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1、第14讲解析几何问题的题型与方法、知识整合高考中解析几何试题一般共有 4题（2个选择题,1个填空题,1个解答题），共计30分左右, 考查的知识点约为 20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考 查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要 知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解 有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直 线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练
2、地选择恰当的方程形式写 出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有 关的问题了 2. 能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划 问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解 决一些实际问题.3. 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的 方程的方法.4 掌握圆的标准方程：（xa）2十（y b）2 =r2 （r > 0）,明确方程中各字母的几何意义，
3、能 根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径， 掌握圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey0，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一x 二rcos y = r s in般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（0为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法5 正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和 抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件， 求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围
4、、对称性、 顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线； 掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确 定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程， 并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法、近几年高考试题知识点分析2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18. 1%; 2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5 % .因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的
5、重视高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了 该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及.1 .选择、填空题1 . 1大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查例1（04江苏）以点（1 , 2）为圆心，与直线 4x+3y-35=0相切的圆的方程是 .（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查例 2（ 04 辽宁）已知点 F1（r2,0）、F2C20），动点 P 满足 | PF2 | PF1 P 2.当111点p的纵坐标是一时，点p到坐标原点的距离是2（A）上6（ B）-2 2(C)3(D) 21.
6、2部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查2例3（ 04天津文）若过定点 M （-1,0）且斜率为k的直线与圆x ' 一象限内的部分有交点，（a） 0 k5（C） 0 k x 132 解答题k的取值范围是（B） -、5 k : 0（D） 0 k 524x y - 5 = 0 在第解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质.问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单.1例4（04江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F （-m,0 ） （m是大于0的常以中等难度题为主， 通常设置两数）.（i）求椭圆的方程;（n）设Q是椭圆上的一点，且过点F、
7、Q的直线l与y轴交于点M.若MQ =2|qF求直线I的斜率.本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问, 需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高.y2b7解：（I）设所求椭圆方程是2x2a12=1(a b 0).c由已知，得 c = m,a2x故所求的椭圆方程是2所以4m 3m(II )设 Q ( xq , yQ),直线 I : y = k(x +m),则点 M (0,km)当MQ =2QF时，由于F(-m,0),M (0,km),由定比分点坐标公式，得0 - 2m 2m km 01 ,yQkm.31234m2k2m2又点Q（-细,也）在椭圆上，所以3
8、3解得k二26,94m29_ 二 12 3m当 MQ 二-2QF时,Xq0 (-2) (-m)1-22m,yQ4km.，yQ 1-22 2 24m km是 2厂=1,解得k = 0. 故直线I的斜率是0,_2 6.4m 3m2例5 （ 04全国文科I）设双曲线C： y 例6 （04全国文科n）给定抛物线c： y =4x, F是C的焦点，过点F的直线I与C相交 = 1（a - 0）与直线I : x y = 1相交于两个不同a的点A、B.（I ）求双曲线C的离心率e的取值范围:5（II ）设直线I与y轴的交点为P,且PA PB.求a的值.12解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组2x2a
9、y同的实数解.消去y并整理得 (1 - a2 ) x2+2a2x - 2a2=0.1 -a2 =0.4a4 8a2(1a2)0.双曲线的离心率有两个不匚I2所以解得 0 ： a ： - 2 且 a 严 1.1+a2e = a.e6 且 e = 、22a121.0-寸2 且 a =1,即离心率e的取值范围为(II )设 A(X1,yJ,B(X2,5 PA PB,12由于X1 , X2都是方程的根,所以17 X2迅，121 -a由a -0,所以玄二17.13¥,、.2)：).2y2),R(0,1)5由此得x1(X1,y1 -1)(X2,y2 -1).121 - a2M 0,x；至2 .消
10、去,x2,得-2a22121 -a1 -a512X2.28960(I)设1的斜率为1,求0A与OB夹角的大小;解: （I）将y = x -1代入方程y2 = 4x，并整理得(n)设FB =，AF ,若 4,9，求I在y轴上截距的变化范围.c的焦点为f（ 1, 0）,直线I的斜率为1,所以I的方程为y = x- 1.2x 6x 1 =0.设 A(xyj, B(X2, y2),则有xx? =6公低2 = 1.OA OB =(咅$)化卩)=NX? yy =2x - (Xi x?) 1 = -3.| OA |OB I = . x； y . x； y；二.x1x2x1x2 4(x1 x2) 16 41.
