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1、学习必备欢迎下载平均不等式AG 不等式：1.中学里面我们称之为基本不等式：（ 1） abab （ a,b 0）2（ 2） a0（a,bb同号）b a（ 3） a2+b2 2ab（ a,b为实数）2.推广：设1, ，an)，ak0， 1k n，则 An( )=1 nak 称为 a1，an 的算术a=(aan k1aa aa1, ，an平均值， Gn( )= n 12n 称为的几何平均值Gn ( ) An( )，即 na1a2ana1a2anaan称为 AG不等式，当且仅当 a1=a1=an时等号成立 .AG不等式是最重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或者将积的形式放大
2、为和的形式，因而这可以叙述成两个等价的共轭命题：（ 1）其和为S的n 个正数之积，在这些数都相等的时候最大，最大值为(S/n)n.（ 2）其积为的 n 个正数之和，在这些数都相等的时候最小，最小值为n2.因此 AG 不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定表面积的所有长方体中， 正方体具有最大的体积； 而给定体积的所有长方体中， 正方体具有最小的表面积等 .3.加权形式的AG 不等式：nnn，式中Gn(a,q)=a q，Aq a，qn(a,q) An(a,q)（ ）n(a,q)=k，k，Gk k0kkq 1k 1k1k1通过对数变换可以将这两种平均联系起来，记 lna=
3、(lna，则lnG(a,q)n，1,lna)nlnA(a,q)na ，aG的对数等于，alna，即正数1n的加权几何平均n(a,q)a1n的对数1, lnan学习必备欢迎下载的加权算术平均.jk>0，qk>0，nqk1同时，对于加权形式的AG 不等式的进一步推广是：设a且，则k 1mnnmaj1aj 2ajnj=1,，m(a ) q)(a) q，当且仅当，（m=m= =mijkjkk）j 1k 1k 1j 1aaajnj1j 2j 1j 1j 1时等号成立 .4.关于 AG 不等式的证明：这里面介绍的是几个典型的、简洁的和新的精彩的证明方法，为了叙述方便，下面将na aaa1a2a
4、naaa1n1 2nn记为 Gn( )An( )，并设， ，a 是不全相等的正a1 a2an数（因为 a1=a1=an 时，等号成立），与 n a1a2an等价的是：nnn若ak 1，则akn;k 1k1nn1若ak 1，则ak(k1k 1nn) .1821 年 Cauchy 用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明：第一步：假设n=k时， na1a2ana1a2nan成立，容易推出n=2k的时候该式也成立：a1a2k1a a2akak 1ak2a2k1=（1+）2kkk22( a1ak )1/k +( ak1a2k )1/k(a1akak 1a2 k) 1/2k由此推出 n=2m 时， n a1
5、a2ana1a2an 成立 .n学习必备欢迎下载第二步：设n 2m，则比存在 rN ，使得 n+r=2m.An (nr ) An(a1a )( AnA)a1anAnAn 1/(n+r) （有 r 个 Annnnrn r连乘） = Gn nAn r 1/(n+r) .即 Ann+rGn nAnr.从而 AnGn .另外一种思路是从An1 Gn1 推出 AnGn 成立，事实上AnnAnAna1nan Ana1a2anAn 1/(n+1) ，即 An n+1 a1anAn ，从而n 11Anna1an = Gnn，即 AnGn .同时也可以用数学归纳法来证明下式的成立nnak1，则aknk1k 1证
6、明如下： n=1时，命题显然为真 .假设 n1时，命题为真，当n1 时，若所有的 xk1，则其和等于 n 1 ，不然不妨设 x11, xn11（对若干个 xi 进行一个排列， 把最小的重新定为x1 ，最大的定为 xn 1 ），我们记 yx1xn1，这时便有 x2x3xny1，由于归纳假设x2x3xn yn另外， x1xn 11n 11xn 11xn 11y xxx(1 x ) 1+得， x1xn 1n1 ，因而对n1 的情况也成立，证毕！(Ehlers,1954)教材大多采用的是利用函数的凹凸性去证明，这里我们直接证明加权平均不等式，AG 不等式只是其中的一种特殊情形。学习必备欢迎下载Gna
7、q ，Anq a ， q，Gn(a,q)=0下证明：n(a,q) An(a,q)式中（ k）kn(a,q)=k kk，k1k1nqk 1 ，k 1证明： 注意到如果 ak 中有等于0 时，不等式自然成立， 现在只需要考虑ak 都是正数的情况 .因为指数函数e xexp( x) 为严格的上凸函数，所以我们有：nnnn(ak) qk = expk ln akk expln ak kak ，当且仅当 ak 都相等k 1k 1k 1k 1的时候成立。这时候我们再令k1 , k 1,2, n 时，该式子就是非负的几何平均数不大于n算术平均数（AG 不等式）还可以利用Young 不等式： a 1/p b
