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1、精品资源4.2用数学归纳法证明不等式更上一层楼基础巩固1 .用数学归纳法证明 3n>n3(n >3,n N)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4思路分析：由题意知n>3, 应验证n=3.答案：C1112 .用数学归纳法证明1+ + + <n(n N,n>1)时，第一步即证明不等式2 32 -1成立.思路分析：因为n>1,所以第一步n=2.答案：1 +1+ 1<22 33 .用数学归纳法证明(1+ 1)(1+ 1)(1+ 1)(1+二)> 上空上1(k>1),则当n=k+1时, 3572k -12左端应乘上,这个乘上去的代
2、数式共有因子的个数是 .E ， 一，一，一 一 ，“一一1一思路分析：因为分母的公差为2,所以乘上去的第一个因式是(1+),最后一个是2k 1(1+ kJ )，共有 2k-2k-1=2k-1 项.-111答案：(1+二一)(1+ )-(1+f-) 2k-12k 12k 32k 1 -1 一an bn a-b4 .用数学归纳法证明a b之(a b)n (A., B.是非负实数，nC N)时，假设n=k命题成22立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是 .思路分析：要想办法出现a +b ,两边同乘以ab ,右边也出现了要求证的(ab)22一 , a b答案：两边同乘以a b2-111115 .用数
3、学归纳法证明 + +- L +2 > ，假设n=k时，不等式成立之后,2232 (n 1)22 n 2证明n=k+1时，应推证的目标不等式是 .思路分析：把n=k时的不等式中的k换成k+1即可.111111答案: !+! > _!2232 (k 1)2(k 2)22 k 3综合应用111136 .若n为大于1的自然数，求证：+>3n 1 n 2 2n 24.思路分析：注意对数学归纳法证明不等式时放缩技巧的合理使用一 ,11解：(I)当n=2时， +2 1 2 2，, r 1(n)假设当n=k时成立，即,十121 一 1则当n=k+1时，k 21311> 一 +k 11+
4、k 313k 21十2k113.241十+2k113> 24124 2k 1 2k k 1=+-24 2k 1 2k 2+-2k 1 2k 2 k 1 k 117.求证：叱1)：,1 *22 .3+Jn(n1)2(n 1)<(n C N+)思路分析：用数学归纳法证明与正整数 n有关的不等式，是考试中的重点题型之一，在n=k+1的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧 解：记 an=JT72 + q'2二3+v；n(n+1)，1 2-(1 1)2(I)当 n=1 时，a41 2 = U2 >1 =，而 a1=U2<2=,22当n=1时，不等式_21 2(1
5、1)<a1<-正确.欢迎下载k(k 1) (k 1)2(n)假设n=k时不等式正确，即 -(一1) < ak <-()-22当n=k+1时,.k(k 1)2(k 1)(k 2)：二 ak .(k 1)(k - 2)22),而 k(k 1 =,(k 1)(k 2)3.(k-H)2 二 0+(k+1)222k (k 1)(k 2)=(k+1)( 2 +1)=,3k 卜 X222k2 4k 4 (k 2)222(k 1)(k 2)2:二 ak 1(k 2)22即n=k+1时不等式正确；根据(1)( n)知对nCN*,不等式正确.8.已知数列B. n是等差数列，B.1=1,B.
