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1、圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律一、圆锥曲线1椭圆(1)定义定义 1：平面内一个动点到两个定点F12的距离之和等于常数1 2、F(大于 |F F |)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点 )定义 2：点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常c数 e (0 e 1) 时，这个点的轨迹是椭圆 a(2)图形和标准方程图 8 1的标准方程为：x2y 21(a b 0)a2b2图 8 2的标准方程为：x 2y 21(a b 0)b2a2(3)几何性质条件M|MF 1 |+|MF 2 |=2a ， 2a |F1F2 |MF1|MF2 |， M| 点 M 到 l 1的距离= 点M 到
2、l 2 的距离 = e0e 1标准方程x 2y 21(ab 0)x 2y21(a b 0)a2b2b2a2顶点A1 ( a ， 0)， A2(a ， 0)A1(0 ， a)， A 2(0 ， a)B1(0 ， b) ， B2(0 ， b)B1( b ， 0) ， B2 (b ， 0)轴对称轴： x 轴， y 轴长轴长 |A1A2|=2a ，短轴长 |B1B2|=2b焦点F1( c ， 0)， F2(c ， 0)F1(0 ， c)， F2(0 ， c)焦距|F1F2|=2c(c 0)， c2=a2 b2离心率e c (0e1)a准线方程l1 ：xa2； l2 ：x a2l1 ： ya2；l2 ：
3、 y a 2cccc焦点半径|MF 1| a ex0 ，|MF 1| a ey0 ，|MF 2| a ex0|MF 2| a ey0外点和椭圆x 02y 021(x0 , y 0 ) 在椭圆上的关系a2b 2内(k 为切线斜率 )，b2(k 为切线斜率 )，y kx± a2 k 2y kx± b2 k 2a2切线方程x 0 xy 0 y1x 0 xy 0 y1a2b2b2a2(x 0 ， y0)为切点(x0 ， y0)为切点切点弦(x 0 ， y0)在椭圆外(x0 ， y0)在椭圆外x 0 xy 0y1x 0 xy 0 y1方 程a 2b2b2a2|x 2 x1 | 1 +
4、 k 2 或 |y 1 y 2 | 1 +1弦长公式k 2其中 (x1 ， y1) ，(x2 ， y2)为割弦端点坐标，k 为割弦所在直线的斜率2双曲线(1)定义定义 1：平面内与两个定点F121 2|)的点、F 的距离的差的绝对值等于常数(小于 |F F的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)定义 2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)(2)图形和标准方程e(e1)时，图 83 的标准方程为：x2 y222 1(a 0， b 0)ab图 84 的标准方程为：y2 x222 1(a 0， b 0)ab(3)几何性质条件标准方程
5、顶点轴焦点焦距离心率准线方程渐近线方程共渐近线的双曲线系方程P M|MF 1 | |MF 2 | 2a ， a 0 ， 2a |F1F2| |MF1|MF2| ， PM| 点 M 到 l1 的距离点M 到 l 2 的距离e e1x 2 y 2 1(a 0，b 0)y2 x 2 1(a 0，b 0)a 2b2a2b 2A1( a ， 0)， A 2(a ， 0)A 1(0 ， a)， A2(0 ， a)对称轴： x 轴， y 轴，实轴长 |A1A2| 2a ，虚轴长 |B1B2| 2bF1( c ， 0)， F2 (c ， 0)F1(0 ， c)， F2 (0 ， c)|F1F2 | 2c(c
6、0) ， c2 a2 b2e c (e1)al1 ： x a2； l2 ：x a2l1： y a2； l2 ：y a2ccccy± b x( 或 x 2 y 2 0)y± a x( 或 y 2 x 2 0)aa2b2ba2b2x 2 y 2 k(k 0)y 2 x 2k(k 0)a2b 2a2b2焦点半径切线方程|MF 1| ex0 a ，|MF 2| ex022ab2y kx ± a k(k 为切线斜率 ) k b 或 k baax 0 x y 0 y1a 2b2(x 0 ， y0 )为切点xy a2 的切线方程：x 0 y2|MF 1 | ey0 a ，|MF
7、 2 | ey022aa2y kx ± b k(k 为切线斜率 )k a 或k abby0 y x0 x 1a2b2(x， y)为切点y 0 x 020 a(x 0 ，y 0 ) 为切点(x 0 ， y0)在双曲线外(x0 ， y0) 在双曲线外切点弦x 0 xy 0 yy 0 yx0 x方 程a22 1a22 1bb|x 2 x 1 | 1 + k 2 或 |y 1 y 2 | 1+ 1弦长公式k 2其中 (x1 ， y1 )， (x2， y2) 为割弦端点坐标，k 为割弦所在直线的斜率3抛物线(1)定义平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F
8、叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离 p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离弦长公式：设直线为ykx b抛物线为 y 2 2px，|AB| 1k 2|x 2 x 1 | 11k 2|y 2 y 1|焦点弦长公式：|AB| p x1 x24圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离
9、心率，用e 表示，当0e 1椭圆，当e 1 时，是双曲线，当e 1 时，是抛物线二、利用平移化简二元二次方程时，是1定义缺 xy 项的二元二次方程 Ax 2Cy2 Dx Ey F 0(A 、 C 不同时为 0)，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程A C 是方程为圆的方程的必要条件A 与 C 同号是方程为椭圆的方程的必要条件A 与 C 异号是方程为双曲线的方程的必要条件A 与 C 中仅有一个为0 是方程为抛物线方程的必要条件2对于缺 xy 项的二元二次方程：Ax 2 Cy2 Dx Ey F 0(A ，C 不同时为 0)利用平移变
10、换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：待定系数法；配方法椭圆： ( x h) 2 ( yk ) 21或 ( xh) 2 (yk ) 2 1a2b2b 2a2中心 O (h， k)(x h)2(y k )2( y k)2( x h)2双曲线：a2b21或a2b2 1中心 O (h， k)抛物线：对称轴平行于x 轴的抛物线方程为(y k)22p(x h)或 (y k)2 2p(x h)，顶点 O (h， k)对称轴平行于y 轴的抛物线方程为：(x h)22p(y k)或 (x h)2 2p(y k)顶点 O (h， k)以上方程对应的曲线按向量a ( h， k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式