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1、考试内容要求层次ABC导数 及其 应用导数概念及其几 何意义导数的概念V导数的几何意义V导数的运算1根据导数定义求函数y=c，y = x，y = x2 ,y = x3，y=，xy = JI的导数V导数的四则运算V简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的导数V导数公式表V导数在研究函数 中的应用利用导数研究函数的单调性(其中多项式函数不超过三次)V函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次)V利用导数解决某些实际问题V定积分与微积分 基本定理定积分的概念V微积分的基本定理V、求切线21. 求曲线y = X在点P(2, 4)处的切线方程。22. 曲线y =2x 3x -26在点A处的切线的斜率为
2、15,求切线方程。1y = 一3. 过点P (2, 0)且与曲线x相切的直线方程。二、导数的应用1 3 1 21. 已知函数f (x) x ax x b(a -0)， f '(x)为函数f (x)的导函数.32切线求参(I)设函数f (x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是 y = 3x-3，求a, b的值；含参-单调区间(n)若函数g(x) =e_ax f '(x)，求函数g(x)的单调区间.22. 已知函数 f(x)=lnxax (a2)x.已知极值求参数 (I)若f (x)在x =1处取得极值，求 a的值；含参-最值(n)求函数y = f(x)在a
3、2,a上的最大值.x 23. 已知函数 f(x)=xlnx,g(x) xe e不含参-不含参(I)求函数f(x)在区间1,3上的最小值；!不等式应用(n)证明：对任意 m, n三(0, ：)，都有f (m) _ g(n)成立.24. 已知函数 f(x)二x -aln x( a R ).不含参-单调性(I)若a =2，求证：f (x)在(1,七)上是增函数；含参-求最值(n)求f(x)在1 , e上的最小值.,1 + a5. 已知函数 f(x)二xalnx , g(x)二,(aR).x不含参-求极值(I)若a =1，求函数f (x)的极值；含参-单调性(n)设函数h(x)二f(x) _g(x)，
4、求函数h(x)的单调区间；!不等式应用(川)若在1,el ( e = 2.718. )上存在一点x0，使得f(x0) ： g(x0)成立，求a的取值范围.16. 已知函数 f (x)二(ax2 -X)In x ax2 x . (a R).2不含参-求切线(I )当a =0时，求曲线y=f(x)在(e, f (e)处的切线方程(e = 2.718.)；含参-求单调性(|)求函数f(x)的单调区间.7. 已知函数f (x)二a(x 1)，其中a 0.x含参-求单调性(I)求函数f (x)的单调区间；已知切线-求参数(n)若直线X -y -1 =0是曲线y = f(X)的切线，求实数a的值；含参-求
5、最值(川)设g(x) =xlnx-x2f(x)，求g(x)在区间1,e上的最大值.a8. 已知函数f (x) =(1)ex(x 0)，其中e为自然对数的底数.x不含参-求切线(I)当a =2时，求曲线y = f(x)在(1,f(1)处的切线与坐标轴围成的面积；知极值-求参(n)若函数f (x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a的值.29. 已知函数 f (x) aln x -2 ( a 0).x求单调性(I)若曲线y = f(x)在点P(1,f (1)处的切线与直线 y=x，2垂直，求函数y = f(x)的单调区间；!不等式应用(n)若对于(0,七)都有f(x)
6、2(a-1)成立，试求a的取值范围；!零点应用(川)记g(x)二f (x) x -b (b R).当a =1时，函数g(x)在区间e_1, e上有两个零点，求实 数b的取值范围.10. 设函数 f(x) =1 n x (x-a)2, a R .不含参-求最值(I)若a = 0，求函数f (x)在1,e上的最小值；1已知单调性-求参数(n)若函数f (x)在丄，2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；含参-求极值(川)求函数f(X)的极值点答案解析13121.解：(I)： f (x) x ax x b(a 丄 0),32二 f '(x) = x2 ax 1.f (x)在(1,0)处切
