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1、9.1合情推理与演绎推理【知识网络】1、合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现 中的作用。2、 演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3、 三段论推理是演绎推理的主要形式，常用格式为：M P（ M是P）大前提S M （ S是M ）小前提S P（ S是P）结论4、合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理 形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。【典型例题】例1 :（ 1 ）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列 41，43，47，53，61，71
2、，83，97的一个通项公式，并根据通 项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式， 再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是（）A. 1643 B. 1679 C. 1681 D. 1697答案：C。解析：观察可知：累加可得：an 7 =2 42（n-1） =5一1）（2 如-2），2 22二an = 一n+41验证可知1681符合此式，且 41 X41=1681。2 2 '（2）下面给出了关于复数的四种类比推理： 复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； 由向量a的性质| a| 2=a2类比得到复数z的性质| z| 2=z2
3、；2_2 方程ax bx 0 （a, b, R）有两个不同实数根的条件是b - 4ac - 0可以类比得到：方程az2 bz 0 （a, b,cC）有两个不同复数根的条件是 b2 -4ac - 0 ； 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义其中类比错误的是（）A.B.C.D.答案：D 。解析：由复数的性质可知。（3）定义A B, B C, C D, D A的运算分别对应下图中的（1）、（2）、（3）、（4），那么下图中的（A)、( B)所对应的运算结果可能是( )(1)(2)(3)(4)(A)(B)A. B D,A DB. B D, A C C. B C,A DD. C D, A
4、D答案：B。（4）在平面几何里，可以得出正确结论：正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高1的-”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面3体的高的。答案：r二h。解析：采用解法类比。4(5)在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出f X x2) = f (xj f (x2)的性质；从对数函数中可抽象出写出一个具体函数即可)f(Xi X2) =f(xj f (x2)的性质。那么从函数可抽象出f(Xi X2) =f(xj f(X2)的性质。答案：y=2x。解析：形如函数 y=kx (k工0)即可，答案不惟一。3例 2:已
5、知：sin 2 30 si n2 90si n2150; sin 25 sin2 65si n21252通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题:并给出(* )式的证明。答案：一般形式：sin21 sin2(二60 ) sin2(士 "120 )证明：左边=-逸2 曲120)一哄2240 )2 2 231cos 2:.亠 cos(2x T20 ) cos(2隈亠 240 )2 231cos2： cos2： cos120 -sin2： sin120 cos2cos240 -sin2： sin2402 2311、31.33= cos 2 cos2sin2cos2sin 2 = 右边
6、2222222(将一般形式写成 sin2(> -60) sin-sin2(二，60)=?,22223sin (： -240 ) sin (: -120 ) sin : =?等均正确。):2 2 例3:在厶ABC中，若/ C=90 °, AC=b,BC= a,则厶ABC的外接圆的半径把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形,所以在空间中我们可以选取有 3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A BCD，且AB= a, AC= b, AD= c,则此三棱锥的外接球的半径是2 2例4:请你把
7、不等式“若a1 ,a2是正实数，则有a1 a2a2ai-印 a? ”推广到一般情形, 并证明你的结论。答案：推广的结论：若 a1,a2 ,an都是正数,证明：T ai,a2,an都是正数2 aia2a? 一 2ai,2a2aiai _ 2a22an 1an-an _ 2anj ,2anai _ 2anai【课内练习】i 给定集合 AB,定义 A B 二x|x 二m- n, m An B，若 A=4,5,6,B=i,2,3,则集合A B中的所有元素之和为A.15B.14C.27答案：A。解析：D.-14A B =1,2,3,4,5 , 1+2+3+4+5= 15。2253223 i2 222.观
8、察式子:+丄32，则可归纳出式子为（,iA、i - 222.i2 ni< 2n -i1 1 1 122n2 Sn i2n -i1 .C、 ip 2 " 2232答案：C。解析:D、i2n2 2n i5数列an是正项等差数列，若bnai2a2 3a3 nani 23亠 亠n，则数列bn也为等差数1 叮 n n用n=2代入选项判断。3有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面，直线a二平面，直线b /平面：，则直线b /直线a ”的结论显然是错误 的，这是因为（）A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误D. 非以上错误答案：A。解析：直