11、 cos(OA,OB) OAOB =314.所以 oa与 OB 夹角的大小为二-arccos3 14 .|OA|OB| 4141(n)由题设 fB=aF 得(x2 -1, y2)=入(1 一捲，yJ,即丿X2 -1 =丸(1 -X1),”2 =殍1.由得yf =丸2y1 ,/y： = 4x1, y； = 4x2,- x2 =人2 % .联立、解得x2 = X,依题意有九0. B（扎2标）,或B（丸,-2屁,又F （1, 0）,得直线I方程为（，-1）y =2（x -1）或（ -1）y 2（x-1）,当4,9时，I在方程y轴上的截距为或一 J,人11由 22、,可知& 在4，9上是递减的
12、，一1 - 1 - - 13 .2 ' . 44 .2 . .3. 4_-1_3，3_1_4433 4直线I在y轴上截距的变化范围为一二一习一 3,兰.2 44 3从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以江苏为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程（椭圆），04年考的是椭圆.、热点分析与2005年高考预测1. 重视与向量的综合在04年高考文科12个省市新课程卷中，有 6个省市的解析几何大题与向量综合，主要涉及 到向量的点乘积（以及用向量的点乘积求夹角）和定比分点等，因
13、此，与向量综合，仍是解析几 何的热点问题，预计在 05年的高考试题中，这一现状依然会持续下去.例7 （02年新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 A （3, 1）, B （- 1, 3）,2 2(A) (x 1)+( y 2) =5(C) 2x y=0例8 (04辽宁)已知点 A(-2,0)、(A)圆(B)椭圆若点C满足OC =OA -：OB，其中：疋R,且:+ -=1,则点C的轨迹方程为(B) 3x + 2y 11=0(D) x + 2y 5=0B(3,0)，动点P(x, y)满足PA PB = x2，则点P的轨迹是(C) 双曲线(D)抛物线2 考查直线与圆锥曲线的位置关系几率
14、较高在04年的15个省市文科试题（含新、旧课程卷）中，全都“不约而同”地考查了直线和圆 锥曲线的位置关系，因此，可以断言，在05年高考试题中，解析几何的解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系的概率依然会很大.2 .与数列相综合在04年的高考试题中，上海、湖北、浙江解析几何大题与数列相综合，此外，03年的江苏卷也曾出现过此类试题，所以，在05年的试题中依然会出现类似的问题.例9 （04年浙江卷）如图， OBC的在个顶点坐标分别为（0,0 ）、（ 1,0 ）、（ 0,2 ）,设P为线段 BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP的中点，对于每一个正整数 n ,Pn+3为线段PnPn+1的中点，1
15、令Pn的坐标为（Xn,yn）,a* =刁Yn ' Yn1 ' Yn（i）求 a1, a2,a3及 an ；In-,n N ;（川）若记bn解：（i）因为4y4n 4 一 丫4n, n N ,证明10 是等比数列.1 3y=y2 二丫4=1,丫3, y 5,所以=a = 93 = 2 ,又由题意可知2 4-yn +yn 卅yn 3211an 1 yn 1yn 2 yn 3=yn 1 ' yn 22 2 On为常数列.an 二3 =2,n N1(n )将等式丄yn yn 1 yn .2两边除以2 ,2又y - y n 1 yn 2 y - 1 In乂. yn 4，yn 4
16、一 I 一 ， 4y4n ")-(1yn yn 1yn yn 1 yn 2 fn,=y4n 8 一 y4n 4 =(1 一 ，41 1 (y4n 4 - y4n )bn ,41 又 d 二 y3 - y40,4-纽)4 bn匚是公比为-的等比数列.43 .与导数相综合近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合, 题，都分别与向量综合.例10 （ 04年湖南文理科试题）如图，过抛物线如03年的天津文科试题、04年的湖南文理科试2x =4y的对称轴上任一点 P （0,m） （m>0）作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。（I ）设点P分有向线段 AB所成的比为，证明
17、：QP _ （QA- - QB）（II ）设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点 A处有共同的切线，求圆 C的方程解：(I )依题意，可设直线AB的方程为 y二kx m,代入抛物线方程x? =4y得2x 4kx-4m=0.设A、B两点的坐标分别是(Xi,yj、(X2,y2),则Xi、x?是方程的两根.所以 x2 = -4m.由点P(0，m)分有向线段 AB所成的比为 得竺 空=0,即一 一竺.1 + 九x2又点Q是点P关于原点的对称点，故点 Q的坐标是(0， m),从而Qp = (0,2m).QA -，QB =(Xi, yi m) -，(X2, y2 m) =(X
18、i - x, yi - y2 (1 - )m).QP (QA - QB) "m" - y2 (i - )mx；Xix；_XiXiX24m=2m-(i_)m= 2m(xiX2)4 x2 4x24x2= 2m(xi x2)-4m 4m4x2所以x_2y+i2=0,(n)由 丿2得点A B的坐标分别是(6, 9 )、( 4, 4).X =4y,2i 2i2由x = y 得y x , yx,所以抛物线 x = 4y在点A处切线的斜率为 y x = 33 2p-9-设圆 C的方程是(x a)2 +(y b)2 = r2,则* a b 3'(a_6)2 +(b_9)2 =(a
