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1、一日方向思维22. 2 一元二次方程的解法1 .直接开平方法和因式分解法知识与技能：1 .会用直接开平方法解形如a D ：=b （aWO, '20）的方程.2 .灵活运用因式分解法解一元二次方程.3 .使学生了解转化的思想在解方程中的应用.过程与方法：创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.情感态度：鼓励学生积极主动地参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功, 增强学习的兴趣和自信心.教学重难点：重点：利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.难点：合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：
2、怎样解方程（G1）=256?解：（方法1）直接开平方，得田仁±16.所以原方程的解为m=15, x：=T7.（方法2）原方程可变形为（户1） =-256=0.方程左边分解因式，得（田1+16）（田1-16）=0,即（户17）（4-15） =0.所以/17=0或行15:0.所以原方程的解为*二15,系二-17.【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1用直接开平方法解下列方程：（1） （3w1） =7： （2） ,+2户1 =24： （3） 93-24916nl.解：（1）直接开平方，得3廿1二土所以原方程的解为田三口二.3（2）原方程可变形为（产1） =
3、24.直接开平方，得产1二±2而.所以原方程的解为卡T ± 2几.1(3)原方程可变形为(,士):=-.39直接开平方，得丁士二士业.33所以原方程的解为卡兰业.3【教学说明】运用开平方法解形如(底加三(，0)的方程时，最容易出现的错误是漏掉 负根.例2用因式分解法解下列方程：(1) 5Y-40：(2) 3.v (2升 1)二4/2：(3)(产5)三3/ 15.解：(1)方程左边分解因式，得x (5.l4) =0.所以 x=Q 或 5Al4=0.所以原方程的解为*:0,出二士.5(2)原方程可变形为6H-厂2:0.方程左边分解因式，得6 (AT三)(田,)=0.32所以工一
4、3=0或廿! =0.32所以原方程的解为生二一2.32(3)原方程可变形为f+7/10=0.方程左边分解因式，得(田2)(田5) =0.所以户2=0或a-+5=0.所以原方程的解为m=-5. x：=-2.【教学说明】解这里的(2) (3)题时，注意整体化归的思想.三、运用新知，深化理解1 .用直接开平方法解下列方程：(1) 3 (1) :-6=0；(2) 丁-4升4=5；(3)(/5)三25：(4) Y+2aH-1=4.解：(1) M= 1+后，照二 1一拉.(2)生=2+石,廿2一".(3)生二0,出二一10.(4) xk1,照二一3.2.用因式分解法解下列方程：(1) y+.Y=
5、0； (2)产0： (3) 39一60一3： (4) 4/-121=0； (5) C-4)三(5-2x); 解：(1) M=0, X：=-l.(2) xk0,止二2vLx尸七二1./,、11II(4) Xi , x：.22(5 ) xk 1, Xz=3.3.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程为2"(aH-5)=.解得吊=5+5 a , x：二5-5五(舍去).答：小圆形场地的半径为(5+5V2 ) m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1 .引导学
6、生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2 .对于形如a (方上)z=b (aWO, 620)的方程，只要把 D 看作一个整体，就可将其 转化为dr "20)的形式用直接开平方法解.3 .当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解 法解.五、教学反思本行课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨 论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分 解法，在整个教学过程中注意整体化归的思想.2 .配方法知识与技能：1 .使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2
7、 .在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.过程与方法：通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.情感态度：学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的 兴趣.教学重难点：重点：使学生掌握用配方法解一元二次方程.图书出版| K12在线教育|电商培养学子全球视野一日方向思维难点：发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m,且面积为16m场地的长和宽分别是多少？ 设场地的宽为xm,则长为(田6) m.根据矩形的面积为16得到方程为x (肝6)=16.整理，得上+616:0.【教学说明】创设实际问题
8、情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求 知欲.二、思考探究，获取新知探究：如何解方程J+6.l16=0?问题1：通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边 是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即(/加三a(20),运用直接开平方法可求 解.问题2：你会用直接开平方法解下列方程吗？(1)(/3)三25； (2)金+6升9=25； (3) 3+6户 16： (4)片+6犷 16=0.【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将/+6.L16R转化为(/3)三25的 形式，从
9、而求得方程的解.解：(1)移项，得/出石16.两边都加上9,即(£)二，使左边配成¥+8户臣的形式，得¥+6-什9=16+9, 2左边写成完全平方形式，得(户3) ：=25.开平方，得/3二±5,(降次)即行3=5或肝3=-5.解一次方程，得品=2,肥二-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可 以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法.例1填空：( 1) Y+8.rr 16 = (a+ 4 ) :； (2) Y-aH-L=(3) 4x'+4aH"1 =(2x+l)-42例2解方程
10、：(1)密+6.什5=0：(2) 2+6/2=0：(3) (1+x),+2 (1+*) -4=0.解：(1) *二一1,至二一5.(3) xf屈-2,死二一石一2.4【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式或丫-+6/40；（2）把常数项移到方程的右边：（3）方程两边同时除以二次项系数a：（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方：（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1 .用配方法解下列方程：（1） 2.£-4.广8=0： （2）4'-4.