7、线方程为 y=3x_3 ,f'(1) = 3.f(1) = 011(各 1 分)g(xfex2 ax 1axe(X R).g'(x)(2x a)eax _a(x2 ax 1)eax二-xax (a2 -2)ex.1分3分5分7分当 a =0 时，g'(x) =2x ,x(皿,0)0(0,垃)g'(x)-0+g(x)极小值g(x)的单调递增区间为(0,七)，单调递减区间为(-：,0) . 9分2当a 0时，令g'(x)=0，得x=0或x a 10分ax(30)02 -a2 (0,) a2-a2a(2一)ag'(x)-0+0-g(x)0极小值0极大值
8、Q(i)当 一 - a 0 ,即 0 a . 2 时，a(i)当 一 - a 0，即 0 ： a ： . 2 时, ag(x)的单调递增区间为)，单调递减区间为(：,0) , ；a11分(ii)当 一 -a = 0 ,即卩 a = '、2 时，g '(x)二=-2x2e_2 0 ,a故g(x)在(-：)单调递减；12分(iii)当2 - a ”： 0，即a 一时,ax2(, _ a)a2a a(- a,。) a0（0,畑）g'(x)-0+0-g(x)D极小值极大值D13分2 - a22 _ a2g（x）在（，0）上单调递增，在（0, ：）,（-：,）上单调递aa综上所述
9、，当a = 0时，g（x）的单调递增区间为（0, ：），单调递减区间为（-：，0）；当0 ：a 2时,g（x）的单调递增区间为(0,2-单调递减区间为（：，0），h2时，g（x）的单调递减区间为2时，g（x）的单调递增区间为（2 ,0），单调递减区间为（0, ：）,a（“综上所述”要求一定要写出来）2.解：(I)： f(x)=lnx-ax2 (a-2)x.函数的定义域为（0, =） f(x)-2ax (a-2)十加(a2)x J""* 1)xxx3 分f (x)在 x =1 处取得极值，即 f (1) = -(2 -1)(a 10 ,a = -1.1当 a 一1 时，在(-
10、,1)内 f (x) ： 0，在(1,：)内 f (x)0,2 x =1是函数y = f (x)的极小值点. a = -1 .(n )/ a2 : a , 0 : a ： 1 .1f (x)2 ax (a -2)x21-2ax(a-2)xx(2x -1)(ax 1)xx (0, ：),- ax 10 ,11- f (x)在(0,)上单调递增；在(一，=：)上单调递减， 9分221 2当0 ：a 时，f (x)在a , a单调递增，232- fmax(x)二 f (a) =1 naa a -2a ； 10 分当2a :21a a 2 a (LU1-1 n 2 ；2411分AJQ当一乞a2，即&l
11、t; a ：1时,22f(X)在a2,a单调递减,25二 fmax(x) = f (a ) =21 n a a32a -2a 12分1综上所述，当0 ： a "时，函数y=f(x)在a2, a上的最大值是In a-a3，a2-2a ；21 ： a 时，函数y = f (x)在a2, a上的最大值是 旦1 ln 2 ；2 24a 一二时，函数y = f(x)在a2,a上的最大值是2ln a-aa3-2a2 . 13分23. (I)解:1由 f (x) =xln x，可得 f (x) =1 n x 1 当 x (0,), f (x) ： 0, f (x)单调递减,1当(，：)，f (x)
12、 0, f (x)单调递增.所以函数f(x)在区间1,3上单调递增,e又f(1) = 0，所以函数f (x)在区间1,3上的最小值为0 1(n)证明：由(I)可知 f (x)二xln x(x(0, ：)在x时取得最小值，e111x21 _ x又 f()，可知 f(m) 由 g(x) x ，可得 g'(x) e eee ee所以当(0,1), g'(x) 0,g(x)单调递增，当x(1, = ), g'(x) ：0,g(x)单调递减.所以函数g(x)(x 0)在x =1时取得最大值，又 g(1)= -1，可知g(n)冬-,ee所以对任意 m, n (0, ：)，都有f(m