9、线平行于平面，并不平行于平面内所有直线。4古希腊数学家把数i , 3, 6, i0, i5, 2i,叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为。答案：59。解析：记这一系列三角数构成数列an p则由a2诃=2,a3 -a2 =3, a4 -鬼=4,归纳猜测a30-a29=30,a29 -a28= 29 ,两式相加得a3a28= 59。或由a,=i,a2=i，2,a3=i，2 3 ,猜测a =i 2冷-川n 。列.类比上述结论，写出正项等比数列cn，若dn =，则数列 dn也为等比数列.i 答案：（c, c2c：）1 2_n。6.“幕AC,BD是菱形ABCD的对角线，.A
10、C,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。答案：菱形对角线互相垂直且平分。7.在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正 六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝 构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数 量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有颗珠宝则前n件首饰所用珠宝总数为颗（结果用n表示）图4答案：66，n n 1 4n -16。解析：利用归纳推理知。按图所标边长，由勾股定理
11、有：c2 二 a2 b2-&在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形,设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 0 LMN，如果用Si, S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类答案：si s； £。比得到的结论是2 29已知椭圆C : X2 y2 =1具有性质：若 M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点a bP是椭圆C上任意一点，当直线 PM、PN的斜率都存在，并记为Kpm、Kpn时，那么Kpm2 2与KPn之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线x _y 1写出具有类似特性的性质，并
12、a2 b2加以证明。2 2答案：本题明确要求进行“性质类比”。类似的性质：若 m、n是双曲线y =1上a2 b2关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为Kpm、Kpn时，那么Kpm与Kpn之积是与点P位置无关的定值。证明如下：2 2设M(m,n),则N("t)，其中乌与=1a2 b2设 P(x,y)，由 Kpm口，Kpnx m_y 亠 n=Tm，得 Kpm Kpnj22yny n y n > x -m x ' m x2 m2.2将 2 b 2. 2彳将 y 2 x b ,na.22 二pm2 _b2 代入得 Kpm aKpnb2a
13、210.观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题:135791113151719（I）求第六行的第一个数.（n）求第20行的第一个数.（川）求第20行的所有数的和.答案：（I）第六行的第一个数为 31（n）T第n行的最后一个数是n2 n-1,第n行共有n个数，且这些数构成一个等差数列，设第n行的第一个数是ani n2 n -1 = an1 2（n1）2 an1 = n - n1第20行的第一个数为3（川）第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有 20个数设第20行的所有数的和为 S20则S20 = 381 20 20（20 一1）2 =80002【作业本】A组1在数列1, 2, 2,
14、3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,中，第 25项为（）A. 25 B . 6 C . 7 D . 8答案：C。解析：对于 M 卫中，当n=6时，有 口 =21,所以第2 5项是7。2 22.如图椭圆中心在坐标原点,f为左焦点，当FB _ AB时，其离心率为，此类椭圆被称为"黄金椭圆BC.-1D. .5 1”类比“黄金椭圆”可推算出答案：A。解析:猜想出黄金双曲线”的离心率e等于上丄事实上对直角厶2ABF应用勾股定理，得AF2 2 2 2 2 2 2BF + AB，即有(a+c) =(b +c)+(a +b),c25 1,e，变形得ee1 = 0,从而e =-a23下面几种推理过
15、程是演绎推理的是A、两条直线平行，同旁内角互补，如果/ A和/ B是两条平行直线的同旁内角，则/ B=180°注意到b2二 c2 _a2)A+B由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都 超过50人D在数列an "中，a =1, an =±（an4 ）（n 一2）,由此推出an啲通项公式2an4答案：A。解析：B是类比推理，C D是归纳推理。4.由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。答案：=。解析：是大前提，是小前
16、提，是结论。5公比为4的等比数列:bn /中，若Tn是数列 b 的前n项积，则有-20,-30,T40也成T10 T20 T30等比数列，且公比为 4100 ；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列aj中，若Sn是Gn的前n项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。答案：S20 -編，S30 - S20， S40 - S30 ； 300。解析：采用解法类比。6.二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是 偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1,反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。答案：取自然数 6，按角谷的作法有：6-2=3