11、什2=0： （3） Y- .rl=O.22.如果一一4户炉+6户曰工+13=0,求（灯）'的值.【答案】1 .解：（1）而=1+不，jv：=1- >/5 .2 2） x户一及+2, .¥=72+2.仆 , I , V17_ 1 V17（3）%+, Xz -44442.解：由题意知，户2,尸-3,广-2,所以（切,）三（-6）-三36【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1 .用配方法解一元二次方程的步骤.2 .用配方法解一元二次方程的注意事项.五、教学反思本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过
12、的 直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.3 .公式法知识与技能：1 .理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2 .会熟练运用公式法解一元二次方程.过程与方法：通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般 的关系.情感态度：经历探索求根公式的过程，培养学生的抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.教学重难点：重点：求根公式的推导和公式法的运用.难点：一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）£+3/2=0： （2） 2d-3行5=0.解：（1）占二-1,及二-2. （
13、2）无解.二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式af+6.什40 （aHO）,你能否用上面配方法的步骤求 出它们的两根？问题：已知aJ+AH40 （aWO）,试推导它的两个根：_ -b + yh）2-4ac_-b-Jb2-4acX，, £=2a2a【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a, b,。也当成具体的数字，根 据上面的解题步骤就可以推导下去.探究：一元二次方程af+8/40 （aWO）的根由方程的系数a, b, c而定，因此， （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式a.f+6.什40,当疔-4ac20时，将a.小代入式子户二g三就得到方程
14、的根，当心行。时，方程没有实数根.（2）田士李二竺叫作一元二次方程/+6/U0 （介0）的求根公式. 2a（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功 的喜悦，可让学生小组展示.例1用公式法解下列方程：2f-4犷 1=0：5/2二3/；（犷2） （3.l5） =0：4丁-3/1=0.解：上k1+殳，短=1业. 22至二2, &二-；.乂二2, .?：= I.无解.【教学说明】（1），要先化成一般形式：（2）强调确定a, b,。的值，注意它们的符号;(3)先计算A4ac的值,再代入公式.三、运用新知，深化
15、理解用公式法解下列方程：(1)声.12=0：(2) x-4 - =0；(3) /+4田8=2户11：4(4) a* (-v4)=2-8*：(5) Az+2.y=0；(6) Y+2 V5 <¥+10=0.解：(1) 上尸3,无二一4.(2)行坛旦照二更立2 23 3) x尸 1,照二-3.(4 ) X尸-2+ yb , Xu=-2一而.(5) *二0,及二一2.(6)无解.【教学说明】用公式法解方程的关键是要先将方程化为一般形式再求解.四、师生互动，课堂小结1 .求根公式的概念及其推导过程.2 .公式法的概念.3 .运用公式法解一元二次方程.五、教学反思在学习活动中，要求学生主动
16、参与，认真.思考，比较观察，交流与表述，体验知识获取 的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.4. 一元二次方程根的判别式知识与技能：1 .能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证.2 .会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.过程与方法：1 .经历一元二次方程根的判别式的产生过程.2 .向学生渗透分类讨论的数学思想.3 .培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.情感态度：1 .体验数学的简洁美.2 .培养学生的探索、创新精神和协作精神.教学重难点：重点：根的判别式的正确理解与运用.图书出版I K12在线教育|电商培养学子全球视野一
17、日方向思维难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用.一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程：(1) Y+5-rr6=0： (2) 93，-6/1=0： (3)父-2升3二0.解：(1)义二一2, jv：=-3.(2) x尸毛.3(3)无解.【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识.二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a, b, c的值，再求 出4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把厅-4ac叫作一元二次方程根的判别式，通 常用符号“ 4 ”来表示,即我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：();二吐学.2a4
18、 a2【归纳结论】(I)当4>0时，方程有两个不相等的实数根：<一"+Mi,2。肥一(2)当4=0时，方程有两个相等的实数根：自三片一二：2a(3)当zKO时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况：(1) 2x-3.r =0； (2) 16a'-24a(+9=0： (3)父-4应/9=0： (4) 3f+10户2父+8乂 2解：(1)有两个不相等的实数根.(2)有两个相等的实数根.(3)无实数根.(4)有两个不相等的实数根.例2 当s为何值时，方程(加1) /- (2/zr3) aH-zzH-I=O.(1)有两个不相等的实数根：(2)有两个相等
