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1、精品资源第四讲数学归纳法证明不等式单元整合欢迎下载知识络.数学归纳法原理数学归纳V 法贝努利不等式证明不等式f其他不等式:整除问题 几何问题 数学归纳法应用 等式问题专题探究专题一正确使用数学归纳法同学们在刚 学习数学归纳法时，常常会遇到两个困难，一是数学归纳法的思想实质不 容易理解，二是归纳步骤的证明有时感到难以入手.本专题将对两种常见的错误进行讨论、 整理，以帮助学生进一步理解数学归纳法的原理，弄清它的实质，从而明确如何正确地使用数学归纳法.(1)缺少数学归纳法的第二步.有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立，那么由P(k)成立导出P(k+1)成立是必然的，因此第二步归纳步骤是流于
2、形式， 证与不证似乎一样，显然这是不正确的.产 生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用，如果没有递推性，那么一个命题可能对于开头的许多自然数都成立，但是一般的并不成立，我们举几个例子看看.n十七世纪法国卓越的数学家费尔玛考查了形如22十1的数，n=0,1,2,3,4 时，它的值分别为3,5,17,257,65 537. 这5个数都是质数.因此费尔玛就猜想：对于任意的自然数 n, 式子22n+1的值都是质数.但是在十八世纪另一位卓越的数学家欧拉指出n=5时，252 +1 =4 294 967 297 = 641 X 6 700 417.是个合数，费尔玛的猜想错了.这就充分说明我
3、们不能把不完全归纳法当成证明，用数学归纳法证明时第二步不可缺 少.(2)缺少数学归纳法的第一步.也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用，而且k又可以任意取值，这样就够了，有没有第一步 R1)无关紧要.这种认识也是错误的，它忽视了第一步的奠基作用，因为如果没有P(1)成立，归纳假设P(k)成立就没有了依据，因此递推性也就成了无 之水，无本之 木，下面我们看一个这样的例子.【例】如果不要奠基步骤，我们就可以证明(n+ 1) 2+ ( n+ 2)2一定是偶数(n C N+).剖析：假设n=k时命题成立，即(k+1)2+(k+ 2) 2是偶数.当n=k+ 1时,(k+ 1) + 12+ ( k+ 1
4、)+22=(k+2)2+(k+1)2+4(k+1) +4=(k+1)2+(k+2)2 + 4(k+2).由假设(k+1)2+(k+2)2是偶数，又4( k+2)也是偶数，所以上式是偶数，这就是说n=k+1时命题也成立.由此，对于任意的正整数 n, (n+1)2+(n+2)2一定是偶数.这个结论显然是错误的，原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤，实际上，n=1时，(1 + 1)2+(1 +2) 2=4+9= 13不是偶数，这说明使用数学归纳法时缺第一步不可.应用用数学归纳法证明，对于nC N+,1X2 +2X3 + 3X4+ + n(n+1)nn+ 1证明：(1)当n= 1时，左边=T-r=-,右
5、边=-, 1 A z 22所以等式成立.(2)假设n= k时等式成立，即1X2 +2*3+3><4+ + k(k+ 1)当n = k+1时,111111X2 +2X3 + 3X4 + ,"+ k(k+ 1) + (k+1)( k+2)k1k+1-kT7 + (k+ 1)( k+2) -k+2.由(1)(2)可知，对于任意的 nC N+,所证等式都成立.专题二数学归纳法证题的几种技巧在使用数学归纳法证明时，一般说 ，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较 复杂.因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“ Rk)”是问题
6、的条件，而命题Rk+1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧.1.分析综合法用数学归纳法假设证明关于正整数n的不等式，从“ P(k)”到“ Rk+1)”，常常可用分析综合法.应用11求证：对任意正整数 n,有13 + 23+ 33+ n3=(1 +2+ n)2成立.提示：这是一个等式证明问题，它涉及全体正整数，用数学归纳法证明.用数学归纳法证明恒等式，关键是第二步要用上假设，证明 n=k+1时，原等式成立.证明：(1)当n= 1时，左边=1,右边=1,左边=右边，所以原等式成立.(2)假设当 n=k(kCN+, k>1)时
