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1、-23 -2019-2020学年度第一学期期中学业水平检测高二数学本试卷4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟.第I卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .直线l : x J3y 2 0的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】A【解析】直线l：x 岛2 0的斜率为旦,所以倾斜角为30。.3故选A.22 .双曲线y2 1的虚轴长等于()2A.、2B. 1C. 2D. 2.2【答案】C【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程求解双曲线的虚
2、轴长即可.2【详解】双曲线y2 1 ,可得b=1,22所以双曲线y2 1的虚轴长等于2.2故选：C.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题.3 .已知直线l1：2x ay 2 0与直线l2：(a 1)x 3y 2 0平行，则a ()A. 3B. 2C. 2 或 3D. 5【答案】B【解析】【分析】由两直线平行，得到 2 3 a(a 1) 0 ,求解，得出a的值，再代入直线方程检验，即可得出结果.【详解】因为直线l1:2x ay 2 0与直线l2 : (a 1)x 3y 2 0平行，所以 2 3a(a 1) 0,即 a2 a 6 0,解得：2或 3,当a 3时，li：
3、2x 3y 2 0与L：2x 3y 2 0重合，不满足题意，舍去；当a 2时，li：x y 1 0与12：3x 3y 2 0平行，满足题意.故选：B【点睛】本题主要考查由直线平行求参数，熟记直线平行的判定条件即可，属于常考题型.4 .观察数列1, in2, sin3, 4, in5, sin6 , 7, ln8 , sin9，则该数列的第 20项等于 ()A. 2020B. 20C. sin 20D. ln20【答案】D【解析】【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以 3为循环节，由此判断第 20 项是哪个数.【详解】由数列得出规律，按照 1, ln2, sin3,，是
4、按正整数的顺序排列，且以3为循环节，由 20 3 6口“|2,所以该数列的第20项为ln20 .故选：D.【点睛】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题.25.若点P在椭圆C： y2 1 , F1 , F2分别为椭圆C的左右焦点，且F1PF2 90，则4F1PF2的面积为()A. 3【答案】D【解析】B. 3C. 4D. 1【分析】 22根据椭圆万程算出c,从而Rt F1PF2中得到PF1PF2 ,结合椭圆的定义联解，得到PFi PF2 ,最后用直角三角形面积公式，即可算出F1PF2的面积.2【详解】椭圆C: ' y2 1 , 4a2=4, b2=1 .可得 c 73 ,因此Rt F1
5、PF2中，怛尼 2J3,由勾股定理得22PF1PF212 根据椭圆的定义，得|PF1PF2 2a 4 联解，可得 PF1 PF22 ,LCL ， c 1 k ”,F1PF2 的面积 S PF1 PF21.2故选：D.【点睛】本题给出椭圆方程，求当焦点三角形是直角三角形时求焦点三角形的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义及简单性质等知识，属于中档题.*a2 a46.已知正项等比数列 an的前n项和为Sn，n N , S24, a3 9,则（）a a3A. 1B. 3C. 3D. 234【答案】C【解析】【分析】设正项等比数列 an的公比为q>0,利用通项公式即可得出.【详解】设正项等比数列
6、an的公比为q>0.4-3 9,2 ai（1 q） 4, &q 9 ,解得：a11, q 3,a2 a4 q（ai a3）- Q则q 3.ai a3ai a3故选：C.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7.已知圆Ci： x2 y2 4与圆C2： x2 y2 6x 8y 24 0,则两圆的位置关系为（）A.相离B.外切C.相交D.内切【答案】D【解析】【分析】化圆C2的一般方程为标准方程， 求得圆心坐标与半径， 再由两圆的圆心距与半径的关系判断.【详解】化圆 C2： x2 y2 6x 8y 24 0 为（x 3）2 （y 4）2