19、的实数根；(3)没有实数根.解：(1)加L且万产一1.(3) m>-. 4【教学说明】注意（1）中的冰1工0这一条件.三、运用新知，深化理解1.方程d-4升4=0的根的情况是（A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知d+2产叱1没有实数根，求证:/+g=1-2卬必有两个不相等的实数根.【答案】1. B 2证明：於吃户始1没有实数根,4-4 (1-/B)<0.解得欣0.将方程父+m=1 -2s化为x+nix+2/n-l=Q,;成0,.4>0, ./+心=1-2勿必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课
20、堂小结1 .用判别式判定一元二次方程根的情况：（1）当40时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）当4二0时，一元二次方程有两个相等的实数根.（3）当4<0时，一元二次方程无实数根.2 .运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生先分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.五、教学反思本节课创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时 的点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新 意识、创新精神及思维能力.5. 一元二次方程的根与系数的关系知识与技能：1 .引导学生在已有的一元二次方
21、程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系， 及其关系的运用.2 .通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程.过程与方法：通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生 图书出版I K12在线教育|电商培养学子全球视野发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.情感态度：在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的 习惯.教学重难点：重点：一元二次方程根与系数之间的关系的运用.难点：一元二次方程根与系数之间的关系的运用.一、情境导入，初步认识1 .完成下列表格：方程阳J*1心心a 2 - 5.v + 6
22、 = 0一356?+3.r-10=02-5-3-1()问题：你发现了什么规律？用语言叙述你发现的规律；（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）设方程x'+p/妙0的两根分别为M，如用式子表示你发现的规律.（M+后”Xg二0）2 .完成下列表格：方程-v2阳+vi 42a2-3x-2=09. y32-i3.v2 -4.V + I =0X3i43i3问题：上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）请完善规律：用语言叙述你发现的规律；（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之 积为常数项与二次项系数之比）设方程包5+6/声0的两根分别为用,左，用式子表示你发现的规律.（石+
23、必二-色，泾生二£）a a二、思考探究，获取新知通过以上的活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程己/+6什0:0«中0）这一规 律是否成立？试通过求根公式加以说明./+b4"0的两根分别为xjZij 或二土近二%,则以+%=-2, Xg二二2a2aa a【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过 程，加深对知识的理解.例1不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1) Y-6.vrl5=0：(2) 3Y+7a9=0；(3) 5a1=4Y.解：(1)必+出二6,田死二一15.7(2 ) -Ti+-¥2="
24、; , %x：F-3.3(3) X+x二-,石£二一 44【教学说明】先将方程化为一般形式，再找出对应的系数.例2已知方程2十二+左L9:0的一个根是-3,求另一根及以的值.解：另一根为之，k=3.【教学说明】此题有两种解法，一种是根据根的定义，将户-3代入方程先求上 再求另一 个根：一种是利用根与系数的关系解答.例3已知% £是方程3k5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值.(3) a-p.(3)寸-3升2=10；(6) (2U1)三(3-x) (1) - + -：(2)储+ 夕2：a (3解：(1)a p 5(2)屋+歹2=19.(3) a - /7二a或。一尸二一病
25、.三、运用新知，深化理解1 .不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)才“-3卡 15：(2) 5a*-1=4Y；(4) 4x:-144=0：(5) 3x (,l1) =2 ClI)：2.两根均为负数的一元二次方程是()A. 7x"-12升5=0B. 6才“一13r5二0C. 4x+2Lrr5=0D. y+lS-rSO【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积 为正数.【答案】1.解：(1) *£+至=3, MMF-15.(2)生+m二0, m及二一L(3)吊+比二=3, 乂死二一8.(4) -Yi+.Yz=Ot afiA：=-36.11(5 ) Xi+x二二一,-Yi-Y*= 33/八 ,_ 28(b)生+劣广一 一,%*二二一一.332. C【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互动，课堂小结1. 一元二次方程的根与系数的关系.2. 一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.五、教学反思本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的 根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑 思维能力.图书出版| K12在线教育|电商培养学子全球视野