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1、第五讲平均数问题1. 求下列 20 个数的平均数：306， 312， 306， 308， 314， 304，318， 311， 313，315，314， 310， 310， 320， 300， 316，320， 312， 314，315。解：这是一道很简单的题目，可能计算能力很强的同学能够很快算出来。但是如果掌握了平均数的思想，一定可以算得更快。我们观察每一个数，发现它们都是3位数，而且都是300 加上一个不大的数。这样，我们只计算每个数的十位和百位，算出平均数再加上300，就得到这 20个数的平均数。把每个数都减去 300，然后求其平均数：(6+12+6+8+14+4+18+11+13+15
2、+14+10+10+20+0+16+20+12+14+15)÷20 11.9那么原来的20 个数的平均数为300+11.9 311.92. 某8 个数的平均数为50，若把其中的一个数改为90，则平均数变成了60。问被改动的数原来是多少？解： 8 个数的平均数由80 变成了90，那么它们的总和增加了多少也就可以知道了。因为只有一个数变了，这个数变化的值也就可以知道了。8 个数的总和增加了（90 80）× 8 80所以被改动的数增加了80，那么它原来是90 80 103.7 个数的平均数是29，把 7 个数排成一列，前3 个数的平均数是25，后 5 个数的平均数为38，则第三个
3、数是多少？解：前三个数的和为25×3=75后五个数的和为32×5=160这 8 个数的和为 160+75=235其中包含着7 个数的和与第三个数的和7 个数的和为29×7=203所以第三个数是235-203=32 。4. 五位裁判员给一名体操运动员评分后，去掉一个最高分和一个最低分, 平均得9.58 分; 只去掉一个最高分 , 平均得 9.46 分 ; 只去掉一个最低分, 平均得 9.66 分 . 这个运动员的最高分与最低分相差多少?解：最低分 : 9.464-9.583=9.10(分 )最高分 : 9.664-9.583=9.90(分 )最高分与最低分相差 :
4、9.90-9.10=0.8(分 )5. 某校有70 名男同学及若干女同学参加数学竞赛，平均分为63 分，参赛男同学平均分为60 分，女同学平均分为70 分，那么该校有多少女同学参赛？解：因为女同学平均分为70 分，男女同学的总平均分为63 分，女同学平均分高出男女同学混合平均分70-63=7分。这也就是说每个女同学都应该调剂给男同学7 分。而女同学调剂给男同学的总分数（ 63-60 ）× 70=210（分）；女同学人数 210÷（ 70-63 ） =30（人）。所以该校共有 30 名女同学参赛。6.A 、 B、 C、 D 四个数 , 每次去掉一个数, 将其余下的三个数求平均
5、数, 这样计算了4 次, 得到下面4个数.23,26,30,33A、 B、C、 D 4个数各是多少？解：四个数之和为：23+26+30+33=112四个数分别为：112-23× 3=43112-26 × 3=34112-30 × 3=22112-33 × 3=137. 有四个数，每次选其中 3 个，算出它们的平均数，再加上另一个数，用这种方法，计算了四次，分别得到以下四个数， 86，92， 100， 106 那么原四个数的平均数是多少？解：设四个数为a, b, c, d则由于四次结果各个不同，所以恰好四次抽取的是不同的三个人，不妨得到如下结果13
6、15;（ a+ b+ c ） + d =8613 ×（ a+ b+ d ） + c=9213 ×（ a+ c+ d ） + b=10013 ×（ b+ c+ d ） +a=1061将这四个式子相加3 ×（ 3a+3b+3c+3d） +a+b+c+d=384所以 2×（ a+ b+ c+ d）=3841所以四个数的平均数4 ×（ a+ b+ c+ d）=384÷8=48。8. 某人骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12 千米，下桥速度为每小时24 千米。而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿。问这个人骑车过这座桥的平均
7、速度是每小时多少千米？解：题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便。仔细想一想，只要上下桥路程相等，总路程是不影响平均速度的。我们自己设一个路程好了。总路程是不影响平均速度的，为计算方便，不妨设为48 千米。来回两段路，所以每段路是（千米）总时间是24÷ 12 + 24 ÷24 3（小时）所以平均速度是48÷ 316（千米 / 小时）48÷2=249. 老师在黑板上写出了若干个从 1 开始的连续自然数 1， 2， 3，, ，后来擦掉其中的一个数，剩下的数的平均数是 10.8 。求被擦掉的那个自然数。解：首先我们要估计一下大概有多少个自然数，然后才有分析
8、讨论的可能。假设老师没有擦掉任何数，那么前n 个正整数的平均数是(n 1) × n÷ 2÷ n (n 1) ÷ 2如果这个数是10.8 ， n 应该是 19.6 ，这不是一个整数。那么我们看接近它的整数：前 19 个正整数的平均数是 (19 1) ÷ 2 10，比 10.8 小。那么只要擦掉一个较小的数就能提高平均值。擦掉一个数后剩下 18 个，那么擦掉的数是：10× 19 10.8 ×18 4.4这既不是一个正数也不是一个整数，当然不行。而且我们发现，如果按前18 个数计算，那么擦掉的数是9.5 × 18 10.