7、 49 ,可得圆C2的圆心坐标为（3,4）,半径为7；由圆Ci ： x2 y2 4的圆心坐标为（0,0）,半径为2,C1C2I & 3）2 425,而 7 2 5,两圆的位置关系为内切.故选：D.【点睛】本题考查两圆位置关系的判定，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题.8 .人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为 R,卫星近地点、远地点离地面的距离分别为ri,2,则卫星轨道的离心率等于（）r2 rlr2 rl0 rlA. TZB. TZC. 一 cD.2R ri r22R r1r22R 2rlri2R 2r2【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义,
8、求出椭圆的长半轴 a,半焦距c,即可确定椭圆的离心率. c【详解】椭圆的离心率：e a所以只要求出椭圆的 c和a,(0,1), (c,半焦距；a,长半轴)由题意，结合图形可知,r1 r2 2Rc OF1r1 r2 2R2ri2 r12c所以e a2 ri2r2 r11 r2 2R 2R r1 r22【点睛】本题是基础题，考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，考查学生的作图视图能力.9 .已知直线| ： x ay 1 。与圆C： x 1 2 y 1 2 4相交于A, B两点，若AB 23,则实数a ()A 3B 5C. 1D. -144【答案】A利用弦长求出圆心到直线的
9、距离，再用点到直线的距离公式即可求出a.【详解】由题意，圆心 C（1,1）,半径r.2,1 一，1 a 1由几何知识可得，圆心 C到直线l的距离d j J V43 1 ,解得a【点睛】本题主要考查利用几何法解决直线与圆的相交时的弦长问题，属于基础题.10 .若等差数列an的前n项和为Sn, n N , S12 0 , % 0 ,则Sn的最大值为（）A. S5B. S6C. S7D. S12【答案】B【解析】【分析】推导出a6 a7 0 , a7 0 , a6 0 ,由此能求出Sn的最大值.【详解】等差数列 an的前n项和为Sn, n N，S12 0, S13 0, , a6 a70 , a70
10、, , a60, % a7,Sn的最大值为S6 .故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前 n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的 得0分.11 .若直线过点 A 1,2 ,且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 l方程可能为（）A. xy10B. xy30C. 2x y 0D. x y 1 0【答案】ABC【解析】【分析】 讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可.2 0【详解】当直线经
11、过原点时，斜率为 k 20 2,所求的直线方程为 y=2x,即2x y 0； 1 0当直线不过原点时，设所求的直线方程为x± y=k,把点A (1, 2)代入可得1-2=k,或1+2=k,求得k=-1,或k=3,故所求的直线方程为 x y 1 0,或xy3 0；综上知，所求的直线方程为 2x y 0、xy1 0,或xy3 0.故选：ABC .【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题.12 .已知椭圆C的中心在原点，焦点 E, F2在y轴上，且短轴长为2,离心率为Y6,过焦点3F1作y轴的垂线，交椭圆 C于p, Q两点，则下列说法正确的是()2A.椭圆方程为y- x
12、2 13C. |PQ 23 3【答案】ACD【解析】【分析】由已知求得b,再由离心率结合隐含条件求得周长判断得答案.【详解】由已知得，2b=2, b=1, £ 运, a 3又 a2 b2 c2,解得 a2 3 ,2B.椭圆方程为y213D. PF2Q的周长为4 J3a,可得椭圆方程，进一步求得通径及PF2Q的椭圆方程为亡x23如图:PQ 2b2V3PF2Q 的周长为 4a 4焉a733故选：ACD .【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.13 .已知抛物线C ： y2 2 Pxp 0的焦点为F ,直线的斜率为 J3且经过点F ,直线l与抛物线C交于点A
