 101（C） 100（D） 99二、填空题（共5小题，每小题6分，共
4、30分）6（甲）.按如图的程序进行操作，规迫：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487? ” 为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是6 （乙）.如果a, b, c是正数，且满足，那么的值为7 （甲）.如图，正方形ABCD的边长为2, E, F分别是AB, BC的中点，AF与DE, DB分别交于点N,则DMN的而积是7 （乙）.如图所示，点A在半径为20的圆0上，以OA为一条对角线作矩形0BAC,设直线BC交圆0于D、E两点，若，贝IJ线段CE、BD的长度差是。8（甲）.如果关于x的方程x2+kx+k2-3k+= 0的两个实数根分别为，那么的值为.8 （乙）.设为整数，且1
5、£nW2012.若能被5整除，则所有的个数为9（甲）.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛 者彼此恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比 赛结朿后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值 为9 （乙）.如果正数x, y, z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数.若和均为三角 形数，且aWbWc,则的取值范围是10 （甲）如图，四边形ABCD内接于O0,AB是直径，AD = DC.分别延长BA, CD,交点为E.作BF丄EC,并与EC的延长线交于点F.若AE二AO, BC =
6、6,则CF的长为10 （乙）.已知是偶数，且1WW100.若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数 为三、解答题（共4题，每题15分，共60分）11 （甲）.已知二次函数，当时，恒有：关于x的方程的两个实数根的倒数和小于.求的取值 范围.11 （乙）.如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、 负半轴上，。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E,且。试求图像经过B、C、E三点的二 次函数的解析式。12（甲）.如图，00的直径为，过点，且与00内切于点.为00上的点，与交于点，且.点 在上，且，BE的延长线与交于点，求证：ABOCsA.12 （乙）.如图，00的
7、内接四边形ABCD中，AC, BD是它的对角线，AC的中点I是AABD的 内心.求证：（1）01是AIBD的外接圆的切线：（2）AB+AD 二 2BD.13（甲）.已知整数a, b满足：a-b是素数，且ab是完全平方数.当2012时，求a的最 小值.13 （乙）.给立一个正整数，凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由.14 （甲）.求所有正整数n,使得存在正整数，满足，且.14 （乙）.将，（n22）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）， 使得，求的最小值.参考解答一、选择题1（甲）.C解：由实数a, b, c在数轴上的位置可知,且，所以.1 （乙）.B解：.2 （甲）.D
8、解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此期 一个交点的坐标为（3, 2）.2 （乙）.B解：由题设 x2+y2W2x+2y,得 0WW2.因为均为整数，所以有解得以上共计9对.3 （甲）.D解：由题设知，所以这四个数据的平均数为9中位数为， 于是3 （乙）B 解：如图，以CD为边作等边ACDE,连接AE.由于 AC = BC, CD = CE,ZBCD 二 ZBCA+ZACD 二 ZDCE+ZACD =ZACE,所以 BCDAACE, BD = AE又因为，所以.在Rt中，于是DE二，所以CD = DE = 4.4 （甲）D解：设小倩所有的钱数为X元、小玲
9、所有的钱数为y元，均为非负整数.由题设可得消去 x 得（2y-7）n = y+4,2n 二.因为为正整数，所以2y-7的值分别为1, 3, 5, 15,所以y的值只能为4, 5, 6, 11.从而 n的值分别为8, 3, 2, 1： x的值分别为14, 7, 6, 7.4 （乙）C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负.由二次函数 的图象知，当时，所以，即.由于都是正整数，所以，lWqW5:或，10W2,此时都有.于 是共有7组符合题意.5 （甲）D解：掷两次骰子，其朝上的而上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分 别是0, 1, 2, 3的有序数
10、对有9个，8个，9个，10个，所以,因此最大5 （乙）C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变.设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则解得，.二、填空题6 (甲) 7W19解：前四次操作的结果分别为3x-2, 3(3x-2)-2 二 9x8, 3(9x-8)-2 = 27x26, 3(27x-26)-2 = 81x-80.由已知得27x-26W487,81x-80>487.解得7VxW19容易验证，当7VxW19时，W487W487,故x的取值范围是7<x<19 6 (乙)7解：在两边乘以得即7 (甲)8解：连接DF,记正方形的边长为2.由题设易知A
11、sA,所以9由此得，所以.在RtAABF中，因为，所以于是 由题设可知 ADEABAF,所以，于是，又，所以.因为，所以.7 （乙）解：如图，设的中点为，连接，贝I.因为，所以8 （甲）解：根据题意，关于X的方程有=k2-40>由此得（k 一 3）2W0.又（k一3）220,所以（k一3）2二0,从而 k=3.此时方程为 x2+3x+=0,解得 xl=x2=.故=8 （乙） 1610解：因此，所以，因此所以共有2012-402=1610个数9 （甲）.8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0WbW43.又，所以.于是0«43,87WW130,由此得，或.当时，：当时，不合题设.故.9 （乙）.解：依题意得：，所以，代入（2）得,两边乘以a得,即，化简得，两边除以得所以另一方面：aWbWc,所以综合得另解：可令，由（1）得，代入（2）化简得，解得,另一方而：aWbWc,所以，综合得.10 （甲）.解：如图，连接AC, BD, 0D. 由AB是00的直径知ZBCA =ZBDA = 90° 依题设ZBFC = 90° ,四边形ABCD是00 的内接四边形，所以ZBCF 二ZBAD,所以 RtABCFRtABAD ,因此.因为0D是00的半径，AD二CD,所以0D垂宜平分AC, 0DBC,