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1、优秀学习资料欢迎下载初三数学二次根式21 1二次根式教学重难点关键1重点：形如a （a 0）的式子叫做二次根式， “”称为二次根号2 难点与关键：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数a （ a 0）是一个非负数；（a ） 2=a（ a 0） ; 反之 :a=（a ）2（ a 0）a2 a（a 0）议一议：1-1 有算术平方根吗？20 的算术平方根是多少？3当 a<0，a 有意义吗？例 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2331 、 x （x>0 ）、0 、1x42、- 2、1、x y （x 0， y? 0）xy分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次
2、根号 “”；第二，被开方数是正数或0解：二次根式有：2、x （ x>0）、 0 、 - 2、 xy （ x 0，y 0）；不是二次根式的有： 33、1 、 42 、x1xy例 2 当 x 是多少时，3x1 在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以 3x-1 0， ? 3x1才能有意义解：由 3x-1 0，得： x1当 x 1 时，3x1 在实数范围内有意义33例 3 当 x 是多少时，2x3 +1在实数范围内有意义？x1分析 ：要使2x3 +1在实数范围内有意义，必须同时满足2x 3 中的 0 和1x1x1中的 x+1 0优秀学习资料欢迎下载解：依
3、题意，得2x30x 10由得： x-3由得： x -12当 x - 3 且 x -1 时，2x3 + 11在实数范围内有意义2x例 4计算1（3 ）22（ 35 ） 23（5 ）24（7 ） 2262分析：我们可以直接利用（a ） 2=a（ a 0）的结论解题解：（3 ）2=3 ，（35 ） 2=32·（5 ） 2=32·5=45，22（5）25，（72( 7)276=） =22624例 5计算1（ x 1 ） 2（ x 0） 2（ a2 ） 23（ a22a 1 ）24（ 4x2 12 x9分析：（ 1）因为 x 0，所以 x+1>0 ；（ 2） a20；（ 3）
4、a2+2a+1=（ a+1） 0；（ 4） 4x2-12x+9= （ 2x） 2-2· 2x · 3+32=（ 2x-3 ） 2 0所以上面的 4 题都可以运用（a ） 2=a（ a0）的重要结论解题解：（ 1）因为 x 0，所以 x+1>0（x1 ） 2=x+12222（ 2） a 0，（a ） =a22（ 3） a +2a+1=（ a+1）又（ a+1）2 0， a2+2a+1 0 ，a2 2a 1 =a2+2a+1（ 4） 4x2-12x+9= （ 2x ）2-2·2x· 3+32=（ 2x-3） 2又（ 2x-3 ） 2 0例6 化简（1）
5、9（2）( 4)2（3）25（4）( 3)2分析：因为（ 1）9=-3 2，（ 2）（ -4）2=42，（ 3）25=52，（4）（ -3）2=32，所以都可运用（ a 0）去化简解：（1）9 =32 =3（2）( 4)2 =42 =4） 2a2 =a优秀学习资料欢迎下载（3） 25 = 52 =5（4） ( 3)2 = 32 =3 4x2 -12x+9 0，（4x2 12x9 ） 2=4x 2-12x+9212二次根式的乘除教学重难点关键a ·b aba ·b ab（ a 0， b 0），ab =a ·b （ a 0，b 0）（ a 0， b 0）ab （a&l
6、t;0,b<0） = a ba =a （ a 0， b>0），a =a （ a 0， b>0）bbbb最简二次根式的运用1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式例 1计算（1） 5× 7（ 2）1× 9 （3） 9× 27（ 4）1 × 632分析： 直接利用a ·b ab （ a 0， b 0）计算即可解：（1） 5 ×7 =35（ 2）1× 9=19 =333（3） 9× 27= 9 2792 3=9 3（ 4）1×
7、 6=16 = 322例2化简（ 1）9 16（ 2）（ 4）9x2 y2（5）1681（ 3）81 10054分析：利用 ab =a ·b （ a 0， b0）直接化简即可解：（ 1）916 =9 ×16 =3× 4=12（ 2） 16 81 = 16 × 81 =4× 9=36（ 3）81100=81× 100=9× 10=90（4） 9x2 y2=32×x2 y2 =32 × x2 ×y2 =3xy优秀学习资料欢迎下载（5） 54 =9 6 =32×6 =36例 3 计算：（ 1
8、）12（2）31（ 3）11（ 4）643284168分析 ：上面4 小题利用a =a （ a 0， b>0）便可直接得出答案bb解：（ 1） 12=12=4 =2（ 2）31=313 834 =3 ×=23332828211111164 =264648 =22（ 3）=（ ）=4164164488例 4 化简：3（ 2）64b2（3）9x（ 4）5x（1）9a264y2169y264分析：直接利用a =a （ a0， b>0 ）就可以达到化简之目的bb解：（ 1）333（ 2）64b264b28b=6489a2 =9a23a649x9x3 x5x5x5x（ 3）64 y