13、, B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点 D ,若AF 4,则以下结论正确的是（）A. p 2B. F 为 AD 中点C. |BD 2 BFD. BF 2【答案】ABC【解析】【分析】如图所示：作AC 准线于C, AM x轴于M , BE 准线于E,计算得到P 2, F为4AD中点，DB 2BF , BF得到答案.3【详解】如图所示：作 AC 准线于C, AM x轴于M , BE 准线于E.直线的斜率为 由，故tan AFM 点,AFM AF| 4,故MF| 2, |AM| J3.3A P 2,26 ,代入抛物线得到 P 2； 2NF FM 2,故 AMF DNF ,故 F 为 AD
14、 中点；BDE 一,故 DB 2 BE 2 BF -6BD 2|BF , BD BF DF AF 4,故|BF| 4；3 故选：ABC.【点睛】本题考查了抛物线相关命题的判断，意在考查学生的综合应用能力第II卷三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.14.准线方程为y 2的抛物线的标准方程是 .【答案】x2二8y【解析】【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，并求得 p值，则答案可求.【详解】解：由抛物线的准线方程为y 2,可知抛物线是焦点在 y轴负半轴上的抛物线，设其方程为x2 2 py( p 0),则其准线方程为y - 2 ,得p 4 .2该抛物线的
15、标准方程是 x2二-8y .故答案为：x2二8y.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题.2215.已知双曲线C：J 、1 a 0,b 0的一条渐近线与直线l：x 2y 2020 0垂直， a b则双曲线C的离心率e .【答案】.5【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得， b=2a,再由a, b, c的关系和离心 率公式，即可得到所求.【详解】双曲线C：与 冬i a 0,b 0的一条渐近线y bx, a ba由于一条渐近线与直线 x 2y 2020 0垂直，则有b 2 , a22. 2. 22 ca b d beT 21 下 5,a aa则离心率为e 、5.故
16、答案：押.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题.16.已知等差数列 4 的首项为1,公差不为零，若 a2, a3, a6成等比数列，则数列 彳 的前8项的和为.【答案】48.【解析】【分析】设等差数列的公差为 d,运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d,再由等差数列的求和公式，计算可得所求和.【详解】等差数列an的首项为1,公差d不为零，若a2, a3, a6成等比数列，29可得 a2a6 a3 ,即(1 d)(1 5d) (1 2d)2,解得d 2(0舍去)，8 7数列an前8项的和为8a1 d 8 56 48.2故
17、答案为：48 .【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和 运算能力，属于基础题.作B关于x轴的对称点B ,连接圆心与B ,则与圆的交点A, AB即为AW BW的最小值，AB为点(0, 2)到点B (6,-1)的距离减圆的半径，即 AB J(6 0)2 ( 1 2)2 1 3a/5 1,故答案为：375 1 .【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点；四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18 .已知等差数列 4的前n项和为Sn，a3 S2 6, n N* .(1)求数列 an的通项
18、公式;(2)若3 丁，数列bn的前n项和为Tn,证明：Tn 1.an 1 an 1'【答案】(1) an 2n n N(2)证明见解析【解析】【分析】(1)直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式.(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求 出结果.【详解】解：(1)设等差数列 an的公差为d ,因为 a3 S2 6,所以 a12d 4 a d 6,所以a1 d 2,*所以数列an的通项公式为：an 2 n 12 2n n N .(2)由(1)知：bn2an 1 an 122n 1 2n 1112n 1 2n
