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1、绝对值常考题型分析1. 理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2. 体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用知识梳理一.知识结构框图:二.绝对值的意义:(1) 几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值, 记作|a|。(2) 代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。"(当4为正数)也可以写成：1«1= 0(当“为0)-。(当a为负数)说明：(I ) a20即|a|是一个非负数; (ID |a|概念中蕴含分类讨论思想。例题精讲【题目】已知a、b、c在数轴上位置如图：ba 0 c则代数式丨a丨+丨a
2、+b ! + I c-a | - b-c |的值等于()【选项】A. -3a B. 2c-a C. 2a-2b D. b【答案】A【解析】 a I + I a+b + | ca - | b-c | =-a- (a+b) + (ca) +b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值 的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值 符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符 号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。此题的求解使用了数形结合思想。【知识点】和绝对值有关的问题
3、【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】已知：x<O<z , xy>0,且 | y | > |z | > |x |,那么 x+z + y + z-x- y的值()【选项】A.是正数B.是负数 C.是篆 D.不能确定符号【答案】C【解析】由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以卜+計+卜+十卜-y|= x+z-(y + z)-(x-y)-yqz*=0I分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关 系借助数轴直观、轻松的找到了 X、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。 虽然例題中没有给出数轴，但我们应该有数形结
4、合解决问题的意识。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍.且在数轴上表示这两数的点位于原点的两 侧，两点之间的距离为&求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢）【答案】（1） 6和-2或-6和2； （2） 12和4或-12和-4【解析】分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧” 意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论 的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x,乙数为y由题意得：|x| = 3|y|,（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在
5、原点左侧，y在原点右侧，即x<0, y>0,则4y=8,所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x>0, y<0,则-4y=8 ,所以y=2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x<0, y<0,则-2y=8，所以y=-4,x=-12 若x、y在原点右侧，即x>0, y>0,则2y=8,所以y=4,x=12此题的解答使用了分类讨论的思想。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】2【题目】方程卜一2008（ = 20087 的解的个数是（）【选项】A. 1个 B. 2个 C. 3个
6、 D.无穷多个【解析】分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求 方程a = -a的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相 反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】已知Iab-2i与51；互为相互数，试求下式的值.1 1 1 1+ + + . . +ab (a + l)(b + l) (a + 2)(b + 2)(a+ 2007)(/?+ 2007)【解析】分析:利用绝对值的非负性，我们可以得到：ab-2| = |a-l|=0，解得：a=l,b=271
7、111T + + + 、 ab (a + l)(b + l) (a + 2)(b + 2)(a+ 2007)0 +2007)111 1=+F+2 2x3 3x42008x200911111 1 1=11J- 422334"20082009=12009_ 2008-2009绝对值的非负性，是处理绝对值问题时，常常需要想到的。在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果.同学们可以再深入思考， 如果题目变成求1 1 1 1+F +值，你有办法求解吗有兴趣的同2 x 44 x 66 x 82008 x 2010 学可以在课下继续探究。【知识点】和绝对值有关的问题【
8、适用场合】当堂例题【难度系数】4【题目】观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与一2, 3与5, 2与一6, 4与 3.并回答下列各题：(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗答：.(2) 若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离可以表示为(3) 结合数轴求得卜一2|+卜+3|的最小值为,取得最小值时x的取值范围为(4) 满足卜+ 1| +卜+ 4|>3的兀的取值范围为【题目】若 “2黑则 lxl + lx-ll + lx-2l + lx-3l + lx-4l+lx-5l + lx-6l=【解析】分析：点B表示的数为一I,所以我们可以在数轴
9、上找到点B所在的位置。那么点 A呢因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何 求出A与B两点间的距离呢结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。,:W11'T°-1>:0-10 x当x<-l时，距离为-x-1,当-l<x<0时，距离为x+1, 当x>0,距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为| x+1 | x-2|即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。卜+ 3| =卜一（一3）|即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距 离。如图，X在数轴上的位置有三种可能:图2符合