17、, 3X 3+仁10, 3X 5+1=16, 16-2=8, 8十 2=4, 4- 2=2, 2- 2=1，其过程简记为 6宀3宀105宀168宀4宀 1。取自然数 7,则有7宀22宀11宀34 17宀52宀26宀1340宀20宀10宀宀1。取自然数 100,则 100t502576 38 195829宀884422宀宀 1。 归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1。7圆的垂径定理有一个推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，这一性质能推广2 2到椭圆吗？设 AB是椭圆笃爲=1(a b .0)的任一弦，M是AB的中点，设 OM与AB的 a2 b2斜率都存在，并设为 Kom、Kab，则Kom与Ka
18、b之间有何关系？并证明你的结论。b2答案：kom kab=。证明：设 A(x1 , y1), B(x2, y2),M (x0,y0),a(X1 +X2)(x, X2) (y1 +y2)(y1 y2)=07=0拓+丘=12 2b2则匕1二 2 屋里=1 a2 b2 -X! X2 =2x°,y1 - y2 =2y°” 如宝亞x0 X1 x2h厶即 Kom Kab= - 2，而 a -b，即 Kom Kab 工一 1 a OM与 AB不垂直，即不能推广到椭圆中。&已知a、B是锐角，【，且满足3sin sin(2：.)。(1)求证：tan(H 2tan ； ( 2)求证:t
19、an-，并求等号成立时tan ：.,tan :的值。4答案：(1)证明：T 3sin - -sin(2j '),. 3sin( =sin二】仁：)即 3sin(、£、卜)cos, -3cos(、；、L)sin ： =sin、；cos(、£、卜)亠 cos、；sin(、；、卜) . sin( ：£ 亠 |jcos ： =2sin : cos(：£ 亠，),. tan(、；-卜)=2tan ：。(2)证明：tan（、：. |.，）-tan：tan：1tan 一 tan（: J _ 討-11+仙心+0） tag1 +2tan«1+2tanQt
20、an。、11 迈a、3为锐角，二tan飞、0. tan卜'丄+2tag2 丘4tan :.当且仅当 丄 =2tan：,即tan2时，取“=”号，此时，tan 2tana24B组1.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文t密文(加密),接收方由密文t明文(解密),已知加密规则为 ：明文a, b,c, d对应密文 a - 2b,2 b c,2c 3d,4d ,例如,明文1,2, 3, 4对应密文5,7,18,16 .当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为()A. 4,6,1,7B. 7,6,1, 4C. 6,4,1,7D . 1,6, 4,7'a+2b =
21、 14'a = 6，2b+c = 9b = 4答案：C。解析：本题考查阅读获取信息能力，实则为解方程组彳，解得,2c + 3d=23c = 14d = 28g = 7即解密得到的明文为 6,4,1,7。2.平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f(n)块区域，有 f=2,f (2) =4, f(3) =8，贝y f(n)的表达式为()A、2nB、n2n2 C、2n(n-1)(n-2)(n-3)D、n35n210n -4答案：B。解析：由 f (2) _f(1) =2, f(3) -f (2) =4,f (4) -f(3) =6,猜测 f(n 1) _f
22、 (n) =2n，利用累加法，得f (n) =n2-n 2。设 f（x）=利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(£)f(亠 Jf(0)亠-f(5)f(6)的值为()A、 -,2B、2 ,2C、3.2D、4.2答案：C。解析：f(x)，f(1x)。24.考察下列一组不等式：23 53 22 5 2 52,24 54 23 5 2 53,25 55 23 52 22 53，-将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等 式的特例，则推广的不等式可以是 .答案：am n bm n ambn anbm a,b 0,a = b, m, n 0 （或
23、 a, b 0,a = b,m,n 为正整数)。解析：填2mn - 5m'n - 2m5n - 2n5m以及是否注明字母的取值符号和关系, 也行。5如下图，第(1 )个多边形是由正三角形“扩展“而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来,案：42;97300 °如此类推 设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为q，6.指出下面推理中的大前提和小前提。(1) 5与2 , 2可以比较大小；(2)直线a,b,c,若a/b,c/b,则a/c。答案：(1)大前提是实数可以比较大小，小前提是5与2 2是实数。(2)大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行，小前提是a/b,c/b。7.
24、已知函数y = f(x)，对任意的两个不相等的实数x-! ,x2，都有f (X| -x2 f (x1) f (x2)成立，且 f(0)=0，求 f(/006) f (工005)f(2005) .f(2006)的值。答案：当 x! =0,x2 =x 时,f(0 xf(0) -f (x)，由 f(0)=0,. f(0)=1,. f(r) f(x) =f(0) =1 ,从而可得： f ( -2006) .f ( 2005)f (2005) .f (2006) =&已知数列 &满足S+ a> = 2n + 1,(1) 写出a1, a2, as,并推测(2)证明所得的结论。37答案：(1) a1=, a2=241猜测an= 2-歹an的表达式;15a3= ,8由(1)已得当n= 1时，命题成立;12k 'n= k+ 1 时，ai+ a2+ ak+ ak+1 + ak+1 = 2( k + 1) + 1,a1 + a2 + ak= 2k + 1 ak=2( k +1) + 1 = 2k+ 3,c1, ak+1= 221根据得n N , a n= 2都成立2n本资料来源于七彩教育网假设n= k时,命题成立，即a< = 2当且二 2k + 1 ak+ 2ak+11-2ak+1 = 2 + 2 -2k即当n= k+1时,命题成立.