19、1所以Tn1111 2n 1 2n 1 2n 1【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的 应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.19 .在平面直角坐标系中，圆 C的圆心在直线x y 0上，且圆C经过点P 2,0和点Q 1, .3 .(1)求圆C的标准方程；(2)求经过点M 2,1且与圆C恰有1个公共点的直线的方程.【答案】(1) x2 y24 ;(2) x 2或3x 4y 10 0【解析】(1)由题意可知，圆心应在弦 PQ的中垂线上，求出该直线方程，与圆心所在直线方程联立求解，求得圆心坐标，再利用点P在圆上，求出半
20、径，进而求出圆的方程;(2)分直线的斜率是否存在进行讨论，设出直线的点斜式方程，由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率,从而求出直线的方程.【详解】解：(1)直线PQ的斜率k1PQ中点坐标为所以PQ中垂线方程为y0,0CP2,所以圆C的标准方程为:y2 4.(2)当该直线斜率不存在,即直线方程为2时，成立,当该直线斜率存在时，设其方程为：yy 2k 1 0,因为该直线与圆 C恰有1个公共点,所以圆心到直线距离 d所以切线方程为x 2或3x 4y 100.【点睛】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用, 主要考查学生的运算能力和转换能力及思
21、维能力，属于中档题.20.已知。为坐标原点，点G 2,0和点H 2,0 ,动点p满足：PG PH 2.(1)求动点P的轨迹曲线 W的方程并说明 W是何种曲线；2(2)若抛物线Z ： y 2 Pxp 0的焦点F恰为曲线 W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M, N两点，|MN| 8,求直线l的方程.2【答案】(1)动点P的轨迹方程为：x2 L 1 x 1 ,点P的轨迹是以G 2,0 , H 2,03为焦点的双曲线的右支；(2) y x 1或 y x 1【分析】(1)由动点P满足PG PH 2,可得到轨迹曲线为双曲线的右支；(2)由(1)可得F的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为y
22、k x 1 ,后根据焦点弦弦长公式得到关于k的方程，解出即可.【详解】解：(1)根据双曲线的定义：点P的轨迹是以G 2,0 , H 2,0为焦点的双曲线的右支且 PG PH| 2 2a,所以 a 1, c 2, b2 c2 a2, b J3,2所以动点P的轨迹方程为：x2 1 x 1 .3(2)因为曲线W的顶点为F 1,0 ,所以抛物线Z的方程为：y2 4x,当直线l斜率不存 时，MN| 2p 4不满足题意，设直线l ： y k x 1 ,由抛物线的定义知：MF x1 1, NF x2 1, MN x1 x2 2 8,所以x1 x2 6,将 y k x 1 代入 y2 4x 得：k2x2 2
23、k2 2 x k2 0,一2 k2 2 .一所以x x22_ 6,解得k 1 ,Xi x2k2所以直线l的方程为：y x 1或yx 1.【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及直线与圆锥曲线的关系，应用抛物线的定义求其弦长公式即可快速求解，属于中档题.21.已知O为坐标原点，定点 F 1,0 ,定直线l ： x 4,动点P到直线l的距离为d ,且满电 |pf|1足：.d 2(1)求动点P的轨迹曲线W的方程；(2)若直线m ： y x t与曲线 W交于A, B两点，求 AOB面积的最大值.22【答案】(1)土 L 1 ；(2)73. 43【解析】【分析】(1)设P(x, y) , P到F的距离pf
24、J(x 1)2y2, P到定直线l的距离为d x 4 ,进而求解；(2)设A(x, y1)，B(x2, y2),联立直线方程和椭圆方程，求出t的取值范围，进而由三角形面积公式求解;【详解】解：(1)设点P x, y ,由题知:一一 .2o所以4 x 1 4y22整理得点P的轨迹方程为：人上1.4322(2)将 y x t带入-y-143得：7x2 8tx 4t2 12 0,所以xx28t7xx22_4t 127_2_2_264t28 4t 1248 7 t 0 得 0 t2 7,点O到直线m的距离d1 t 4 .6 7 t2AOB 二2 、272n 1 3n 14当且仅当t2 7 t2即t2