9、2=64 y28y（ 4）169y 2 =169 y213 y9x9x例 5已知6x6x，且 x 为偶数，求（ 1+x ）x25x 4 的值x2 1分析： 式子a = a ，只有 a 0， b>0 时才能成立b b因此得到9-x 0 且 x-6>0 ，即 6<x 9，又因为x 为偶数，所以x=89x0x9解：由题意得6，即x6x06<x 9x 为偶数x=8原式 =（ 1+x）( x4)(x1)x4x4(1 x)( x 4)(x1)(x1)=（ 1+x）=（ 1+x ）(x=x11)当 x=8 时，原式的值 =49 =6优秀学习资料欢迎下载例 3观察下列各式，通过分母有理
10、数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1=1(21)212 -1，2 121)(21)2=(11=1(32)323- 2，3(32)(32)3=22同理可得：1=4 -3 ，43从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算1+1+1+1）（2002 +1）的值（32420022132001分析： 由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：原式 =（ 2 -1+ 3 -2+ 4 - 3 + 2002 - 2001）×（2002 +1）=（ 2002 -1）（ 2002+1）=2002-1=200121.3二次根式的加减重难点关键二次根式加减
11、时，可以先将二次根式化成最简二次根式， ?再将被开方数相同的二次根式进行合并例 1计算（1）8 +18（ 2）16 x +64x分析 ：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解：（ 1）8 +18 =22 +32 =（2+3）2 =52（2） 16x +64x =4x +8x =（ 4+8）x =12x例 2计算（1） 3 48 -9112（ 2）（48+ 20 ）+（ 12-5 ）+33解：（ 1） 3481-9+3 12 =12 3 -3 3 +6 3 =（ 12-3+6） 3 =15 33（2）（48+20 ）+（12-5）=48 +20+1
12、2-5优秀学习资料欢迎下载=43+25+23-5=63+52 2例 3已知 4x +y -4x-6y+10=0 ，求（2 x 9x3+y2x） -（ x21-5xy ）的值y3xx分析： 本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1 ） 2+（ y-3） 2=0，即 x= 1 ，y=3 其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类2二次根式，最后代入求值解： 4x2+y 2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y 2-6y+9=0（2x-1 ）2+（y-3 ） 2=0 x=1 ， y=32原式 =2 x 9x +y2x -x21+5xy =2xx +
13、 xy -x x +5xy =xx +6 xy3y3xx当 x= 1 ， y=3 时，2原式=1×1 +63 =2+3 62224例 4 若最简根式3a b 4a3b 与根式 2ab2b36b2是同类二次根式，求a、 b 的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?事实上，根式 2ab2b36b2不是最简二次根式， 因此把 2ab2b36b2 化简成 |b|· 2a b6 ，才由同类二次根式的定义得3a-?b=?2， 2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式2ab2b36b2 化为最简二次根式：2b
14、36b22(2a1 6) =|b|·2a b62ab=b4a3b2ab62a4b6 a=1， b=1由题意得3ab2b23a例 5计算（1）（5 +6）（3-5 ）（2）（10 +7 ）（10 -7 ）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立解：（ 1）（ 5 +6）（ 3-5）=3 5-（5 ）2+18-65 =13-3 5（2）（ 10 + 7 ）（10- 7）=（10 ） 2-（7 ） 2=10-7=3优秀学习资料欢迎下载例 6已知 xb =2- x a ，其中 a、b 是实数，且 a+b 0，a b化简x1x +x1x ，并求值x1xx1x分
15、析 ：由于（x1 +x ）（x1 -x ） =1 ，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可解：原式 =( x 1x)2+( x 1x )2x 1x)( x1x)x1x )(x1x)( x 1x )2( x 1x )2x(x1) +x+2x( x 1) =4x+2=1)+( x 1)x=（x+1 ） +x-2( xxxbxa b（x-b ） =2ab-a（ x-a）=2-babx-b 2 =2ab-ax+a2（ a+b） x=a2+2ab+b2（ a+b） x=（ a+b） 2a+b 0 x=a+b原式 =4x+2=4 （ a+b
16、） +2贴近中考20XX 年天津 市中考数学试卷5. 已知 a2 ，则代数式 2aaA ）a的值等于（aaA.3B.342C.423D.4220XX 年天津 市中考数学试卷8若 m40 4，则估计 m 的值所在的范围是（B）A 1 m 2B 2 m 3C 3 m 4D 4 m 520XX 年天津 市中考数学试卷x20093若 x， y 为实数，且x 2y 20 ，则的值为（B）yA 1B 1C 2D 211化简：188 =220XX 年天津 市中考数学试卷（ 8）比较2， 53C， 7的大小，正确的是（）3333（A）257（B）275（C）725（D）572优秀学习资料欢迎下载练习21.1二