19、+ 4)2+(b_4)2.解之得 a = -3,b 二232 =(a 4)2 (b -4)2 =空.2 2 2所以圆 C的方程是 (x -)2 (y -空厂125,即 x2 y2 3x-23y 72 = 0.2 2 24 .重视应用在历年的高考试题中， 经常出现解析几何的应用题，如01年的天津理科试题、03年的上海文理科试题、03年全国文科旧课程卷试题、03年的广东试题及江苏的线性规划题等，都是有关解析几何的应用题.例11 ( 04年广东试题)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北 两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中
20、心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)解：如图，以接报中心为原点O,正东、正北方向为 x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B C分别是西、东、北观测点，则A ( 1020 , 0) , B (1020, 0), C (0, 1020)设P (x,y )为巨响为生点，由 A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线 PO 上，PO的方程为y= x,因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=340 X 4=1360x2 依题意得 a=680, c=1020 ,由双曲线定义知 P点在以A
21、B为焦点的双曲线b2上,2 2 2 2 2 2.b2 =c2 -a2 = 1020 -680 = 5 34022 2故双曲线方程为丄y_i68025 3402用 y= x 代入上式，得 x 二 680 5|PB|>|PA|,x 二-680.5,y =680. 5，即P(-680. 5,680 5),故PO =680/0 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 10m处.(二) 05年高考预测1 难度：解析几何内容是历年来高考数学试题中能够拉开成绩差距的内容之一，该部分试题往往有一定的难度和区分度，预计这一形式仍将在05年的试题中得到体现此外，从04年分省(市)命题的情况来看，在
22、文科类15份试卷(含文理合用的试卷)中，有9分试卷(占3/5 )用解析几何大题作为最后一道压轴题，预计这一现状很有可能在05年试卷中继续重现.2. 命题内容：从今年各地的试题以及前几年的试题来看，解答题所考查的内容基本上是椭圆、 双曲线、抛物线交替出现的，所以，今年极有可能考双曲线的解答题此外，从命题所追求的目 标来看，小题所涉及的内容一定会注意到知识的覆盖，兼顾到对能力的要求.3. 命题的热点：(1) 与其他知识进行综合，在知识网络的交汇处设计试题(如与向量综合，与数列综合、与 函数、导数及不等式综合等)；(2) 直线与圆锥曲线的位置关系，由于该部分内容体现解析几何的基本思想方法一一用代数的
23、手段研究几何问题，因此该部分内容一直是考试的热点，相信，在05年的考试中将继续体现；(3) 求轨迹方程.(4 )应用题.四、二轮复习建议1.根据学生的实际，有针对性地进行复习，提高复习的有效性由于解析几何通常有 2 3小题和1大题，约占28分左右，而小题以考查基础为主、解答题 的第一问也较容易，因此，对于全市的所有不同类型的学校，都要做好该专题的复习，千万不能 认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习，并且根据生源状况有针对性地进行复习， 提高复习的有效性.2 .重视通性通法，加强解题指导，提高解题能力在二轮复习中，不能仅仅复习概念和性质，还应该以典型的例题和习题(可以选用04年的各地高
24、考试题和近两年的各地高考模拟试题)为载体，在二轮复习中强化各类问题的常规解法，使 学生形成解决各种类型问题的操作范式.数学学习是学生自主学习的过程，解题能力只有通过学 生的自主探究才能掌握.所以，在二轮复习中，教师的作用是对学生的解题方法进行引导、点拨 和点评，只有这样，才能够实施有效复习.3 .注意强化思维的严谨性，力求规范解题，尽可能少丢分在解解析几何的大题时，有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象，因此，要通过平 时的讲评对易出现错误的相关步骤作必要的强调，减少或避免无畏的丢分.x2例14 (04全国文科I)设双曲线 c： p-y2=1(a> 0)与直线l:x+ y = 1相交
25、于两 a2个不同的点A B.(I )求双曲线C的离心率e的取值范围：5 -(II )设直线I与y轴的交点为P,且PA PB.求a的值.1212解：(I)由C与t相交于两个不同的点，故知方程组!a-y2 =1,有两个不同的实数解.消去y并整理得x + y = 1.(1 a2) x2+2a2x 2a2=0.所以1一宀°4a4 +8a2(1 _a2) >0.双曲线的离心率解得 0 ： a ： 、2且 a = 1.0 : a ：、, 2 且 a = 1,18.e 6 且 e =、22即离心率e的取值范围为(，辽)c、2, ：).2还有，在设直线方程为点斜式时，就应该注意到直线斜率不存在