25、7时等号成立满足，2AOB面积最大值为 73.【点睛】(1)考查椭圆轨迹方程解析式求解；，点到直线距离，点到点的距离公式应用；(2)考查圆锥曲线与直线相交，求三角形面积最值问题，解决本题关键点在于怎么表示三角形的面积；22.已知数列an的前n项和为Sn,ai2,Sn13&2, n N(1)证明：数列 Sn 1为等比数列;22(2)已知曲线Cn：x 19 an y 1若Cn为椭圆，求n的值;a3a(3)若bn lOg3 n ，求数列 0的前n项和Tn.22【答案】(1)见解析；(2) n 1或2; (3) TnSn 11 ,r(1)利用Sn的递推公式证明出 会一为非零常数，即可得出结论;
26、Sn 1(2)利用(1)中的结论求出Sn,由an与Sn之间的关系求出an ,结合题意得出 可求出n的值;(3)求出数列bn的通项公式，然后利用错位相减法求出Tn.-Sn1 1 3Sn 3 c 一【详解】(1)对任意的n N，Sn1 3Sn 2,则二一-3且S 1 3,Sn 1Sn 1所以，数列 Sn 1是以3为首项，以3为公比的等比数列；(2)由(1)可得Sn133n 13n ,Sn3n1.当 n 2 时，an Sn Sn 1 3n 13n 1 1 2 3n 1,n 1a1 2也适合上式，所以，an 2 3 .由于曲线Cn ： X22 .一 .一 一一19 an y 1是椭圆，则19an023
27、n 119n ,即19an123n 118；n N ,解得n 1或2 ；(3) bnan10g33ann 1n3 log 3 3n 3nTn 1 30 2 31 3 32 "I n 3n 1 ,3Tn 1 31 2 32 HI n 1 3n 1 n 3n，1 1 3n123n1得 2Tn3031323n1n 3nn 3n12n311 32因此，Tn2n 1 3n 14【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了利用椭圆方程求参数以及错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22x y23.已知O为坐标原点，椭圆 C：二 三 1 a b 0上顶点为A,右顶点为B,离心率 a2
28、 b2、2222e 丫2 ,圆O ： x y与直线AB相切.23(1)求椭圆C的标准方程；(2)若D , E , F为椭圆C上的三个动点，直线 EF , DE , DF的斜率分别为kkk kkk 0 .八 ，一一 1若EF的中点为W 1;,求直线EF的万程;1(|)若kk 一,证明：直线EF过定点.2 x223【答案】(1) g y 1; (2) (i) y x - ； (ii)证明见解析【解析】【分析】(1)由离心率和直线 AB与圆相切分别得到a, b的关系式，求解得椭圆的方程;(2) (i)由点差法求出直线 EF的斜率，然后写出方程;(ii)由直线DE、DF与椭圆的相交关系， 分别求出E、
29、F两点的横坐标，再利用k1k2求得Xi X2 0,另设直线EF的方程为y kx t,代入椭圆方程，利用韦达定理表示Xi X2,求得t 0,故得结论直线 EF过定点。(0,0)【详解】解：(1)由题意，直线AB的方程为：1 ,即为bx ay ab a b因为圆O与直线AB相切，所以 ab胆,ab 22,b2 a2,3 b a 30,设椭圆的半焦距为c,因为b2 c22 2所以a_b_ 1a222由得：a2 2, b2 1 ,所以椭圆C的标准方程为： y2 1.2(2)设 E x,y1，22由题知：羡y121,气y2 1,两式做差得:2222X1X222y1y20 ,-y1y20 ,2y y91
30、X x9整理得：Kef-2 -一-1,X X22 y1 y23所以此时直线EF的方程为：y x -2(ii)设直线 DE ： y y0 k1 x % ,设直线 DF ： y y° k2 X X02将 y k x X0y0 代入y2 1 ,2222得：1 2k1 x 4k1 y0 k1x0 x 2 y0 k1x02 0,所以X1X04k1 v。 Kx。2 y0 k1X0 2 21 2k12 '41 2k12因此x12/4k1 y02 k1 1 X01 2k12又因为k1k,且同理可得:24k2y02k2 1 xo1 2k24kiyo 1 2ki x01 2k2可得X1X20,设直线EF的方程为：y kx t,将y kx t代入土 y2 12222得：1 2k x 4ktx 2t 2 0,4kt -得x1 x21 0 ,所以t 0 ,1 2k2所以直线EF过定点O 0,0 .【点睛】本题考查了椭圆的基本的几何性质，考查了点差法，直线与椭圆的位置关系，属于难题.