13、)_g(n)成立.4. (I)证明：当 a = 2 时，f (x) =x2 -2ln x ,当 (1, ：)时,f (x)二n)解:2 x2 a f (x)(x 0)，当 x 1,e, 2x2-a 2-a,2e2-a.x若a乞2，则当1,e时，f (x) 一 0 ,所以f(x)在1,e上是增函数，又f=1，故函数f (x)在1,e上的最小值为1 若a启2e2，则当1, e时，f "(x)兰0 ,所以f(x)在1,e上是减函数，2(x2 -1)x所以f(x)在(1,；)上是增函数.5分1/p11，即 a 时，f (x)在(a ,)单调递增，在(一，a)单调递减，1 2 2 2 2又f(
14、e)=eJa，所以f (x)在1,e上的最小值为ea.若 2 : a : 2e2,则当 1 < x :a时,f (x) ：:0 ,此时f (x)是减函数;当:x乞e时,f (x) . 0，此时 f(x)是增函数又当a_2e2时，f(x)在1,e上的最小值为e2-a 5.解：(I) f (x)的定义域为(0, ：),1 X 1 当 a =1 时，f(x)=x_lnx , f(x)=1-xxx(0,1)1(1,畑)所以f (x)一0+f(x)极小1.1 +a(n) h(x) =x +-aln x ,x2宀、，1 +a a x -ax 一(1 +a) (x +1)x -(1 +a) h (x)
15、 12_22xxxxa a, aa a a厂尹2，所以f(x)在1，e上的最小值为2-2ln2 综上可知，当a乞2时，f(x)在1,e上的最小值为1；当2：a；：企2时，f(x)在1,e上的最小值为-l n?；2 2 2- 13 分 1分2分 3分f (x) 在 x = 1 处取得极小值 4分 6分当 a 10 时，即 a 占-1 时，在(0,1 a)上 h (x) ：0，在(1 a,二)上 h (x) 0 ,所以h(x)在(0,1 a)上单调递减，在(1 a： = )上单调递增;当1 0，即a乞-1时，在(0, ：)上h(x) 0 ,所以，函数h(x)在(0,=)上单调递增(III )在1,
16、e 1上存在一点x0，使得f(xj： g(x0)成立，即在1,e 1上存在一点x0，使得h(x0) <0，即函数h(x) =x 1- alnx在1,e上的最小值小于零. 9分x由(n)可知 即1 a e，即a e -1时，h(x)在1,e】上单调递减，所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)二e 1_ -a ：0可得a e 1 ee1e2 V因为e 1 e-1，所以a e1e 1 ; 10 分e-1当1，a乞1，即a乞0时，h(x)在1,e 1上单调递增，11分所以h(x)最小值为h(1)，由h(1) =1 1 a ：0可得a ： -2 ；因为 0 dn(1 a) ：:1，所以,当 1
17、 ：1 a :：: e，即 0 : a e-1 时，可得 h(x)最小值为 h(1 a),0 : a In(1 a) . a 故 h(1 a)二2 a _ a In(1a)2此时，h(1 a) ：0不成立. 12分综上讨论可得所求a的范围是：a或a： 2. 13分e _16.解：(I )当 a = 0时，f (x) =x -xln x , f '(x) -_lnx , 2 分 所以 f (e) =0 , f '(e) = -1,所以曲线y = f(x)在(e,f(e)处的切线方程为y=_xe. 5分(II )函数f(x)的定义域为(0,匚)2If '(x) = (ax
18、-x)(2ax-1)l n x-ax 1 = (2ax-1)l nx , 6分x 当 a 空0 时，2ax_1：0，在(0,1)上 f'(x) .0,在(1,二)上 f'(x)：0所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,；)上递减； 8分111 当 0 ： a 时，在(0,1)和(，川匚二)上 f '(x)0，在(1,)上 f '(x) ：022a2a1 1所以f (x)在(0,1)和(一 -He)上单调递增，在(1)上递减； 10分2a'2a1 当a =丄时，在(0,；)上f'(x) _0且仅有f'(1)=0 ,2所以f(X)在(0
19、,；)上单调递增； 12分 当 a 丄时，在(0,)和(1,：)上 f '(x)0，在 (丄,1)上 f'(x) <022a2a所以f (x)在(0,丄)和(1,；)上单调递增，在(丄,1)上递减 14分2a2a7.解畑2号2牴爲;爲廿51 JQ "X 1«(2-xa)In设切点坐标为s）则=0g（K）= jJnjr-&（乂）,则g何=加工+ 1_4 h解时何=0,得工=$7, 所乩在区间（哄“止£为递减函数，,1徉区间© '.+oo）_h,掩）为递增函数当占汀即“心时.在区间阴上.为递增函数, 所盹（町最大值为+