7、，等式成立，即 13+23+ - + k3= (1 +2+ - + k)2.当 n = k+i 时，13+23+ k3+(k+l)3=(1 +2+ + k)2+(k+1)3跖k+ 1)3=法+4"+1)12、乙1D)=1+2+一k+(k+l) 2,即当n=k+ 1时，原等式也成立.综合（1）（2）可知，又任何nCN+,原等式都成立.应用2设a, b为正数,n Nk ,求证:提示：这是一个不等式证明问题，它涉及全体正整数n,用数学归纳法证明., a+ b a+ b _ ,证明：（1）当n=1时，,显然成立.（2）假设当n=k（kCNk, k>1）时，不等式成立,ak+bk 即一a
8、 + b:-2-则n=k+1时，要证明不等式成立，即证明ak+1 + bk+1a+b'k+1 T.ak+bk在一i'a+b'k ,> ，一 a+b -f两边同时乘以7得(a+b)( ak+ bk)自+b +1412 J .ak+1 + bk+1 要证明一2一亨只需证明ak+1 + bk+1 (a+b)( ak+ bk)>因为a"1 + bk+1224Ja+b)( ak+bk)云4u 2（ak+1+bk+1） >（a+ b）（ ak+bk）u 2（尸+1）-（b+ abk+bak +bk+1） >0u ak+1-abk-bak+ bk+1
9、>0u（ a - b）（ ak- bk） >0.又a b与（akbk）同正负（或同时为0）,所以最后一个不等式显然成立，这就证明了当n= k+ 1时，不等式成立.综合（1）（2）可知，又壬何nC N+,不等式 既也'岛2）成立.2 .放缩法涉及关于正整数n的不等式，从“ k”过渡到“ k+1”，有时也考虑用放缩法.应用3求证:1十万十司+ n->5(nC NI+) 2 322提示：利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩、凑假设、凑结论.但要注意从n =k变化到n= k+1时增加了多少项，减少了多少项，一般用f (k+1)f(k)研究增加或减少的项的多少.,1,证明：(
10、1)当n= 1时，左边=1,右边=2,左边右边，不等式成立.当n = k+1时,1111-112 3k_22- 12k工项+，>k + 2kixj =_2k_2.,2k+ 1""2"(2)假设n=k(kC N+, k>1)时，不等式成立,，n=k+1时，不等式成立.1 11nL由(1)(2)可知：1 + 2 + 3+ +*>2(nCN).3 .递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an+1的关系，实现从“ k”到1有 1anva.k+1”的过渡.应用4设0vav1,定义a1=1+a,an+1 = ；7 + a,求证：对一切正整
11、数 n提示：数列类问题用数学归纳法证明时，一般先用递推公式，后用归纳假设.、一,1 一，一，、证明：(1)当n=1时，a1>1, a1= 1+ si<-，显然命题成立.1 a(2)假设 n=k(kC N+, k>1)时，命题成立，即1<ak<-.1 a当n = k+1时，由递推公式，知1ak+1 = + a> (1 a) + a= 1. ak同时,ak+1 =+ av 1 + a= ak1 a211 a< 1 a'1故当n= k+1时，命题也成立，即1<ak+1<右.综合(1)(2)可知，对一切正整数 n,有1<an=a.4
12、.拼凑法用数学归纳法证明关于正整数的命题(尤其是整除)时，从“ k”过渡到“ k+1”常用拼 凑法.应用51对于任意正整数 n,求证：anbn能被ab整除(对于多项式A, B,如果存在多 项式C,使得A= BC那么称A能被B整除).提示：用数学归纳法证明问题时，关键在于弄清n由k到k+1时，问题的变化情况，创造条件一定要用上归纳假设.证明：当n=1时，anbn = ab能被ab整除.(2)假设当 n=k(kCNk, k>1)时，akbk 能被 a b 整除，那么当 n=k+1 时，ak+1-bk + 1= ak+1akb+akb bk1 = ak( a- b) + b( ak- bk).
13、因为(ab)和 ak bk都能被 a- b 整除，所 以上面的和ak( ab) + b(akbk)也能被ab整除.这也就是说当 n= k+ 1时，ak+1- bk+1 能被ab整除.根据(1)(2),由数学归纳法知对一切正整数n, an-bn都能被ab整除.5 .几何法“几何类”命题的证题关键是先要从证n=k+1时命题成立的结论中，分解出n= k时命题成立的部分，然后去证余下的部分.应用6在同一平面内有n条直线，每两条不平行，任意三条不共点，求证：它们将此n + n+ 2平面分成 一2一个部分(n e n+ ).提示：利用数学归纳法证明几何问题，关键是找出由n = k至n=k+1时所增加的项.n2+ n+ 2证明：设 f(n)=-2一.(1)当n= 1时，一条直线将平面分成两部分，f(1) =2,故命题成立. k + k + 2 -、.(2)假设n=k(ke N+, k>1)时，k条直线将平面分成 一2一个部分.当n = k+ 1时，第(k+1)条直线与前k条直线交于k个点，使平面增加(k+1)个部分， ,22 .即将平面分成 2+ k+ 1 =2个部分，所以 n=k+1时命题成立.由(1)(2)得原命题成立.