17、次根式：2.当 _ 时，x212 x 有意义。3.若m1有意义，则 m 的取值范围是。m15.在实数范围内分解因式： x49_, x22 2x2_ 。7.已知x222x ，则 x 的取值范围是。8.化简：x22x1 x1 的结果是。9.当 1x5 时，x125_ 。x10.把 a1 的根号外的因式移到根号内等于。a11.使等式x1x 1x1x 1 成立的条件是。12.若 ab1 与 a2b4 互为相反数，则a2005b_。13.在式子xx0 ,2,y1 y2,2xx0,33,x21, x y 中，二次根2式有（）14.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个下列各式一定是二次根式的是（）A.7
18、B.3 2mC.a21D.ab15.若 2a3，则22a2等于（）a3A. 52aB.12a C.2a5D.2a116.若 Aa24，则A（）4A. a24 B.a22 C.a22D.a222417.若 a1 ，则1a3 化简后为（）A.a1a1B.1a1aC.a11aD.1aa1优秀学习资料欢迎下载18.能使等式xx成立的 x 的取值范围是（）x2x2A.x2B.x0C.x 2 D.x 219.计算：2a212a2）1的值是（A. 0B.4a 2C.2 4a D.2 4a 或 4a221.若xyy24 y40 ，求 xy 的值。22. 当 a 取什么值时，代数式2a11取值最小，并求出这个最
19、小值。23. 去掉下列各根式内的分母：1 .32 y2 .x1x 05 xx 13xx125. 已知 a, b 为实数，且1ab11b0 ，求 a2005b2006 的值。优秀学习资料欢迎下载21.2二次根式的乘除1.当 a 0 ， b0时，ab3_ 。2.若 2m n 2和33m 2n2 都是最简二次根式，则 m_,n_ 。4.计算：483 273_ 。7.已知 xy0 ，化简二次根式 xy的正确结果为（）x2A.yB.yC.yD.y8.对于所有实数 a, b ，下列等式总能成立的是（）A.ab2B.a2b2a ba bC.a2b22b2D.2a ba2a b9.2 3 和3 2的大小关系是
20、（）A.2 332 B.2332C.2332D.不能确定10.对于二次根式x29 ，以下说法中不正确的是（）A. 它是一个非负数B.它是一个无理数C. 它是最简二次根式D.它的最小值为 311. 计算：2 .5 x 3 x36 . 2ab53a3b 3 bb2a3 .5 ab4 a3ba0,b04 . a3b6ab a0,b0优秀学习资料欢迎下载12. 化简：1 . a3b5 a 0,b 02 .xy3 . a3a21xya13. 把根号外的因式移到根号内：1.512 . 1 x15x121.3二次根式的加减2.下面说法正确的是（）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B. 8 与 8
21、0 是同类二次根式C. 2 与 1 不是同类二次根式50D. 同类二次根式是根指数为 2 的根式3.与 a3b 不是同类二次根式的是（）A.abB.bC.1D.b2aaba34.下列根式中，是最简二次根式的是（）A.0.2bB.12a12bC.x2y2D.5ab25.若 1x2 ，则44 xx2x22 x1 化简的结果是（）A.2x 1B.2x1C. 3D. -36.若 18x2 xx210，则 x 的值等于（）2x优秀学习资料欢迎下载A. 4B.2C. 2D.47.若3的整数部分为x ，小数部分为 y ，则 3x y 的值是（）A.333B.3 C.1D. 39.在 8,12,18, 20中
22、，与 2 是同类二次根式的是。10.若最简二次根式 a 1 2a 5 与3b4a 是同类二次根式，则 a_, b _ 。11. 一个三角形的三边长分别为8cm, 12cm, 18cm ，则它的周长是cm 。12.若最简二次根式 34a21与 26a21 是同类二次根式，则 a_ 。2313.已知 x32, y32 ，则 x3 yxy3_ 。14.已知 x3 ，则 x2x1 _ 。315.3 220003 22001_ 。16.计算：.212 3115 1248.48 542 33 113333. 7437432. 122223 5 12131213优秀学习资料欢迎下载17. 计算及化简：122
23、aba b2 ab.1.aaababaa.xyyxyxxy.a 2 ab baabbaxyyxyxxya bab babab18. 已知： x32, y32 ，求x3xy2x2 y3的值。3232x4 y 2x3 y 219. 已知： a 1110 ，求 a21的值。aa2优秀学习资料欢迎下载答案：21.1 二次根式：1.x4； 2.1；3.且m1；4.任意实数；2 xm 025.x23 x3 x3 ; x20 ；7.x 2 ； 8.1 x ；2 ； 6. x9.4 ；10.a ； 11.x 1； 12. -1；13 20：CCCABCDB21. 4 ； 22. a1 ，最小值为 1； 23.1 .6xy ,2 .x3x2；2xx3x124. 5； 25.-221.2 二次根式的乘除：1. b ab ； 2. 1 、 2； 3. 18 ； 4. -5 ； 5. 2.83 ；6 10： DDCAB11.1 .6, 2 .15x2,3 .20a2b, 4 .ab2