20、“罪.当严比即心叭在区间冷匕約为递试函扳所以£0）最大價为呂（！）= 0 -S即1 sv2时.孤）的最大值为騎）和苦中轨大者1 张）富=由+ 馆0*解得瞰时.咖最大值为蚱）=十卞9分TQ分1】分12分T汝分占咗2时”巩工）最尢值为g=0. 综上所述，当（）：&：_+时，巩）最大值为盘（亡）皿分最大值为g（l） = O.8.解：（I） f （x）二x2 -ax a x2 e ,x当 a = 2 时，f (x)2x -2x 2 x2 e，xf (1)=ir e1 =e,1f(1) 一e.所以曲线y = f（x）在（1,f（1）处的切线方程为y=ex-2e,切线与x轴、y轴的交点坐
21、标分别为（2,0） , （0,-2e）,1所以，所求面积为丄2-2e =2e.2（n）因为函数所以，方程匚 2 = aa 0.f （x）存在一个极大值点和一个极小值点，2x -ax，a = 0在（0, ：）内存在两个不等实根,-4a 0,所以a 410分设Xi, X2为函数f (X)的极大值点和极小值点,则 x1X2 =a ,x1x2 = a ,11分因为，f(%)f(x2)=e,所以,12分X1X2即 X1X2-a(X1 X2) al x2=e5,X1X22丄 2a - a a a 5 e e，aa 5 j e=e，解得,a = 5，此时f (x)有两个极值14分9.解：(I) 直线y=x2
22、的斜率为1.函数f(x)的定义域为(0, ：)，2 a2 a因为 f(x) =所以(1) = -1，所以 a =1.xx'112 x 2 所以 f(x)= +1 nx2.由 f(x)0 解得 x>2 ；由 f'(x)c0 解得 0cxc2XX 所以f(x)的单调增区间是(2, ：),单调减区间是(0,2). 4分(II)f(x)_2SaX2X X所以f(x)在区间(2a所以当x2时,a函数2 2 由 f "(x) > 0 解得 x> ；由 f"(x)c0 解得 0 C X £ ，a2 ：)上单调递增，在区间(0,)上单调递减.a2
23、f().af (x)取得最小值，ymin二因为对于-x (0,：)都有 f(x) 2(a-1)成立,222则百 +aln 一2 >2(a -1)由 aln >a解得 02aaf () 2(a -d)即可. a2<a <-e 所以2所以a的取值范围是(0,).(III)2 .依题得 g(x) In x x2b，则 g (x)=xx2 x-2X2(0, 1)为减函数，在区间由g (x) 0解得x 1 ；由g (x) ： 0解得0 ： x ： 1 .所以函数g(x)在区间g(e) > 0,(1,中比)为增函数.又因为函数g(x)在区间e，e上有两个零点，所以 <g
24、(e) > 0,1)<0.2解得1 b< e T.e2所以b的取值范围是(1, e_1. 13分e10.解：(I) f (x)的定义域为(0, ：). 标准文档因为所以f(x)在1,e上的最小值为1.f (xH 1 2x 0，所以f (x)在1,e上是增函数，当x = 1时，f(x)取得最小值f(1)=1. x2(n)解法一:、1-、 2x 2ax+1f (x)2(x -a)=x设 g(x)二 2x2 -2ax 1，1 -依题意，在区间2,2上存在子区间使得不等式g(x)>0成立.2 1注意到抛物线g(x) =2x2 -2ax 1开口向上，所以只要g(2) 0，或g)
25、0即可9113由 g(2)0，即 8一佔 10，得，由 g(-)0，即-a 10，得 aq ,所以实数a的取值范围是(川)因为f(X)2x2 -2ax 1，令 h(x)二 2x2 -2ax 1在(0：上h(x) 0恒成立，这时f (x) 0 ,此时，函数f(x)没有极值占；八、当a 0时,当.心0 ,即0 :：: a < .2时，在(0,=)上h(x) > 0恒成立，这时f (x) > 0 ,此时，函数f (x)没有极值点;10分易知，当当 0 : x当.：0，即a .2时,a 亠：.a2 2:x ： 2 时，h(x) ： 0 ,这时 f (x) ： 0 ；a a2 2-一2 时，h(x) 0，这时 f (x) 0 ；所以，当a2时，x是函数f(x)的极大值点;2a + J a2 _2x 二2是函数f(x)的极小值占八、-12分综上，当a 2时，函数f(x)没有极值点;占八、-当 a 时，x =a 一 "a _22是函数f (x)的极大值点；xa2 -22是函数f (x)的极小值13分