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1、1和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系公式 ( 和差 ) ÷2=较小数较小数差 =较大数和较小数 =较大数 ( 和差 ) ÷2=较大数较大数差 =较小数和较大数 =较小数和÷ ( 倍数 1)= 小数小数×倍数 =大数和小数 =大数差÷ ( 倍数 -1)= 小数小数×倍数 =大数小数差 =大数关键问题 求出同一条件下的和与差 和与倍数 差与倍数2年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年
2、龄的倍数是发生变化的；3归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树基本公式棵数 =段数 1棵距×段数 =总长 棵数 =段数 1棵距×段数 =总长 棵数 =段数棵距×段数 =总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分
3、置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数×总头数总脚数）÷（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。6盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分
4、组的组数或对象的总量基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）÷两次每份数的差当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“ 1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即
5、可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量 =（较长时间×长时间牛头数 - 较短时间×短时间牛头数）÷（长时间 - 短时间）；总草量 =较长时间×长时间牛头数- 较长时间×生长量；8周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰 年：一年有 366 天；年份能被 4 整除；如果年份能被100 整除，则年份必须能被400 整除；平 年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；如
6、果年份能被100 整除，但不能被400 整除；9平均数基本公式：平均数 =总数量÷总份数总数量 =平均数×总份数总份数 =总数量÷平均数平均数 =基准数每一个数与基准数差的和÷总份数基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算.基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式。10抽屉原理抽屉原则一：如果把（ n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必
7、有一个抽屉中至少放有 2 个物体。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m个抽屉里，其中 n>m，那么必有一个抽屉至少有 : k=n/m +1 个物体：当 n 不能被 m整除时。 k=n/m 个物体：当 n 能被 m整除时。理解知识点： X 表示不超过 X 的最大整数。例 4.351=4 ；0.
8、321=0 ；2.9999=2 ；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。11定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1 表示；项数
9、：等差数列的所有数的个数，一般用n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an 表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn 表示基本思路：等差数列中涉及五个量： a1 ,an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式： an = a1+ （n1）d；通项首项（项数一1) 公差；数列和公式： sn,= (a1+ an)n2；数列和（首项末项）项数2；项数公式： n= (an+ a1)d 1；项数 =（末项 - 首项）公差 1；公
10、差公式： d = （an a1）（ n1）；公差 =（末项首项）（项数1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；13二进制及其应用十进制：用 09 十个数字表示，逢10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+ +A3102+A2101+A1100注意： N0=； N=N（其中 N 是任意自然数）二进制：用 01 两个数字表示，逢2 进 1；不同数位上的数字表示不
11、同的含义。（ 2） = An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7 + +A322+A221+A120注意： An 不是 0 就是 1。十进制化成二进制：根据二进制满 2 进 1 的特点，用 2 连续去除这个数，直到商为 0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2 的 n 次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。14加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n 类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同
12、方法，在第n 类方法中有 mn种不同方法，那么完成这件任务共有： m1+ m2. +mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行，做第1 步有 m1种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第2 步总有 m2种方法不管前面n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn种方法，那么完成这件任务共有：m1× m2.× mn种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上
13、任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数 1+2+3+ +（点数一 1）；数角规律 =1+2+3+ +（射线数一 1）；数长方形规律：个数 =长的线段数×宽的线段数：数长方形规律：个数 =1×1+2×2+3× 3+行数×列数15质数与合数质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分
14、解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=，其中 a1、 a2、a3 an 都是合数 N 的质因数，且 a1<a2<a3< <an。求约数个数的公式： P=(r1+1) × (r2+1) ×(r3+1) ×× (rn+1)互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16约数与倍数约数和倍数：若整数a 能够被 b 整除， a 叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约
15、数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。例如： 12 的约数有 1、2、3、4、6、12；18 的约数有： 1、2、3、6、9、18；那么 12 和 18 的公约数有： 1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公约数是： 6，记作（ 12，18）=6；求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来
16、。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12 的倍数有： 12、24、 36、48；18 的倍数有： 18、36、 54、72；那么 12 和 18 的公倍数有： 36、 72、108；那么 12 和 18 最小的公倍数是36，记作 12 ，18=36 ；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；
17、2、分解质因数的方法17数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a 能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a 。2、常用符号：整除符号“| ”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1. 能被 2、5 整除：末位上的数字能被 2、5 整除。2.能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被4、25 整除。3.能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被8、 125 整除。4.能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被 3、 9 整除。5. 能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末