26、的情形；又如，在求轨迹方 程时，还要注意到纯粹性和完备性等.参考例题例1、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3), B(3,2)，求实数m的取值范围。设BC CA这两条直线的斜率分别 k > k1 或 k w k2, / A(-2, 3) B(3,解：直线 mx+y+2=0过一定点 C(0, -2)，直线 mx+y+2=0实际上表示的是过定点 (0, -2)的直线 系，因为直线与线段 AB有交点，则直线只能落在/ ABC的内部， 为匕、k2,则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足2) k =4k50 3k22C(0,-2) -m> 4 或-mw
27、 -5 即 mW - 4 或 m> 5 3232(0 ° ,90 ° )或(90 ° ,180 ° )内，角 k应大于或等于kBC,或者k小于或说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这 里要清楚直线 mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在 的正切函数都是单调递增的，因此当直线在/ ACB内部变化时，等于kAC当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。例2、已知x、y满足约束条件x> 1,x-3y-w -4,3x+5yI w 30, yI 0: 2x-y=oC / /11A3x+5y-30=0求目标函数z=2x-y
28、的最大值和最小值.解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即6如图所示的阴影部分(包括边界)5作直线10 : 2x-y=0，再作一组平行于 10的直线 ：42x-y=t , t R.3可知，当在l0的右下方时，直线 上的点(x, y)2满足2x-y >0,即t >0,而且直线 往右平移时，t 1O 123456x=1II随之增大当直线 的左上方时，直线当直线 平移至l2的位置时，直线经过可行域上的点平移至h的位置时，直线经过可行域上的点B,此时所对应的t最大；当 在l上的点（x, y）满足2x-y v 0，即t v 0，而且直线 往左平移时，C,此时所对应的t最小.0t随之减小.x
29、-3y+4=0 由 3x+5y-30=0x=1解得点B的坐标为（5, 3）;解得点C的坐标为（1,27).53x+5y-30=02717所以,z最大值=2 X 5-3=7 ; Z最小值=2 X 1-=4 5如果| AB |已知O M： x2，（y-2）2 = 1,Q是x轴上的动点,4 2，求直线MQ的方程；3QA QB分别切O M于AB两点，（1）（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.解：(1)由 | AB 戶4亍2，可得 IMP H .'.'I MA |2Ab1)2 理，得 | MB |2 =| MP | | MQ |,得 |MQ |=3,在 Rt MOC中，|OQ |hJ|M
30、Q |2 -|MO |2 二：32 -225 ,故 a5或 a =5 ,所以直线AB方程是2x 5y -2、5 二 0或2x - 5y 2、5 = 0;(2)连接 mb MQ 设 P(x, y), Q(a,0),由点M, P, Q在一直线上，得 二 2, (*)由射影定理得I MB | -a x 即 Jx2(厂2)2，a24 =1,(*)2_（232宀1 ,由射影定3|2=|MP| | MQ |,并注意到把（* ）及（*）消去1丄（y "）16说明:y 2，可得 x2 （y -7）24适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。x2v22后例4、已知双曲线 2 =1的离心率e，
31、过A（a,0）,B（0,-b）的直线到原点的距离是a2b23、3".（1）求双曲线的方程;2（2）已知直线y二kx 5（k =0）交双曲线于不同的点 C, D且C, D都在以B为圆心的圆上，求k 的值.原点到直线ABX _2 =1的距离 a babab、 3-/a 2 b 2故所求双曲线方程为X2(2)把 y = kx - 5代入 x3 -y22 -3y2=3 中消去 y,整理得 (1 -3k2)x2 -3Okx-78 = O.设 C(x“ yJ,D(X2, y2),CD 的中点是 Egy。)，则XoX1 X215 k1 - 3k 2yo=kx 0 亠 521 3k 2k BEyo
32、1XoXo kyok = 0,即工1 - 3k 21 - 3k故所求k= ± , 7 .=0,又 k=0, k 2说明：为了求出k的值,需要通过消元，想法设法建构k的方程.例5、已知椭圆= 1(a b O)的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。(1 )(2)求椭圆的离心率 e; 设Q是椭圆上任意一点,F1、F 2分别是左、右焦点，求/F1QF2的取值范围;解:(J)T F1(-c,0),则Xm - -c,yMb2b2oac-,OM 与 AB是共线向量， ab2，二 b=c,故ac.2e =2FQ|=r1,F2Q|=r2,NF1QF2=6如 J22 Jr1- r2)2-4c2a2-1 -a22也2贱1 二 0(屮(2)设H *F2 =2a, F1F2 2c,兀当且仅当 r1 =r2时，cos 9 =0,. B 0,。2说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中 与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是: 正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问 题。于A、B两点.