8、1/q1 / p a1/ q b ， 1/ p 1 / q 1,1 p，得到an 11/n · An 1(1-1/n)111An 1nan 1n记 Gan 1 1/n · An 1 (1-1/n) ， A111An 1 .nan 1n则An 1An A (n1) An 1 (n 1)1/2n， 即AnAGnGGn 12An 1Gn 1 .证毕！（ Diananda）补充说明的是young 不等式的证明：Young 不等式（p-q不等式）：设p, q0,1p1q1，则当 1p时，成立学习必备欢迎下载| ab |1 | a |p 1 | b |q；当 0 p 1的时候， 不等式
9、反向， 当且仅当 |b | | a | p-1 的时候pq等号成立 .证明这个不等式的方法有许多，这里只给出四种证明的方法：代数方法： 利用Bernoulli不等式： x0,01.( x)1x1 .再取1 , xbqq/ a p.(Bernoulli不等式的证明很容易，只需要用数学归纳法即可证明，这里不再去证明)微分法：固定x0, 求一元函数y11)上的极值，在x py q xy 在 0,pqy0 x0 （式中1yy0 0.）时取到最小值 .即q 1积分法：设yx 是 0, a 上严格递增的连续函数，abab比较面积得x dxy dy, a, b 0 （这里的和函数互为反函数） ，00然后我们
10、取xx p-1 即可证得！考虑二元函数xy1/p y 1/q在凸域 D x, y : x, y 0 上的凸性 .f ( x, y)xpqLagrange 乘数法：求f xnx1x在条件xx a 下的最大值，作辅助函数n1nF xx1 xn1/n +( x1xna) .学习必备欢迎下载F 对 x求偏导数 F ' x0 ，得出kkf xnkxk , k1, n. 即对 k 求和，得到 nf xnx1xnn a. 即f ( x)a .由以上两个式子，我们可以得到xka. 于 是f 在a , a点取得最大值nnnaaa即n1a1nnn1xxxx .nnn，nn再补充利用四个个不等式去证明的方法
11、：利用不等式 exp x1x ，得出1 exp( 0) expn aknnexp ak1nakGnn .k 1 Ank 1Ank 1AnAn利用不等式 exp( x)x e xe ，即 xeln x. 于是akeln ak, k1, n.n我们可以选择权系数 q (q1, , qn ),qk0, 且qk 1, 使得k1nGn( a, q)( ak ) qke.k 1于是从 akeln ak, k1,n. 式子对 k 求和，得到nnnnqkakeqk ln akelnak qkeak qk ，这就是加权平均不等式.k 1k1k 1k1学习必备欢迎下载利 用 不 等 式 ln xx 1 x 0 ,
12、 得 到akl o gAknkaak1,Ak对k求和得到，nkk 1nklog( a )n 0, 即 logalogk 1nnk 1nAAA得到logGnGn0, 即1. 证毕！AnAn利用不等式xn( x) (n1)n1, x0.GnAn nn log( Gn) 0. 从而我们An取 x( a1 ) 1/(n-1) ，则从不等式上方的不等式得到 Ana3an对上式逐次使用不等式得到：Anna1a2n2（Akerberg,B. 1963）5.深度的推广An nn-2a2ana1n-1，n1a1a2an(Gn) n . 证毕！m我们通过加权平均不等式来证明：设aik0, k 1,n, i0, i
13、 1,m,i1.i 1nmmn则有不等式aik iaik ik 1i 1i 1k 1证明：当上述右边等于0 时，显然左边也等于0.我们考虑右边不为0 的情况，利用加权平均不等式，得：nmk1aiki 1mnaiki1k 1ninn mmaikmnaikaik ik 1i1ninink 1 i 1aikk 1 i 1aiki 1aiki 1ik 1k 1k 1学习必备欢迎下载当且仅当 m 个向量 a , ain， i 1, m .成比例时成立 . 证毕！i 1特殊的情况：当 m 2, a1kxkp， a2k( yk ) q ， 11 ,pnnnxkykxk p1/p +yk qk 1k 1k121/q1 ,121时，这就是H?lder 不等式，q上式中当且仅当向量( x1) p,( xn) p 与向量( y1) q,( yn) q 成比例时等号成立.再对上式中取n 2, p q 2 时就得到Cauchy 不等式 . 当且仅当 x , xn和向量1y , yn成比例时等号成立 .1当然还能推导得到Minkowski 不等式，这里由于篇幅有限，不再叙述，请感兴趣的读者参考其他书籍！