18、三位以前的数字所组成数之差能被7 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2 倍后能被 7 整除。6. 能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11 整除。7.能被13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9 倍后能被 13 整除。三、整除的性质：1. 如果 a、b 能被 c 整除，那么（ a+b）与（ a-b ）也能被 c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整数，
19、那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4. 如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。18余数及其应用基本概念：对任意自然数 a、b、q、r ，如果使得 a÷b=q r ，且 0<r<b, 那么 r 叫做 a 除以 b 的余数， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。余数的性质：余数小于除数。若 a、b 除以 c 的余数相同，则c|a-b 或 c|b-a 。 a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c
20、的余数。 a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以 c 的余数。19余数、同余与周期一、同余的定义：若两个整数 a、b 除以 m的余数相同，则称a、b 对于模 m同余。已知三个整数a、 b、 m，如果 m|a-b ，就称 a、b 对于模 m同余，记作 ab(mod m)，读作 a 同余于 b 模 m。二、同余的性质：自身性： aa(mod m)；对称性：若 ab(mod m)，则 b a(mod m)；传递性：若 ab(mod m)，bc(mod m)，则 a c(mod m) ；和差性：若 ab(mod m)，cd(mod m)，则 a+cb
21、+d(mod m)，a-c b-d(mod m)；相乘性：若 a b(mod m) ， c d(mod m)，则 a×c b ×d(mod m)；乘方性：若 ab(mod m)，则 anbn(mod m)；同倍性 : 若 a b(mod m) ，整数 c，则 a× c b ×c(mod m×c) ；三、关于乘方的预备知识：若 A=a× b，则 MA=Ma× b=（Ma）b若 B=c+d 则 MB=Mc+d=Mc×Md四、被 3、 9、11 除后的余数特征：一个自然数 M，n 表示 M的各个数位上数字的和，则Mn(m
22、od 9) 或（ mod3）；一个自然数 M，X 表示 M的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M的各个偶数数位上数字的和，则M Y-X 或 M 11- （X-Y）(mod 11) ；五、费尔马小定理：如果p 是质数（素数）， a 是自然数，且a 不能被 p 整除，则 ap-1 1(mod p) 。20分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（ 0 除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从
23、题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。 B、总量发生变化
24、，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。21分数大小的比较基本方法：通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除
25、了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1 进行比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0 比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。22分数拆分一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式： =+ ； =+（d 为自然数）；23完全平方数完全平方数特征：1. 末位数字只能是： 0、 1、 4、 5、 6、 9；反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立
26、。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 约数个数为奇数；反之成立。5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式： X2-Y2=（X-Y）（ X+Y）完全平方和公式：（ X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（ X-Y）2=X2-2XY+Y224比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做
27、比例。a:b=c:d 或比例的性质：两个外项积等于两个内项积( 交叉相乘 ) ， ad=bc。正比例：若 A 扩大或缩小几倍， B 也扩大或缩小几倍（ AB的商不变时），则 A 与 B 成正比。反比例：若 A 扩大或缩小几倍， B 也缩小或扩大几倍（ AB的积不变时），则A与 B 成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。25综合行程基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系 .基本公式：路程 =速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度 =时间关键问题：确定运动过程
28、中的位置和方向。相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间路程差÷速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程 =（船速 +水速）×顺水时间逆水行程 =（船速 - 水速）×逆水时间顺水速度 =船速 +水速逆水速度 =船速 - 水速静水速度 =（顺水速度 +逆水速度）÷ 2水 速 =（顺水速度 - 逆水速度）÷ 2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（
29、速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。26工程问题基本公式：工作总量 =工作效率×工作时间工作效率 =工作总量÷工作时间工作时间 =工作总量÷工作效率基本思路：假设工作总量为“ 1”（和总工作量无关）；假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。经验简评：合久必分，分久必合。27逻辑推理基本方法简介：条件分析假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的
30、，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a 是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。条件分析列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A 和 B 两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相
31、应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。28几何面积基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。常用方法：1. 连辅助线方法2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。4. 利用特殊规律等腰直角三角形，已知任意一条边
32、都可求出面积。（斜边的平方除以4 等于等腰直角三角形的面积）梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。圆的面积占外接正方形面积的78.5%。29立体图形长 方 体8 个顶点； 6 个面；相对的面相等； 12 条棱；相对的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh =Sh正 方 体8 个顶点； 6 个面；所有面相等； 12 条棱；所有棱相等；S=6a2 V=a3圆柱体上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；S=S 侧 +2S底 S 侧=ChV=Sh圆锥体下底是圆；只有一个顶点；l: 母线，顶点到底圆周上任意一点的距离；S=S 侧+S底S 侧 =rl V=Sh球体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2 V=r330时钟问题快慢表问题基本思路：1、 按照行程问题中的思维方法解题；2、 不同的表当成速度不同的运动物体；3、 路程的单位是分格（表一周为60 分格）；4、 时间是标准表所经过的时间；合理利用行程问题中的比例关系；