9、8 × 17 12.6这比刚才更远离实际了，所以将数列缩短肯定是一个错误的趋势。那么我们看增长数列会怎样：前 20 个正整数的平均数是 (20 1) ÷ 2 10.5擦掉一个数后剩下19 个，那么擦掉的数是：10.5 ×20 10.8 × 19 4.8虽然这还不是一个整数，但比刚才有了进步，因为是个正数了。那么数列长度增长到21 时，擦掉的数是11× 21 10.8 ×20 15这就是完全可能的了。10.8 至少要乘以5 的倍数才会出现整数，那么我们把数列长度再增长5，看看数列长度为26 时会发生什么情况：(26 1) ÷
10、2× 26 10.8 × 25 8181 根本还没被老师写到黑板上。这时这个方向的趋势也被我们否定了。所以老师擦掉的数是 15。10. 某次数学竞赛原定一等奖奖的学生的平均分提高了10 人，二等奖20 人，现在将一等奖中最后4 人调整为二等奖，这样得二等1 分，得一等奖的学生的平均分提高了3 分。那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？解： 4 个人调整为二等奖，使得二等奖平均分提高了1 分，也就是这4 个人可以 “捐献” 给每个人1 分（总共20 分，平均每人“捐献”5 分），使自己依然留有提高了1 分的平均分。这样，相当于这 10 个人中减去了4 个被划为二等奖的人
11、平均高出原有的二等奖平均分6 分。4 个，平均分提高3 分。这个条件如果反过来用，就是“在其余6 个一等奖中加上这4 个人，平均分降低3 分”。这就和刚才的条件类似了。可以假设6 个一等奖每人拿出3 分（共18 分）分给 4 个变成二等奖的人（平均每人分到4.5 分），那4 个人才能达到降低了3 分的平均分。注意：“降低了3 分的平均分”实际就是没有提高前的一等奖平均分，这也就相当于原有的一等奖平均分比那4 个人的平均分高4.5 分。这样一来，就有这样的关系：原一等奖平均分 4.5 原二等奖平均分 + 6通过这个式子，我们得到原一等奖平均分比二等奖平均分多的分数，就是这两个数的和：4.5+6
12、10.5 分。作业：1. 有几位同学参加语文考试低 5 分 , 他们的平均分就只得, 赵峰的得分如果再提高87 分 , 那么这些同学共有13 分 , 他们的平均分就达到_人 .90 分 , 如果赵峰的得分降答案：6人(13+5)(90-87)=6(人)2. 有四个数每次取三个数 , 算出它们的平均数再加上另一个数 , 用这种方法计算了四次 , 分别得到以下四个数 :86, 92, 100, 106那么原 4 个数的平均数是_ .答案： 48(86+92+100+106)24=483. 甲、乙、丙三人一起买了 8 个面包平均分着吃 , 甲拿出 5 个面包的钱 , 乙付了 3 个面包的钱 , 丙没
13、付钱 . 等吃完结算 , 丙应付 4 角钱 , 那么甲应收回钱_分 .答案： 35 分4038=15( 分 )155-410=35( 分 )4. 今年前 5 个月 , 小明每月平均存钱4.2 元 , 从 6 月起他每月储蓄6 元, 那么从哪个月起小明的平均储蓄超过5元?答案： 10 月份10 月份起超过 5 元 , 以 5 元为基数 , 前 5 月平均每月少 5-4.2=0.8( 元 ),6 月起平均每月增加 6-5=1( 元 )(5-4.2)5 (6-5)=4从 6月起 ,4个月后每月平均储蓄就超过5 元 .5. 甲班有 51 人，乙班有 49 人，甲班平均分 80 分，乙班平均分 90 分，那么两个班平均分为多少？答案：甲班的总分 51× 80=4080 分乙班的总分 90× 49=4410 分两个班级的总分为 4080+4410=8490 分两个班级的总人数为49+51=100 个所以两个班的平均分数为8490÷100=84.9 分。