10、题意同理|x + l|表示数轴上x与-1之间的距离，|x + 4|表示数轴上x与-4之间的距离。本題 即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数 轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-lo说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上 的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实 上，|4 B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很 有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难題。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场
11、合】当堂例题【难度系数】4习题演练【答案】1212002【解析】lxl + lx-ll + lx-2l + lx-3l + lx-4l + lx-5l + lx-6l = x+x- + x-2+3-x+4-x+5-x+6-x=15-戈=12!2002【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【题目】数2003是()【选项】A正数 B负数 C非正数 D零【答案】cI f斗【解析】利用k/l，4>0,知一<0 【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2I Q 丫_ I v II【题目】使代数式的值为正整数的X值是()4x【选项】八正数
12、B负数 C零 D不存在【答案】D【解析】首先x不为0；4l3x-IxII I3x-xl 1 十.十皿知若x>0,则=不为正整数；4x4x 2亠l3x-IxII 13x + xI -4x十看罰若*0,则=一1不为正整数.4x4x 4xI 3 r_ I v II故使代数式竺空的值为正整数的X值不存在。 4%【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【题目】已知a,b,c都是负数，并且lx dl + ly4 + lz小=0,则心它是()【选项】A负数 B非负数 C正数 D非正数【答案】A【解析】由绝对值的非负性，I x-a|=O. | y-b|=O, z-c =0故 x
13、=a, y=b, z=c, xyz=abc 为负数。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【题目】已知d<l,15c5O,avb<c,贝 ia + b + c-b-c-a-c- 的最小值是,敲大值是【答案】2, -1【解析】I d+/?+cl l 方cl I ac II =(a + b + c) + (b-c)+(ac l) = -3c-ll-l<c<0,故一3c-1最大为2,最小为-1【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3题目方程lx-2l + lx + 3l=6的解的个数() 【选项】A 1【答案】B气 7【
14、解析】分三种情况讨论，可得X的两个解厂-3【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3如果 2a + Z? = 0,贝 ijl 丄一 11 + 1 凹一21=【题目】b【答案】3【解析】b = -2a、于是可以分类讨论：若辺>0,则 b<0, I -ll + l -2I=I-1I + I-2I bbb b若 *0,则 b>0, I丄一11 + 1 匕一21=1 巴一 1I + I_#_2I bbbb=| 一丄-ll + l 丄一2|=32 2【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】如果“ + /?-c>0,G-b
15、+ c>0,-"+b + c>0,/ b 2002 仿)【选项】【答案】A【解析】已刍？占均为1或t，于是口严，(刍严,(严均为i.即可得答案。11 b Iclab I cl【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】If a.b, c, d are rational numbers,"'"and16/ - Z? - c + i/1= 25, then b-a-d c 1=<【答案】-7【解析】近年来，每年希望杯都会有英语题。这需要学生对于一些数学名词的英语要了解, 比如rational numbers是实数
16、的意思。另外还需要知道lx ylSlxl + lyl (画出数轴，分析可得)于是 25 = |(a-b)-(c-d)|6/-/?l + lc-JI< 25,于是a-b=9Jc-d=6,b-a-d-c=>-7【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】已知a,b,c都是整数，匸l" + 4 + " cl + ld cl,那么【选项】A .m 定是奇数.一定是偶数.C.仅当a,b,c同奇或同偶时，m是偶数.的奇偶性不能确定【答案】B【解析】若a,b奇偶性相同，则b-cfa-c奇偶性相同，a+b,b-c + a-c为 偶数，m为偶数。若a
17、,b奇偶性不同，则b-cAa-c奇偶性不同，a+bfb-c + a-c都为奇数，m为 偶数。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】如果I加-31 +(» + 2)2 = 0,则方程3mx +1 = x +加I勺解是3【答案】x = -8【解析】I加一3l+(n + 2)2=0,由平方和绝对值的非负性，可得加= 3,“=2,解方程即可得。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3题目】不等式(1尤1+朗(1-尤)<0的解是一【答案】x>l【解析】(1)当x>0时；原不等式可化为：2x(l-x)<0，解得
18、:x>l(2) x=0 时；原不等式没有解.(3) x<0 时；(-x+x) (1-x)<0.0(l-x)<0,故原不等式没有解. 综上所述，原不等式的解为：X>1.【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4题目1兀+11 + 1兀一11的最小值是【答案】2【解析】利用数形结合可得。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【题目】Blxl<l,ljl<l,fiu=lx+yl + ly + ll + l2y-x-4l,则"的瑕大值和最小值的和是【答案】10【解析】|y+l|=l+yI2y-x-4
19、 =|(2y-x)-4|=4-(2y-x)(1) x+y>二0,u=x+y+1+y+4-(2y-x)=2x+5(2) x+y<0,u=-(x+y)+l+y+4-(2y-x)=-2y+5故最大值7,最小值3.【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】彼此不相等的有理数a.btc在数轴上对应的点分别为A.B.C.如果 a-b + b-ca-c那么八出工,位置关系是_.【答案】B在A, C之间【解析】数形结合分析可得【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】某公共汽车运营线路AB段上有A, B.C.D四个汽车站，现在要在AB段上修建一个加 油站为了使加油站选址合理，要求A.B.C.D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试 分析加油站M在何处选址最好ACD【答案】CD上【解析】设A, B, C, D在数轴上面表示的数为a.b.c.d, 则路程总和为 I xa | +1 xb | +1 x-c | + J xd I!x-a|+ x-b最小值在AB上取到；|x-c|+ x-d|最小值在CD上取到。故选址在CD上x-a| +1 x-b| +1 x-c | + x-d|取到最小值。 【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4