6、 1+B.2+B. 10=145.求数列B. n的通项公式B.n；(2)设数列A. n的通项A.n=log A.(1+ )(其中A. >0且A.W1),记 3是数列A. n的前n项 bn和.试比较S与1 log A.B. n+1的大小,并证明你的结论 3解：设数列bn的公差为d,由题意得3Pb1 =1, d = 3.bn=3n-2.bi =1,10(10-1)10bld =145,2(2)证明：由bn=3n-2知S=log a(1+1)+log a(1+ 1)+ +log a(1+1)=log a (1+1)(1+ ) - -+1),43n -24 3n -2而 1 log abn+1=
7、log a 3/3n+1，于是，比较 &与 1 log abn+1 的大小 比较(1+1)(1+ 1 )334(1+ -)与言十1的大小.3n -2取 n=1,有(1+1)= V8 >3/4 = V3 *1 +1 ；取 n=2,有(1+1)(1+ -) >V8 >V7 =V3x2 + 1.411推测：(1+1)(1+ )(1+0>3/3n+1 4 3n -2(I )当n=1时，已验证式成立.(n)假设 n=k(k>1)时式成立，即(1+1)(1+ 1) + -1一 )> V3k +1 .4 3k -2则当 n=k+1 时，(1+1)(1+ 1) (1
8、+ ) 1 +1 >3；3k+1 (1+)4 3k -23(k 1) -23k 1=迷上2¥3k + 1 . (羽上2 V31不彳)3-( V3k+4 )3k 13k 19k 4 八2 >0,(3k 1)2(3k 2)3 -(3k 4)(3k 1)223 3k 13k 1(3k 1)2(3k+2)> 3 3k 4 =3 3(11)1.111从而(1+1)(1+ -) - (1+)(1+ )>3/3(k +1)十1 ,即当 n=k+1 时，式成立.由4 3k -2 3k-1(I )( n)，式对任意正整数n都成立.于是，当 a>1 时，S> 1 lo
9、g abn+1,当 0V av 1 时，Sn< 1 log abn+1. 33回顾展望9.已知数列A. n的各项都是正数，且满足：A. 0=1,A. n+1= 1 A. n(4-A. n),n e N证明：2A.n<A.n+1<2,n e N思路分析：对第一问用数学归纳法证明比较简洁，但是用数学归纳法证明时，在由n=k到n=k+1时的推证过程中，也有作差比较和利用单调性两种方法.证明：方法一用数学归纳法证明：(I )当 n=1 时，an=1,a 1= ao(4-a 0)= , a o<ai<2,命题正确.2(n )假设 n=k 时有 ak-i <ak<
10、2.则 n=k+1 时,a k-a k+1= a ak-1 (4-a k-1)- 1 ak(4-a k)22=2(a k-1 -a k) - (a k-1 -a k)(a k-1 +ak)= (a k-1 -a k)(4-a k-1 -a k).22而 ak-1 -a k<0,4-a k-1 -a k>0, a k-a k-1<0.又 ak+1 = ak(4-a k)=12 4-(a k-2) <2.21. n=k+1时命题正确.由(I )( n)知，对一切 nC N时有 an<an+1<2.方法二用数学归纳法证明.(I)当 n=1 时，aO=1,a1=1
11、aO(4-a 0)=, 1- 0<a0<a1<2.22(n MH设 n=k 时有 ak-1 <ak<2 成立，令 f(x)= 1 x(4-x) , f(x)在0, 2上单调递增, 2所以由假设有 f(a k-1 )<f(a k)<f(2),即 1 ak-1 (4-a k-1)< 1 ak(4-a k)< - x 2X (4 -2),222也即当n=k+1时ak<ak+1<2成立，所以对一切 nC N,有ak<ak+1 <2.10.(2005 辽宁高考)已知函数 f(x)= x+3(xW-1).设数列A. n满足 A.
12、1=1,A. n+1=f(A. n), x 1数列B. n满足B.n=|A.*<3 |,S n=B.1+B.2+B.n(n 6 N).(1)用数学归纳法证明：B.2 3 (2)证明：Sn<2*°3证明：(1)当 x>0 时,f(x)=1 +2*>1.因为 a1=1,所以 an>1(n N)x 1卜面用数学归纳法证明不等式(I)当n=1时，bJ3-1 ,不等式成立, 一(.3 -1)k(n)假设当n=k时，不等式成立，即 bk< ( -1) 2k耶/ b =3 1= ( 3 - 1) | ak3 |3-1( - 3 -1)刃|3么 bk+1 = |a k+1- 3 3 |= _ b _ .1 ak 一 2 一 2k所以，当n=k+1时，不等式也成立.根据(I )和(n ),可知不等式对任意 ne N*都成立.(2)由(I)知，bnw8|二L.所以Sn = b1+b2+ -+bn<( V3-1)+02 +G3-J22 2n：(3 -1).1=2,3.%3 -131 一21-F3)n= (<3-D - 21. 3-12故对任意nC N*,Sn<2 、3 .3