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1、竞赛讲座 09圆根底知识 如果没有圆，平面几何将黯然失色 圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的根本性质，垂线定理，直线与圆的 位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形 与圆的位置关系圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、 漂亮的几何问题， “三角形的心，“几何着名的几何定理 ，“共圆、共线、共点 “直线形 将构成圆的综合问题的根底本局部着重研究下面几个问题： 1角的相等及其和、差、倍、分； 2线段的相等及其和、差、倍、分； 3二直线的平行、垂直；4线段的比例式或等积式； 5直线与圆相切；6竞赛数学中几何命题的等价性命题分析例1.A为平面
2、上两个半径不等的。 0,和O 02的一个交点，两圆的外公 切线分别为 RP2,QiQ2 ,M,、M2分别为RQi、BQ2的中点，求证： 0,A02 M,AM2例 2.证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形.例3.延长AB至D ,以AD为直径作半圆，圆心为H , G是半圆上一点，ABG为锐角.E在线段BH 上, Z在半圆上，EZ / BG，且EH ED EZ2 , BT / HZ .求1证： TBG 丄 ABG .3例4.求证：假设一个圆外切四边形有两条对边相等，那么圆心到另外两边的距离相等.例5 .设 A是厶ABC中最小的内角，点B和C将这个三角形的外接圆分成两 段弧
3、，U是落在不含A的那段弧上且不等于 B与C的一个点，线段AB和AC的垂 直平分线分别交线段 AU于V和W，直线BV和CW相交于T .证明：AU TB TC .例6.菱形ABCD的内切圆0与各边分别切于E,F,G, H，在EF与GH上分别作O 0切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ / NP .例7.0和。2与厶ABC的三边所在直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG, FH的延长线交于点P .求证：直线PA与BC垂直.例8.在圆中，两条弦AB,CD相交于E点，M为弦AB上严格在E、B之间的 点.过D,E,M的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于F,G . 如 t，求
4、 坐ABEF用t表示.CAE .又设M和1 1 1 1MB MD NC NE例9 .设点D和E是厶ABC的边BC上的两点，使得 BADN分别是 ABD、 ACE的内切圆与BC的切点.求证:例10.设厶ABC满足 A 90， B C，过A作厶ABC外接圆W的切线,交直线BC于D，设A关于直线BC的对称点为E，由A到BE所作垂线的垂足为X，AX的中点为Y，BY交W于Z点，证明直线BD ADZ外接圆的切线.例11.两个圆1和2被包含在圆 内，且分别现圆 相切于两个不同的点M和N . 1经过2的圆心.经过1和2的两个交点的直线与 相交于点A和B，直线MA 和直线MB分别与i相交于点C和D .求证：CD
5、与2相切.例12.两个半径不相等的。 Oi和。02相交于M、N两点，且。Oi、O O2 分别与。0内切于S、T两点.求证：0M MN的充要条件是S、N、T三点共 线.例13.在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，O Oi过A、B且与边CD相切 于点P , O 02过C、D且与边AB相切于点Q . O Oi和O 0?相交于E、F，求证： EF平分线段PQ的充要条件是BC / AD .例14 .设凸四边形ABCD的两条对角线 AC与BD互相垂直，且两对边AB与CD 不平行.点P为线段AB与CD的垂直平分线的交点，且在四边形的内部.求证：A、 B、C、D四点共圆的充要条件为 S PAB S PCD
6、 .训练题1 . ABC内接于O 0， BAC 90，过B、C两点O 0的切线交于P，M为 BC 的中点，求证：(1) 地 cos BAC ; (2) BAM PAC .APcc c2.A,B,C分别是 ABC外接圆上不包含 A,B,C的弧BC,CA,AB的中点， BC分别和CA、AB相交于M、N两点，CA分别和AB、BC相交于P、Q两 点，AB分别和BC、C A相交于R、S两点.求证：MN PQ RS的充要条件是 ABC为等边三角形.3 .以 ABC的边BC为直径作半圆，与 AB、CA分别 交于点D和E，过D、E作BC的垂线，垂足分别为 F、G .线段DG、EF交于点 M .求证：AM BC
7、 .4.在厶ABC中， B内的旁切圆与 CA相切于D， C内的旁切圆与 AB相 切于E，过DE和BC的中点M和N作一直线，求证：直线MN平分 ABC的周长，且与 A的平分线平行.5 .在 ABC中，过该三角形的内心I作直线平行于AC交AB于F .在1BC边上取点P使得3BP BC .求证：BFP B .26 .半圆圆心为0 ,直径为AB , 一直线交半圆于C, D ,交AB于M(MB MA, MC MD ).设K是厶AOC与厶DOB的外接圆除点 0外之另一交点.求证： MKO为直角 .7 .，AD是锐角 ABC的角平分线， BAC , ADC ,且cos cos2 .求证：AD2 BD DC
8、.8. MABC 的边 AB 上任一点，Gr2,r 分别为 AMC、 BMC、 ABC 的内切圆半径；2，分别为这三个三角形的旁切圆半径(在 ACB内部).求证：r1a r1 29. 设D是厶ABC的边BC上的一个内点， AD交厶ABC外接圆于X , P、Q是X分别到AB和AC的垂足，O是直径为XD的圆.证明：PQ与。O相切当且仅当AB AC .10 .假设AB是圆的弦，M是AB的中点，过M任意作弦CD和EF ,连CD,DE分 别交AB于X,Y，贝V MX MY .11 .设HABC的垂心，P为该三角形外接圆上的一点，E是高BH的垂足，并设PAQB与PARC都是平行四边形，AQ与BR交于X .证明：EX / AP .12 .在 ABC中，C的平分线分别交AB及三角形的外接圆于 D和K , I是内切圆圆心.证明:(1)ID IK CIIDID IK