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1、精品资源欢迎下载课后导练基础达标1.利用数学归纳法证明不等式1 .+71 2n<2(n>2,CN*)”的过程中，由n=k”变到-1n=k+i”时，左边增加了(A.1项B.k项C.2k-1 项D.2k 项解析：由k到k+1时，增加项为一，共1项I-1答案:A2.用数学归纳法证明“n>n2+1对于nN。的正整数n都成立"时，第一步证明中的起始值 n0应取()A.2C.5D.6解析：当n=1时，2=2不成立,当当当当n=2n=3n=4n=5时,时,时,时,22 = 4<22+1=5 不成立 |8<9+1不成立，16<16+1不成立！25=32>25
2、+1 成立 |3.用数学归纳法证明不等式<n+1(nCN*且n>1)”时，第一步应验证不等式()A.1+ <22B.1+ 1+ 1<221C.1 +21D.1 +231<331 1+ + - <3解析:.- n N * 且 n>l. no = 2,即 1+1+ L+1<32 3 4'答案:D4.对于不等式v'n2 +n诉+1(nC N*),某学生的证明过程如下:当n=1时，汗+1 & 1+丁等式成立I3(2)假设n=k(kC N*)时，不等式成立，即 Vk2 +k 4+1，则n=k+1时,(k 1)2 (k 1) = Jk
3、2 3k 2 , (k2 3k 2)(k 2) = (k 2)2 = (k 1) 1.，当n=k+1时，不等式成立.上述证法()A.过程全部正确B.n=1时的验证不正确C.归纳假设不正确D.没有用到从n=k到n=k+1的推理解析汕n=k到n=k+1时没有用到假设，所以证明过程不对答案5 .用数学归纳法证明”+1助2+n+2(n C N *)'时，第一步的验证为 .解析：当n=1时，左边=22=4,右边=1+1+2=4,左=右，成立|答案：n=1,22> 1 + 1-26 .若命题 P(k)为 | sinkx | < | sinx | (kC N*),则命题 P(k+1)是.
4、解析：| sin(k+1)x | <k+1) I sinx | 1即将k替换为k,答案：| sin(k+1)x | <k+1) I sinx |7 .已知不等式 1+1+ > logzE , nC N ,n>2, log2n表示不超过log2n的最大整数.2 3 n 22ban<2 blog 2 n,n> 3.na 一设正数数列an满足:a1二b(b>0),anW,n>球证:n an证明：当n>2时-nanan<=n anannananan Jn 1V (-k=2 akn)k =2于是当n>3时有-> 1 Ln an a1
5、22b=' an<2 blog 2 n8.数列an满足 a=2,an-1 = an+1(n=1,2, an).证明an> 52n +1对一切正整数n成立.2>2,k=1,2, -n-L1_222 _2：川 月：an-1 =an +2+2- >an +2 , ak-1 -akan则 an2-a12>2(n-1)= an2>2n+2>2 n+1 = an> 2n 1 .9 .已知函数f(x)=ax-2 x2的最大值不大于又当xC ，,时,f(x).264 28(1)求a的值；(2)设 0<a1< ,an+1=f(an),n
6、63; N，证明 an< - (n-)H2n 1(1)解：由最大值不大于，得a< 1又由f(x)，得a>仔是a=l.8(2)证明：由 an+i=f(an),得 an+1 = an- - an = (an - 1 ) + 且 an>0.2236 6用数学归纳法(只看第二步)；ak+1 =f(ak)在 a" (0, 一-一)(k>2)b增函数！k 1则得 ak+1 =f(a0<f()=一 (二一)2< - k 1 k 1 2 k 1 k 210 .数歹U Xn由下列条件确定：X1=a>0, Xn + 1=1 (Xn+ ) , n N| 2X
7、n证明对n>2总有Xna ;(2)证明对nR2总有Xnan+1|证明：(1)构造函数f(X)= 1 (x+ a),易知f(X)在,+ 8上是增函数| 2 X于是 Xk+1= (Xk+ -)在 ,+ 00上递增，故 Xk+1 4(V a )= < a |2 Xk(2)有 Xn-Xn+1= (Xn- 2 Xn构造函数f(X)二 (X-亘)，它在a,+ 8上是增函数，故有Xn-Xn+1= (Xn-)我a)=0,得证| 2 X2Xn综合运用11.若 nCN *且 n>1,求证:' + ,+'+，>为n 1 n 2 n 3 n n 24证明:记 f(n)=(1)当
8、 n=2 时,f(2)二_ 14 13-24 24(2)假设 n=k(kC N +,k>1)时成立，即 f(k)= +1 + + - >13 |k 1 k 2 k k 24则当n=k+1时！f(k+1)=12k 2=f(k)-1+2k 112k 2=f(k)+112k 1 -2k 213.>f(k)>24当n=k+1时命题成立|由(1),(2)知对任意nCN +且n>1时,原不等式成立|12 .求证：1< n/n <1+ ； 2 卜 n 定2).1n -1(n>“证明：令 an= n/n =1 +hn,这里 hn>0(n>1),则有 n = (1 + hn)n>-1hn2=> 0<hn<1<an = 1 + hn<1 +2从而有 拓展探究4111113 .右n是自然数，求证：=+=+ + f<2.122232n21111证明：< <=-,k=2,3,4,nJ,k2 k(k -1) k -1 k1.针122 +1T +, 321111< -+ + + n2 1 1 2 2 31(n -1) n= 1+(1-1)+(1-1)+.+()11 22 3 n -1 n=2- 1<2.n