1、77 平面及其方程平面及其方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角法线向量、平面的点法式方程特殊的平面、平面的一般方程、截距式方程两平面的夹角、两平面夹角的余弦两平面平行与垂直的条件点到平面的距离公式一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量xyzO n唯一确定平面的条件：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就电做该平面的法线向量xyzOM 0 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程法线向量：唯一确定平面的
2、条件：法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就电做该平面的法线向量xyzOM 0 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程唯一确定平面的条件：一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就电做该平面的法线向量xyzOM 0 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个唯一确定平面的条件：一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就电做该平面的法线向量xyzOM 0 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定法向量 A，B，C的平面只有一个
3、 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个n唯一确定平面的条件：一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就电做该平面的法线向量xyzOM 0 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定法向量 A，B，C的平面只有一个 过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个n平面方程的建立：设M(x，y，z)是平面上的任一点必与平面的法线向量 n 垂直，设M 0(x 0，y 0，z 0)为平面上一点，nA，B，C法线向量为平面的即它们的数量积等于零：由于nA，B，C，所以 A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0这就是平面的方程
4、此方程叫做平面的点法式方程xyzOM 0Mn即 x2y3z80 例1 求过点(2，3，0)且以n1，2，3为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为(x2)2(y3)3z0，解 先求出这平面的法线向量 n 例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3)的平面的方程xyzOM 1M 2M 3可取 n根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为14(x2)9(y1)(z4)0，即 14x9yz15014i9jk，解 先求出这平面的法线向量 n 例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3)的平面的方程可取二、平面
5、的一般方程二、平面的一般方程所以任一三元一次方程A xB yC zD0的图形总是一个平面 任一平面都可以用它上面的一点(x0，y0，z0)及它的法线向量方程的一组数x0，y0，z0，即A x0 B y0C z0D0 反过来，设有三元一次方程A xB yC zD0 任取满足该由于方程A xB yC zD0与方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0同解，nA，B，C 来确定，平面的点法式方程是三元一次方程A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0则有A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，这是平面的点法式方程方程A xB yC zD0称为平面的一般方程平面的法线向量为 nA，B，C 考察下列特
6、殊的平面，指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系，平面与坐标面、坐标轴的关系，平面通过的特殊点或线 例如，方程3x4yz90表示一个平面，n3，4，1是这平面的一个法线向量讨论：D=0：A xB yC z0A=0：B yC zD0B=0：A xC zD0C=0：A xB y D0A=B=0：C zD0B=C=0：A xD0A=C=0：B y D0将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为y3z0 例3 求通过 x 轴和点(4，3，1)的平面的方程 解 由于平面通过 x 轴，从而它的法线向量垂直于 x 轴，于是法线向量在 x 轴上的投影为零，即A0 又由于平面通过x轴，它必通过原点，于
7、是D0 因此可设这平面的方程为ByCz0 又因为这平面通过点(4，3，1)，所以有3BC0，或 C3B 例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点，求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)xyzOP(a,0,0)R(0,0,c)Q(0,b,0)n 解 设所求平面的方程为A x B yC zD0因P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点都在这平面上，所以点P、Q、R的坐标都满足所设方程；即有解得将其代入所设方程并除以D(D0)，便得所求的平面方程为此方程称为截距式方程 例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0
8、)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点，求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)1三、两平面的夹角三、两平面的夹角两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的平角)2)n2n1来确定 设平面 1和 2的法线向量分别为n1A 1，B 1，C 1，n2A 2，B 2，C 2那么平面 1和 2的夹角 应是(n1,n2)和(n1,n2)=p(n1,n2)两者中的锐角，因此，cos|cos(n1,n2)|按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面 1和 2的夹角 可由cos 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：平面 1和 2垂直相当于A 1A 2B 1B 2C 1C 20
9、平面 1和 2平行或重合相当于 例5 求两平面xy2z60和2xyz50的夹角 解 n1A 1，B 1，C 1 1，1，2，n2A 2，B 2，C 22，1，1，cos 例6 一平面通过两点M 1(1，1，1)和M 2(0，1，1)且垂直于平面xyz0，求它的方程 解 设所求平面的法线向量为 nA，B，C1，0，2已知平面的法线向量为所以可取2 i j k，从而所求平面方程为2(x1)(y1)(z1)0，即2xyz0n11，1，1由已知条件，有n ，n n1 n=n1 设P 0(x 0，y 0，z 0)是平面A x B yC zD0外一点，求P 0 到这平面的距离点到平面的距离：在平面上任取一点P 1(x 1，y 1，z 1)，并作一法线向量 n，则P 0到这平面的距离为设 n为与向量同向的单位向量，则有P 0P 1Nn又因Ax1By1Cz1D0，所以由此得点P 0(x 0，y 0，z 0)到平面A x B yC zD0的距离公式：例7 求点(2，1，1)到平面xyz10的距离 解 d
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